2016年上海市高考数学试卷(理科).pdf
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1、2016年上海市高考数学试卷(理科)一、填 空 题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.(4分)(2016上海)设x G R,则不等式|x-3|0,b 0,若关于x,y的方程组(a x+v 无解,则a+b的,x+by=l取值范围为.11.(4分)(2016上海)无穷数列 a j由k个不同的数组成,Sn为 a j的前n项和,若对任意ndN*,SnG 2,3 ,则k的最大值为.12.(4分)(2016上海)在平面直角坐标系中,己知A(l,0),B(0,-1),P是曲线y=i _*2上一个动点,则 而 记 的 取 值 范
2、围 是.13.(4 分)(2016上海)设 a,bGR,cW0,2n),若对于任意实数 x 都有 2sin(3 x-?L)3=asin(bx+c),则满足条件的有序实数组(a,b,c)的组数为.14.(4分)(2016上海)如图,在平面直角坐标系xO y中,O为正八边形A1A2.A的中心,A(1,0)任取不同的两点Ai,A j,点P满足0声0 A+0 A=0,则点P落在第一象限的概率是二、选 择 题(5×4=20 分)1 5.(5 分)(20 1 6 上海)设 aGR,则 a 1 是 a?1 的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件1 6.(5
3、 分)(20 1 6 上海)下列极坐标方程中,对应的曲线为如图所示的是()A.p=6+5 c o s 0 B.p=6+5 s i n 0 C.p=6 -5 c o s 0 D.p=6 -5 s i n 01 7.(5 分)(20 1 6 上海)已知无穷等比数列 a j 的公比为q,前 n项和为S。,且S;S,n 8下列条件中,使得2S n S (n G N*)恒成立的是()A.a i 0,0.6 q 0.7 B.a i 0,-0.7 q 0,0.7 q 0.8 D.a,0,-0.8 q 0)的左、右焦点分别为F i,F2,直线1过 F 2 且与双曲线交于A,B两点.(1)直线1 的倾斜角为工,
4、A F i A B 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;2(2)设 b=y 反,若 1 的斜率存在,且(再 铲 用)*A B=0,求 1 的斜率.2 2.(1 6 分)(2 0 1 6 上海)已知 aER,函数 f (x)=l o g 2 (+a).X(1)当 a=5 时,解不等式f (x)0;(2)若关于x 的方程f (x)-l o g 2 (a -4)x+2 a -5 =0 的解集中恰好有一个元素,求 a的取值范围.(3)设 a 0,若对任意t e L,1 ,函数f (x)在区间 t,t+1 上的最大值与最小值的差2不超过1,求 a的取值范围.2 3.(1 8分)(2 0 1 6 上海)若
5、无穷数列 a j 满足:只要a p=a q (p,q N*),必有a p+i=a q+i,则称 a j 具有性质P.(1)若 a j 具有性质 P,且 a i=L 2 2=2,闻=3,a s=2,a 6+a 7+a 8=2 1,求 a?;(2)若无穷数列 如 是等差数列,无穷数列/是公比为正数的等比数列,b|=C 5=l;b5=c i=81,an=b n+cn,判断 a n 是否具有性质P,并说明理由;(3)设 b j是无穷数列,已知a n+i=b n+s i n a n (n G N*),求证:对任意a i,a j都具有性质P 的充要条件为 b/是常数列.2016年上海市高考数学试卷(理科)
6、参考答案与试题解析一、填 空 题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4 分,否则一律得零分.1.(4 分)(2016上海)设 x d R,则 不 等 式 的 解 集 为 (2,4).【考点】绝对值不等式.【专题】计算题;转化思想;综合法;不等式的解法及应用.【分析】由含绝对值的性质得-由此能求出不等式|x-3|V I 的解集.【解答】解:xG R,不等式Ix-3|1,A-l x -31,解得2Vx l).【考点】反函藏.【专题】方程思想;转化思想;函数的性质及应用.【分析】由于点(3,9)在函数f(x)=l+a 的图象上,可得9=l+a3,
