三年高考数学(理)试题分项版解析:圆锥曲线解析版.pdf
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1、三年 高 考(2 0 1 4-2 0 1 6)数学(理)试题分项版解析第九章圆锥曲线一、选择题1.1 2 0 1 6高考新课标1卷】已知方程-鼻=1表示双曲线,且该双曲线两焦m +n 3m -n点间的距离为4,则n的取值范围是()(A)(-1,3)(B)(C)(0,3)(D)(0,73)【答案】A【解析】试题分析:-d_=1表示双曲缘则(+研3*f)0二.一 病3加2,由双曲线性质知:/=(*+#+(3*-n)=4,其中c是半焦距二.焦距2c=2.2同=4,解得|加卜1二.-13我 选A.考点:双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲
2、线的焦距是2 c不是c,这一点易出错.2 22.1 2 0 1 4高考广东卷.理.4 若实数Z满足0%9,则曲线二上一=1与曲线2 5 9-k4离心率相等 8.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等【答案】。【解析】()%0,2 5%0,双曲线土 =1的实半轴长为5,虚 半 轴 长 为 囱 焦 距 为2 5 9-kJ-、/,4 -k2,2 5 +(9-&)=2 j 3 4-&,离心率为 ,双 曲 线 上 一-工=1的实半轴长为J 2 5 Z,虚半轴长为9,焦距为2 5 k 92 J(2 5 左)+9 =2,3 4 4 ,离心率为3 4左25 k因此,两双曲线的焦距相等,故选D.【考点定位
3、】本题考查双曲线的方程与基本几何性质,属于中等题.【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质,属于中等题.解题时要注意a、b、c的关系,2=/+,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是双曲线的简单几何性质,即 双 曲 线 二 一 与=1 (a 0,b。)的实轴长为2 a,虚a b-轴长为2。,焦距为2 c,其中,2=/+/,离心率e =.a3.【2 0 1 6年高考四川理数】设。为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y 2=2 px(p0)上任意一点,M是线段P F上的点,且1 P M=2 1 目,则直线。M的斜率的最大值为()立(A)T(B)-32(D)1【答 案】
4、C【解 析】试 题 分 析:设P口,2pt),M(x,y)(不 妨 设,0),则 丽=12pd 0.2 p .由已知得FM=FP,万 史=皿 户 一 匕2 3 6产 型r 3 1=与,故选 C.考点:抛物线的简单的几何性质,基本不等式的应用.【名师点睛】本题考查抛物线的性质,结合题意要求,利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点尸的坐标,利用向量法求出点M的坐标,是我们求点坐标的常用方法,由于要求最大值,因此我们把左斜率用参数t表示出后,可根据表达式形式选用函数,或不等式的知识求出最值,本题采用基本不等式求出最值.r2 v2 54.2 0 1 5高考广东,理7】已知双曲线C:三 彳=1的 离 心
5、率6 =,且其右焦点a b 4舄(5,0),则双曲线C的 方 程 为()x2 *y2.x2 y2.x2 y2.x2 y2.2 2/T程为彳-方=1,G与G的 离 心 率 之 积 为 春,则G的渐近线方程为()A.x 42y-0 B.y/2x y =0 C.x+2 y -0 D.2 x y =0【答案】A双曲线渐近线方程为y=A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=14 3 1 6 9 9 1 6 3 4【答案】B.c 5【解析】因为所求双曲线的右焦点为8(5,0)且离心率为e =,所以c =5,。=4,a 42 2=。2-/=9所以所求双曲线方程为:_ _2 1 =1,故选1 6 9【考点
6、定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质.【名师点睛】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力,由离心率和其右焦点易得a ,c值,再结合双曲线。2=可求,此题学生易忽略右焦点信息而做错,属于容易题.2 25.1 2 0 1 4山东.理1 0】已知ab0,椭圆G的方程为0 +2 =1,双曲线G的方a b【解析】山已知及椭圆、双曲线的几何性质得,在,所以,丝;,2 a V 21正x,即x士 正y=0,选A.【名师点睛】本题考查椭圆、双曲线的标准方程及其几何性质.确定椭圆或双曲线的离心率,关键是从已知出发,确定得到a,8 c的关系,本题中由离心率,确定aS的关系,从而得
