第01讲 直线的方程 (精讲)(解析版)-2023年高考数学一轮复习.pdf
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1、第 01讲直线的方程(精讲)目录第一部分:知识点精准记忆第二部分:课前自我评估测试第三部分:典型例题剖析题型一:直线的倾斜角与斜率题型二:求直线的方程题型三:直线方程的综合应用角度1:直线过定点问题角度2:与直线方程有关的最值问题角度3:其它综合问题第一部分:知 识 点 精 准 记 忆知识点一:直线的倾斜角以X轴为基准,X轴正向与直线/向上的方向之间所成的角a叫做直线/的倾斜角.(1)当直线/与x轴平行或者重合时,我们规定它的倾斜角为0。;所以倾斜角的取值范围为:0 a 1 8 0;特别地,当直线/与轴垂直时,直线/的倾斜角为9 0 .(2)所有直线都有唯一确定的倾斜角,倾斜角表示的是直线的倾
2、斜程度.知识点二:直线的斜率1、我们把一条直线的倾斜角a 轴上的纵截距为。(已知斜率+纵截距)3、直线的两点式方程图示点斜式方程形式y=kx+b适用条件斜率存在(注直线/若斜率不存在不可使用该形式直线方程)已知条件(使用前提)直线/上的两点(%,X),P2(x2,y2)(工产工2,M。%)(已知两点)图示0点斜式方程形式y-y.x-x.、二 (x。工2,1W%)y2 f%一%适用条件斜率存在且不为0;当直线没有斜率(*=/)或斜率为0(y =%)时,不能用两点式求出它的方程4、直线的截距式方5、直线的一般式方程已知条件(使用前提)直线/在X轴上的截距为。,在y轴上的截距为图示X八。X点斜式方程
3、形式3=1a b适用条件aw 0,b丰。定义:关于,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x,y的二元一次方程Ax+8y+C=0(其中A,B不同时为0 A?+不 工0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.说明:1 .4、6不全为零才能表示一条直线,若A、8全为零则不能表示一条直线.A r (A当BwO时,方程可变形为y=-X-,它表示过点0,-6,斜率为一的直线.B B D J BC当8=0,AwO时,方程可变形为A r+C =O,即彳=一上,它表示一条与轴垂直的A直线.由上可知,关于、y的二元一次方程,它都表示一条直线.2 .在平面直角坐标系中,一个关于、y的二元一次方程对应着唯一的一条直
4、线,反过来,一条直线可以对应着无数个关于、y的一次方程.3 .解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.第二部分:课 前 自 我 评 估 测 试1.(2 0 2 2 重庆南开中学高一期末)过4 1,-3),8(-2,0)两点的直线的倾斜角是()A.4 5 B.6 0 C.1 2 0 D.1 3 5【答案】D由已知宜线的斜率为k=(-3)=t a n a =-1,0 a 1 8 0.-2-1所以倾斜角a =1 3 5。.故选:D2.(2 0 2 2 内蒙古包头高一期末)过点在两坐标轴上截距相等的直线方程为()A.x +y +3 =0 B.2 x-y =0 或x+y +3 =0C.y=x-D.
5、x+y +3 =0 或 y =【答案】B当所求直线不过原点时,设所求直线的方程为x+y=。,因为直线过点(-1,-2),代入可得。=-3,即x+y+3 =0;当所求直线过原点时,设直线方程为y=依,因为直线过点M(-L 2),代入可得=2,即2 x-y=0,综上可得,所求直线的方程为2 x-y=0 或x+y+3 =0.故选:B.3.(2 0 2 2 江苏高二)一次函数y=-&+2 所表示直线的倾斜角为()A.3 0 B.1 5 0 C.1 2 0 D.6 0【答案】c设直线y=-V I r+2的倾斜角为。,由直线y=-+2的 斜 率 为,可得ta n a=-百又04a+1),+*=0(2过定点
6、,倾斜角的最小值是.【答案】(1,一1);1 3 5#芋3 .7 14直线X +(m2+1)+机2 =0(7 R)可以化为加2日+)+旷+工=0恒定点,则y+1 =0n=a-D.y+x =0直线可化为y=二x-T.+1 r +1AH2 0 =z n2+1 1 =0 -1 -0.m+1 m+1则倾斜角的最小值是1 3 5 .故答案为:(L-l);1 3 5 .第三部分:典 型 例 题 剖 析题型一:直线的倾斜角与斜率典型例题例 题 1.(2 0 2 2 四川达州高一期末(理)直线y=x +6 的 倾 斜 角 为.【答案】Y4直线kx +的斜率为1,设直线的倾斜角为。,0a7 r则 ta n a
7、=L所以a二工,4故答案为:4例题2.(2 0 2 2 全国高二课时练习)已知直线/经过4 2,1)、B(l,/)(m e R)两点,求直线/的倾斜角的取值范围.【答案】0*U 惇 兀).直线/过4(2,1),8(1,小)(e R)两点,A 直线/的斜率为左=至二1 =1-/7 12 1,1-2设直线/的倾斜角为a,则a 0,兀),旦ta n a W l,T T 7 T解得O K a W 或一1 或 k J5 2C.%/或 k 1 D.左 或%一1【答案】D已知宜线/:(2+a)x+(a-l)y-3 a=0,所以a+y-3)+2 x-y=0f x+y-3 =0 =:f x尸=1 2 所以直线/