7、解得a=2.可得f(x)=1+2X,由l+2=y,解得x=log2(y-1),(y l).把x与y互换即可得出f(x)的反函数f1(x).【解答】解:点(3,9)在函数f(x)=l+ax的图象上,.9=l+a3,解得a=2.f(x)=1+2 由 l+2x=y,解得 x=log2(y-1 )(y 1).把x与y互换可得:f(x)的反函数f 1(x)=log2(x-1).故答案为:10g2(X-1),(X1).【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.6.(4分)(2016上海)在正四棱柱A B C D-A iB iC Q i中,底面ABCD的
8、边长为3,BDi与底面所成角的大小为a rc ta n i,则该正四棱柱的高等于3【考点】棱柱的结构特征.【专题】计算题;转化思想:综合法;空间位置关系与距离.【分析】根据正四棱柱ABCD-AJBICIDI的侧棱DD_L底面A B C D,判断/D 1 B D为直线B D i与底面ABCD所成的角,即可求出正四棱柱的高.【解答】解:;正四棱柱ABCD-A|B,C|D|的侧棱DQJL底 面ABCD,Z D iB D为直线B D,与底面ABCD所成的角,tanZDiBD=.3:正四棱柱A B C D-A|B|Q D|中,底面ABCD的边长为3,;.BD=3 我,正四棱柱的高=3我X3故答案为:2&
9、.【点评】本题考查了正四棱柱的性质,正四棱柱的高的计算,考查了线面角的定义,关键是找到直线与平面所成的角.7.(4分)(2 0 16 上海)方程3 s i n x=l+c o s 2 x 在区间 0,2 兄 上的解为且!_ .-6 一 6 一【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.【专题】计算题;规律型;转化思想;三角函数的求值.【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式,然后求解即可.【解答】解:方程 3 s i n x=l+c o s 2 x,可得 3 s i n x=2 -2 s i J x,即 2 s i n2x+3 s i n x -2=0.可得 s i n x=-2,(舍去)s
10、i n x=L,x G 0.2 n j2解得 X=2 L 5 2 L.6 6故答案为:工 旦 L.6 6【点评】本题考查三角方程的解法,恒等变换的应用,考查计算能力.8.(4分)(2 0 16 上海)在(山-2)11的二项式中,所有的二项式系数之和为2 5 6,则常数 项 等 于 112.【考点】二项式定理的应用.【专题】计算题;转化思想;综合法;二项式定理.【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2工25 6,求 得 n=8.在展开式的通项公式中,令 x的某指数等于0,求得r 的值,即可求得展开式中的常数项.【解答】解:在(山-2)11的二项式中,所有的二项式系数之和为25 6,/.2n=
11、25 6,解得 n=8,8-4 r (安彳)8中,T*%(玄)8一 气 _ 孑 产(_2)空 k,.当8 二 4 r.=0,即-2 时,常数项为 13=(-2)22=U2.故答案为:112.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题.9.(4 分)(2016上海)已知AABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于M.一 3 一【考点】解三角形的实际应用.【专题】方程思想;分析法;解三角形.【分析】可设aA B C 的三边分别为a=3,b=5,c=7,运用余弦定理可得c o sC,由同角的平方关系可得sin C,
12、再 由 正 弦 定 理 可 得 该 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 为 代 入 计 算 即 可 得 到2sinC所求值.【解答】解:可设aA B C 的三边分别为a=3,b=5,c=7,由余弦定理可得,cosC=a2+b2-1=9+25-49二 一 工2ab2X3X5 2可得s 寸1-cos2,=Jl-玄=喙 可 得 该 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 为 1-口2sinC 2 XV1 3故答案为:卫叵.3【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法,注意运用正弦定理和余弦定理,考查运算能力,属于基础题.10.(4 分)(2016上海)设 a0,b 0,若关于x,y 的方程组 a 乂+了
