《概率论与数理统计》课后习题.pdf
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1、习题1.1解答1 .将一枚均匀的硬币抛两次,事件A,8,C分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。试 写 出 样 本 空 间 及 事 件 中 的 样 本点。解:Q=(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)A =(正,正),(正,反)卜B=(正,正),(反,反)C=j (正,正),(正,反),(反,正)2.在掷两颗骰子的试验中,事件A,8,C,。分别表示“点数之和为偶数”,“点数之和小于5”,“由数相等”,“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件A3,A+B,彳C,8C,A-8-。一。中的样本点。解:。=(1,1),(1,2),(1,6),(2,1
2、),(2,2),(2,6),(6,1),(6,2),(6,6);=(1,1),(1,3),(2,2),(3,1);A +B =(1,1),(1,3),(1,5),(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1);C=;8C=(1,1),(2,2);A-B-C-D =(1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)3.以A,8,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,且C表示以下事件:(1)只订阅日报;(2)只订口报和晚报;(3)只订一种报;(4)正好订两种报;(5)至少订阅一种报;(6)不订阅任何报;(7)至多订阅一种报;(8
3、)三种报纸都订阅;(9)三种报纸不全订阅。解:(D A月不;(2)A B C;(3)A B C +A B C +A B C(4)A B C +A B C +A B C (5)A +B +C;(6)A B C ;(7)彳月+彳豆。+彳5仁+4方仁或3月+彳仁+月3(8)A B C i(9)A +B +C4.甲、乙、丙三人各射击一次,事件&,4 2,4 3分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果:氏,七+4,AX,4 +&,A&彳3,A|A?+A,A j +A A 3.解:甲未击中:乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中;甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲
4、、乙、丙三人至少有两人击中。5.设事件4,8,。满足4 8cH,试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和:A +B +C ,A B +C B A C.解:如图:A+B+C=A B C +A B C +ABC +A B C +A B C +A B C +ABC;AB+C=ABC+C-,6-A C =ABC+A B C +A B CBA+ABC=B C +A B C6.若事件A,8,C满足4+C =8 +C ,试问A =8是否成立?举例说明。解:不一定成立。例如:A =3,4,5,6=3,C =4,5,那么,A+C =B+C,但A w 8。7.对于事件A,8,C,试问A (B 。)=(4-8)+。
5、是否成立?举例说明。解:不一定成立。例 如:A =3,4,5,8 =4,5,6,C =6,7,那么 4(8 C)=3,但是(A 8)+C =也,6,7。8.设尸(A)=;,P(B)=1,试就以下三种情况分别求P(AT):(1)A 8 =,(2)A d B,(3)P(AB)=.o解:-1(1)P(BA)=P(B -AB)=P(B)-P(AB)=-;2(2)P(B不)=P(B-A)=P(5)-P(4)=L6一 1 1 3(3)P(BA)=P(B-AB)=P(B)_ P(AB)=-=。2 8 89.已知P(A)=P(8)=P(C)=1,P(A C)=P(B C)=上,尸(48)=0求事件4 1 6A
6、,8,C全不发生的概率。解:P(A B C)=P(A+B+C)=1-P(A+B+C)=1-P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(A C)-P(BC)+P(ABC)1 1 1 c 1 1 3 3_ 4 4 4 1 6 1 6 J 81 0.每个路口有红、绿、黄三色指示灯,假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口,试求下列事件的概率:4=三个都是红灯”=“全 红 :B=“全绿”;C=“全黄”;D=“无 红 ;E=“无绿”;F =三次颜色相同”;解:P(4)P(F)P(H)G=颜色全不相同;H=颜色不全相同”。P(B)=P(C)1 x 1 x 13 x 3 x 312 7P(O)=