8、过点 阳/,2、),由题知,在X轴卜一的截距取值范围是(-3,3),所以直线端点的斜率分别为:哲=T,甘如图:2或4 .例题4.(2 0 2 2全国高三专题练习)已知两点A(2,-3),8(-3,2),直线/过点P(l,l)且与线段A B相交,则直线/的斜率k的取值范 围 是()1 13 3A.-4k-B.k -C.-4k-D.-k44 4 4 4【答案】B如下图示,当直线/过B时,k=-=-,-3-1 4由图知:或上2 .4故选:B同类题型归类练1.(2 0 2 2湖南.长沙一中高一期末)直线x s i n a-y+l =()的倾斜角的取值范围为()八九AB.7 1 3乃7T7 14D.八冗
9、0,u43万彳 【答 案】D设 直 线x s i na-y +=O的倾斜角为夕,可 得ta n 6 =s i n。7T1T 34所 以。的 取 值 范 围 为0,-u彳74故 选:D2.(2 0 2 2.全国高二专题练习)P(x,y)在 线 段A 8上运动,已知A(2,4),B(5,-2),则 宗的取值范围是.【答 案】5653言表示 线 段A B上 的 点H C(T,1)连线的斜率,因为砥 c=;=:,kBc/一(一1 1 3-2-(-1)_ 15-(-1)6所以由图可 知 答 的取值范围是 2 653 ,故答案为:_ 56533.(2 0 2 2.全国高二专题练习)直 线/经 过 点A(2
10、,l),8(3,产),夜W夜),则直线/倾斜 角 的 取 值 范 围 是.田 士.八】3 4 )【答 案】。,了=丁/L 44 ),直线/经过点A(2,l),B(3,r),.t2 1 2 i/.k.=-=t-1,1 3-2.-y/2t:K e-l,l,设宜线/的倾斜角为6,则得苧,L 4 j L 4)故答案为:。,7 3 T,/1.L 4 j L 4)4.(2022全国高二专题练习)直线x+A os6-5=0 的倾斜角a 的 取 值 范 围 是.兀 3兀【答案】_4 4 _若cos6 =0,则直线方程为x=5,即倾斜角。=三;2若COS0HO,则直线方程为y=-二 X+三,即tana=一二CO
11、S,cosg COS0cos 0 e 1,0)kJ(0,11,-W 1 或-N1 rcos 0 cos 0rr7 1 7 T (7t 37c即 tanaW-1 或 tan aN l,斛得a c u 94 2 J 12 4x7 1 3 兀综上可得a -故答案为:n 3 7i4 T题型二:求直线的方程典型例题例 题 1.(2022内蒙古包头高一期末)直线/被直线4:2x+y-l=O 和:x+2y+5=0所截得的线段中点恰为坐标原点,则直线/的方程为【答案】3x+y=Q设直线/与 4:2x+y-1 =0 和 4:x+2y+5=0,分别交于点 A(a,1 -2。)和 8(-5-2b,b),因为所截得的
12、线段中点恰为坐标原点,可得a-5-2 b =01 -2a+b=0 解得 一 二一3所以 4-1,3)和 8(1,3),则 kA B=-3,可得直线/的方程为y-3=-3(x+l),即3x+y=0.故答案为:3x+y=0.例题2.(2022全国高二课时练习)已知菱形ABC。的三个顶点A(1,1)、B(3,-3)、C(7,-1).求顶点。的坐标;(2)求对角线A C 和 B O 所在直线的方程.【答案】(1)。(5,3)AC:x+3y-4=0,8:3x-y-12=0(1)计算48,BC,A C 的长度:AC=J(l-7)2+(l+l)2 =25 ,48=J(l-3y+(l +3)2=2也,BC=J
13、(3-7)2+(-3+1)2 =26,:.AB=B C A C,则菱形必然是以A 3 和 3 c 为邻边的菱形,作图如下:设菱形的中心为E,E 为 A C 和 8。的中点,5 1 0 (4,0),设。(x,y),则 有 个=4,言=0,解得k 5,产3,故。点的坐标为(5,3);根 据(1)的结果得A C 方程为广 1 =三 二(x-l),即x+3y-4=0,8。的方程为:y+3=:!(x-3),即 3x-y-12=0,综 上,D(5,3),A C 的方程为 x+3y-4=0,B D 的方程为 3x-y-12=0.同类题型归类练1.(2022.全国高二专题练 习)根据所给条件求直线方程.(1)
14、直线过点A(L2),倾斜角a的正弦值为!;(2)直线过点A(l,3),且在两坐标轴上的截距之和为8 ;(3)直线过点 4(2,4),5(-2,8).【答案】(1)3 工 一 4 丁+5 =。或3 工+4 -1 1=。(2)3 1+丁 一 6 =0或 工+-4 =。x+y-6=03 ,3(1)v s i n a =-,:.k=tana=954则直线方程为k2=第-1),即 3 x 4 y+5 =0 或 3 无+4 y-l 1=0.依题意得,直线的横截距、纵截距均不为0,可设直线方程为二+4=1,m 6-mi Q代入点A(l,3),可得+二=1,解得桃=2 或m =4,m S-m所以所求直线方程
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