7、到双曲线的渐近线方程.本题属于小综合题,也是一道能力题,在较全面考查椭圆、双曲线等基础知识的同时,考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.T2 26.1 2 0 1 6高 考 新 课 标2理 数】已 知6,K是 双 曲 线E:/一 方=1的左,右焦点,点M在E上,吗 与x轴垂直,sinNMQE=;,则 的 离 心 率 为()(A)V 2 (B)-(C)V 3 (D)22【答 案】A【解 析】试题分析:因 为MK垂 直 于x轴,所以|加|=忙,|加8|=2。+工,因为sin/MKK=-,a a 3即 已 驾=_J=_ L,化 简 得6 =a,故双曲线离心率e =、/l Z E =选A.附用2
8、。+忙3 V aa考 点:双曲线的性质.离心率.【名师点睛】区 分 双 曲 线 中a,b,c的 关系与椭圆中m b,c的关系,在 椭 圆 中a 2=/+c 2,而 在 双 曲 线 中。2=/+户 双 曲 线 的 离 心 率e c(i,+8),而椭圆的 离 心 率e G(O,1).7.【2 0 1 4新课标,理1 0】设F为 抛 物 线C:y2=3 x的焦点,过F且 倾 斜 角 为3 0 的直线交C于A,B两 点,0为坐标原点,则A O A B的 面 积 为()人乎R 9GD.94D.【答 案】D【解 析】由题意可知:直 线AB的 方 程 为y代 入 抛 物 线 的 方 程 可 得:4/-1 2
9、 /3 y-9 =0 ,设A (内,乂)、B (%,%),则 所 求 三 角 形 的 面 积 为1 3/-95*了,(乂 +必)-4%力=故选 D.【考 点 定 位】直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】本题考查了直线方程,直线与圆锥曲线的位置关系.,三角形的面积的求法,本题属于中档题,要求学生根据根据已知条件写出直线方程,与抛物线方程联立,消元,然后应用韦达定理求解,注意运算的准确性.8.【2016高考浙江理数】已知椭圆G:二+犬=1(加1)与双曲线C2:=-y2=im0)的焦m,厂点重合,/,e?分别为G,的离心率,则()A.mn 且 6道21 B.mc 月 一 6道2:1 D.m,6 4
10、 1.故选m n m nA.考点:1、椭圆的简单几何性质;2、双曲线的简单几何性质.【易错点睛】计算椭圆C1的焦点时,要注意i n/;计算双曲线C2的焦点时、要注意,2=+.否则很容易出现错误.9.2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于4 8两点,交C的准线于。、E两点.已知MB|=4 0,|DE/=2石,则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】试题分析:如图,设抛物线方程为丁=2尹,2区交X轴于C/点,则A C =2 J 2,即4点纵坐标为2式,则4点 横 坐 标 为 上,即。c =,由勾股定理知麓尸a+P P(我2 +(勺=(2&尸+(*
11、)2,解得p=4,即C的焦点到准线的距离为4,故选B.2P考点:抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当部分学生数学考不好的主要原因.10.2015高考新课标2,理111已知4 B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,MB M为等腰三角形,且顶角为120。,则E的离心率为()A.Vs B.2 C.V3 D.V2【答案】D【解 析】设 双 曲 线 方 程 为 卞 2=,如 图 所 示,AB =BM ,N A B M=1 2 0 ,过 点M 作轴,垂 足 为N,在R t A B MN
12、中,忸N|=a,|MN|=&z,故点M的坐标为M(2 a,&),代入双曲线方程得/=/,2,即c2-2a2,所以 e=J ,故选 D.【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质.【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识,正确表示点M的坐标,利 用“点在双曲线上”列方程是解题关键,属于中档题.11.1 2 0 1 6 高考新课标3理数】已知。为坐标原点,尸是椭圆C:与+2r=1(。匕0)a b的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且尸F _ L x 轴.过点A的直线/与线段PF交于点M,与 y轴交于点.若直线3M经过OE的中点,则C的离心率为()1 1