7、P(E)=2x2x2_ 83 x 3 x 3 -2 71 1 1+一d-2 7 2 7=1-P(F)P(G)=3!23 x3 x 3-98-9=1-9I L 设一批产品共1 0 0 件,其中98 件正品,2 件次品,从中任意抽取3 件(分三种情况:一次拿3 件;每次拿1 件,取后放回拿3 次;每次拿1 件,取后不放回拿3次),试求:(1)取出的3 件中恰有1 件是次品的概率;(2)取出的3 件中至少有I 件是次品的概率。-次5 3件:C2 C(1)P =0.0 58 8;(2)Goo每次拿一件,取后放回,拿 3 次:2 x 98?(1)P=x 3=0.0 576;1 0 03每次拿一件,取后不
8、放回,拿 3 次:/=。:史=0 0 5 9 4;G o o983(2)P=-?=0.0 58 8 ;1 0()3(1)P=2 x 98 x 971 0 0 x 99x 98x 3=0.0 58 8;(2)八,98 x 97x 96P-1-1 0 0 x 99x 98=0.0 5941 2.从0,1,2,9中任意选出3 个不同的数字,试求下列事件的概率:A,=三个数字中不含0 与5,A,=三个数字中不含0 或5。解:r3尸(4)=才5o71 5尸(4)=2 C;YG:1 4 c处或尸(儿)二1一一三1 5。1 41 51 3.从0,1,2,9中任意选出4个不同的数字,计算它们能组成一个4位偶数
9、的概率。解:5-4a2 _ 4 11 4 .个宿舍中住有6位同学,计算下列事件的概率:(1)6人中至少有1人生日在1 0月份;(2)6人中恰有4人生日在1 0月份;(3)6人中恰有4人生日在同一月份;解:(1)P =l 14/0.4 1;(2)(=I/0.0 0 0 6 1;1 26 1 26(3)P=-=0.0 0 731 261 5.从一副扑克牌(5 2张)任 取3张(不 重 复),计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。解:P=匕士二+?1%七也/0.6 0 2 或 P =2止 勺 5.三 0.6 0 2点%习题1.2解答1 .假设-批产品中一、二、三等品各占6 0%,3 0%、1
10、0%,从中任取一件,结果不是三等品,求取到的是一等品的概率。解:令4=取到的是i等 品 ,i=1,2,3阂4)=1=雪=二。1 1 3 尸(A 3)P,3)0.9 32.设 1 0 件产品中有4 件不合格品,从中任取2 件,已知所取2 件产品中有1 件不合格品,求另一件也是不合格品的概率。解:令4=两件中至少有一件不合格,B=两件都不合格”P(B I A)=P(AB)P(4)尸(B j _l-P(A)3 .为了防止意外,在矿内同时装有两种报警系统i 和 n。两种报警系统单独使用时,系统I 和 I I 有效的概率分别0.92和 0.93,在系统I 失灵的条件下,系统I I 仍有效的概率为。8 5
11、,求(1)两种报警系统I 和 I I 都有效的概率;(2)系统n 失灵而系统I 有效的概率;(3)在系统I I 失灵的条件下,系统I 仍有效的概率。解:令 4=系 统(I )有 效,B=系 统(1 1)有效”则 P(A)=0.92,P(B)=0.93,尸(B I A)=0.8 5(1)P(AB)=P(B AB)=P(B)P(AB)=P(B)-P(A)P(B I A)=0.93-(1-0.92)x 0.8 5 =0.8 6 2(2)P(BA)=P(A-AB)=P(A)P(AB)=0.92-0.8 6 2=0.0 5 8(3)P(A I 月)=0 6 8 三 0.8 28 6P(B)1-0.934
12、 .设0 P(A)1,证明事件A与8独立的充要条件是P(B I A)=P(B I A)证:n:A与8独立,3与8也独立。P(B A)=P(B),P(B I A)=P(B):.PB I A)=P(B I A)=:v 0 P(A)1 0 P(X)0,P 0,则有(1)当A与8独立时,A与5相容;(2)当A与8不相容时,A与B不独立。证明:P(A)O,P(B)O(1)因为A与5独立,所以P(A 6)=P(A)P(8)0 ,A 与8 相容。(2)因为P(A B)=0,而P(A)P(B)0,P(4 8)HP(A)P(B),A 与 8 不独立。7.已知事件A,8,C相互独立,求证AU8与C也独立。证明:因
13、为A、B、C相互独立,尸(A U B)nC =P(A C U B C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=尸(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)=P(A)+P(B)-P(A B)P(C)=P(A U B)P(C)AUB与C独立。8.甲、乙、丙三机床独立工作,在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7,0.8和0.9,求在这段时间内,最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解:令A,A 2,A 3分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾,那么 P(4)=0.7,P(A2)=0.8,P(A3)=0.9令5表示最多有一台机床需要工人照顾,那么 P(B)=P(4 4 4+4
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