13、2 3(A)-(B)-(C)-(D)-3 2 3 4【答案】A【解析】试 题 分 析:由 题 意 设 直 线/的 方 程 为 y =A(x+a),分 别 令 x =-c与 x =0得点 F M =k(a-c),OE=ka,由 A O B E D C B M,得 ,即k n/7 f 1-=-,整理,得士=士,所以椭圆离心率为e =上,故选A.2k(a-c)a+c a 3 3考点:椭圆方程与几何性质.【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法:(1)直接求得a,c 的值,进而求得e的值;(2)建立a,。,c的齐次等式,求得上b或转化为关于e 的等式求解:(3)通过特殊值或a特殊位置,求出e.1
14、 2.【2 0 1 5 高考四川,理 5】过双曲线V-2=1 的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双3曲线的两条渐近线于A,B两点,则|A B|=()4 F(A)-(B)2 /3 (C)6 (D)4 33【答案】D【解析】双曲线的右焦点为尸(2,0),过 F 与 x 轴垂直的直线为x =2,渐近线方程为V =0,2将 x =2 代 入/_ _ =0 得:9=1 2,丁 =2 百,二|4 团=4 7 5.选口.【考点定位】双曲线.【名师点睛】双 曲 线 鼻 一2 =1的渐近线方程为 一 斗=0,将直线x =2代入这个渐近a b a b线方程,便可得交点A、B的纵坐标,从而快速得出|A 8|的值.1
15、3.1 2 0 1 4四川,理1 0】已知E是抛物线V=的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,O A O B =2(其中。为坐标原点),则A 4 B。与A A F。面积之和的最小值是()A.2B.317728D.V 1 0【答案】B【解析】试题分析:据 题 意 得,0),设A(X ,x),B(x2,y2),则 玉=y;,马=);,+y%=2,X%=-2或y/=1,因为48位于x轴 两 侧 所 以.所 以=-2两面积之和为5=;|再当7 2叩+;、%闻=;卜 也 一%卜;*%加|=|必一叩+3闻乙 乙 4 4 I O9-8+2-lyl-1N8-+yll+2-y9+-y.83.2-M【考点
16、定位】1、抛物线;2、三角形的面积;3、重要不等式.【名师点睛】在圆锥曲线的问题中,我们通常使用设而不求的办法,此题中,我们设出4和凶),3(赴,力)两点坐标,由 丽 丽=2,得y%=2,接下来表示出A 4 8。与A A b O面积之和,利用基本不等式即可求得最小值,利用基本不等式时,要 注 意“一正,二定,三相等”.1 4.1 2 0 1 5高考四川,理1 0 设 直 线/与抛物线/=4%相 交 于A,B两点,与圆(X-5)2+y 2 =/(r 0)相切于点乂,且M为线段A B的中点.若这样的直线/恰有4条,则r的取值范围是()(A)(1,3)(B)(1,4)(C)(2,3)(D)(2,4)
17、【答案】D【解析】显然当直线/的斜率不存在时,必有两条直线满足题设一当直线/的斜率存在时,设斜率为止设(必=4百4(%,必)田(孙*与 拉(孙 凡),则 中;,相 减 得+用 乂M一为)=4 石一无).由于吨*Xi,为=锄所以4岁也二匹=2,即 0=2一圆心为C(5,0),由CM _L/5得 上 生W=1,物,=5-%,所以2 再一巧 演一52=5-%=3,即点M必在直线x=3上.将x=3代 入/=以 得/=12.-273 此 0)上,所以(不一5)2+必2=尸/=才+4 4(由于斜率不存在,故用工0,所以不取等号),所以4 9+4 16,二2,0),以原点为圆心,双曲线的实四边形的A 8 C
18、 D的面积为2b,则双曲线的方程为()r2 O.2 r2 4 2 r2 2 r2 2(A)-=1(B)-:-=1(C)-=1(D)-=14 4 4 3 4 b2 4 12【答案】D【解析】试 题 分 析:根 据 对 称 性,不 妨 设A在 第 一 象 限,A(x,y)b2:.x y=-=-b2=12,故双曲线的方程为二一二=1,故选D.b2+4 2 2 4 12考点:双曲线渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点:(1)确定双曲线的标准方程也需要个定位”条件,两个“定量”条件,定位是指确定焦点在哪条坐标轴上,“定量”是指确定m b的值,常用待定系数法.(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时
19、应注意选择恰当的方程形式,以避免讨论.若双曲线的焦点不能确定时,可设其方程为A?+B),2=1(A 8 V 0).若已知渐近线方程为m x+n y=0,则双曲线方程可设为m2x2-n2y2=A(A*O).1 7.120 15高考新课标1,理5】已知Mx。,)是双曲线C:了-尸=1上的一点,Ft,F2是6上的两个焦点,若 丽 丽 0,0)上一点,所 以 伊 蜀|产居|=%,又 仍用+|尸玛|=%所以,(|尸 耳|+|尸局)2-(|产用|尸玛=9川一船2,所以4|%卜|%|=处2 4 2又因为|朋|归玛|=3反,所以有,9 a b=9 b2-f即9(1)一9(?)一4 =0,解得:|=-1 (舍去
20、),4 由、2 c1 1+反 作 丫 ,4丫 25 心 5.n或 一=;所以e=J-=+|=1+=所以e=:,故选 B.a 3 9 3考点:1、双曲线的定义和标准方程;2、双曲线的简单儿何性质.【名师点睛】本题考查双曲线定义,性质及其应用,属于中档题,解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.21.【20 1 5高考重庆,理1 0】设双曲线2 2_ _ 匕/护=1(a 0,b 0)的右焦点为1,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,A B的垂线交于点。.若D到直线B C的距离小于a +J/+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A、(-1,0)1 1(0,1)B、(oo,-l)
21、U(l,4-oo)C、(-V 2,0)U(0,V 2)D、(-oo,-V 2)U(V 2,+oo)【答案】Ab2 h2【解析】由题意A a,0),B(c,),C(c,-),由双曲线的对称性知。在x轴上,设D(x,0),a ab2 o从-U -h4由 B D 1A C 得 2-3-=1 ,解 得 c x =J一,所 以c-x a-c a(c-a)h4 l 7 b4 b bc-x=a +yja2+b-a +c,所以一?H-才=Zr n 1 n 0 一 2=14 -(C)-X2=14(D)【答案】c【解析】由题意,选项48的焦点在x轴,故排除A,8,C 项的渐近线方程为二-f=0,4即丁=2尢,故选
22、C.【考点定位】1.双曲线的渐近线.【名师点睛】双曲线确定焦点位置的技巧:/前的系数是正,则焦点就在x轴,反之,在 y2 2 1 2 2轴:在双曲线0-马=1 的 渐 近 线 方 程 中 容 易 混 淆,只要根据双曲线-与=1a b a b a bX2 y2的渐近线方程是彳-2T=0,便可防止上述错误.a b2 3.1 20 1 4 湖北卷9】已知耳,鸟是椭圆和双曲线的公共焦点,P是他们的一个公共点,7T且/耳尸鸟=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()4 百 2GA.二一 B.C.3 1).23 3【答案】A【解析】r2 v2r试题分析:设椭圆方程为。+4=1(。0),双曲线方程为
23、 j2 -v42=l(a 0,b 0)a b a b(a a),半焦距为c,由面积公式得/x-=W xJ J,所以。2+q2 0=(石+1)。2,令 =2 c o s 0,=2 s in。,6为参数,KC HI1 a a.n 2,“4 j3所以一 +=+2c o s0+j=s in,W-.e ex c c 0)个单位长度,得到离心率为的双曲线G,则()A.对任意的a,b,e e2 B,当。b 时,q 6;当。匕口 寸,4 6C.对任意的兄b,ex A时;G g【答案】D7 2+b2 力、2 J(a+加)2 +S+加)2 r b+m 2【解析】依盅意,G=-=Jl+(一),g=J +(),a V
24、 c i a+m+b b+m _ a b +b m -a b-a m _ m(b 一 a)a a-vm a(a+m)a(a+m)山于m 0,0,b 0,八 i 八 b+m 1 b b+m 力、2,b+m、?它所以当a b 时,0 一 l,0-I f -,(一)1,-1,而一-,所以(一)(-),所以 q /.a a-m a a+m a a+m所以当 a%时,q v e?;当 时,ex e2.【考点定位】双曲线的性质,离心率.【名师点睛】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.分类讨论的时应做到:分类不重不漏;标准要统一,层次要分明;能不分类的要尽量避免或尽量推迟,决不无原则地讨论.2 5.【2
25、015 高考福建,理 3】若双曲线E:1 七 =1的左、右焦点分别为耳,居,点尸在双曲线E上,且 归 附=3,则|P 段 等 于()A.1 1 B.9 C.5 D.3【答案】B【解析】由双曲线定义得归用忙 创=2 4 =6,即|3|引=6,解得|P 用=9,故选B.【考点定位】双曲线的标准方程和定义.【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程,利用双曲线的定义列方程求解,属于基础题,注意运算的准确性.2 6.1 2 0 1 4 辽宁理1 0】已知点A(2,3)在抛物线C:y 2 =2 p x 的准线上,过点A的直线与 C在第一象限相切于点B,记 C的焦点为F,则直线8F 的斜率为()12 3
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