13、=1无解,则 a+b的x+by=l取值范围为(2,+8).【考点】两条直线平行的判定;基本不等式.【专题】转化思想;转化法;导数的综合应用.【分析】根据方程组无解,得到两直线平行,建立a,b 的方程关系,利用转化法,构造函数,求函数的导数,利用函数的单调性进行求解即可.【解答】解:.关于x,y的方程组&*+丫=1无解,x+by=l 直线ax+y=l与 x+by=l平行,V a0,b0,a 1-1 z,1飞1即 aH 1,bH L 且 ab=l,贝!J b=,则 a+b=a+,a则设 f(a)=a+,(a 0 且 aW l),则函数的导数?(a)=1-1 2 2a aa2-i当0 a l时,f
14、(a)=2 f(1)=2,2-i当 a l时,f (a)=a 2 0,此时函数为增函数,f(a)f(1)=2,a综上 f(a)2,即 a+b的取值范围是(2,+8),故答案为:(2,+8).【点评】本题主要考查直线平行的应用以及构造函数,求函数的导数,利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键.11.(4 分)(2016上海)无穷数列 a j由 k 个不同的数组成,S”为 a j的前n 项和,若对任意 nGN*,Sne 2,3 ,则 k 的 最 大 值 为 4.【考点】数列与函数的综合.【专题】分类讨论;分析法;点列、递归数列与数学归纳法.【分析】对任意nCN*,Sne21 3 ,
15、列举出n=l,2,3,4 的情况,归纳可得n 4 后都为0 或 1或-1,则 k 的最大个数为4.【解答】解:对任意nGN*,Sne2,3 ,可得当 n=l 时,ai=S=2 或 3;若 n=2,由 S2G 2,3),可得数列的前两项为2,0;或 2,1 ;或 3,0;或 3,-1;若 n=3,由 S3 G 2,3 ,可得数列的前三项为2,0,0;或 2,0,1;或 2,1,0;或 2,1,-1;或 3,0,0;或 3,0,-I;或 3,1,0;或 3,1,-1;若 n=4,由 S3G 2,3 ,可得数列的前四项为2,0,0,0;或 2,0,0,1;或 2,0,1,0;或 2,0,1,-1;或
16、 2,I,0,0;或 2,1,0,-1;或 2,1,-1,0;或 2,1,-1,1:或 3,0,0,0;或 3,0,0,-1;或 3,0,-1,0;或 3,0,-1,1;或 3,-1,0,0;或 3,-1,0,1;或 3,-1,1,0;或 3,-1 ,1,-1;即有n 4 后一项都为0 或 1或-1,则 k 的最大个数为4,不同的四个数均为2,0,1,-1,或 3,0,1,-1.故答案为:4.【点评】本题考查数列与集合的关系,考查分类讨论思想方法,注意运用归纳思想,属于中档题.12.(4 分)(2016上海)在平面直角坐标系中,已知A(l,0),B(0,-1),P是曲线y=i _*2上一个动点
17、,则 瓦 羸 的 取 值 范 围 是 10,1+万I.【考点】平面向量数量积的性质及其运算律.【专题】计算题;转化思想;综合法;平面向量及应用.【分析】设 P(cosa,sina),0,n,则 BA=(1,1),BP=(cosa,sina+1),由此能求出而以的取值范围.【解答】解:.在平面直角坐标系中,A(1,0),B(0,-1),p 是 曲 线 产 正 7 上一个动点,设 P(cosa,sina),a 0,n;BA=(1,1),BP=(cosa,sina+1),BP BA=cosa+sina+l=6sin(CC+子)+,加欣的取值范围是0,1+&.故答案为:0,1+J9.【点评】本题考查向
18、量的数量积的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意平面向量数量积的性质的合理运用.13.(4 分)(2016上海)设 a,bWR,c e 0,2 n),若对于任意实数x 都有2sin(3 x-工)3=asin(b x+c),则满足条件的有序实数组(a,b,c)的 组 数 为 4.【考点】三角函数的周期性及其求法.【专题】函数思想;转化法;三角函数的图像与性质.【分析】根据三角函数恒成立,则对应的图象完全相同.【解答】解:对于任意实数x 都有2sin(3 x-工)=asin(bx+c),3必有|a|=2,若 a=2,则方程等价为 sin(3x-2L.)=sin(bx+c),3则函数的周
19、期相同,若 b=3,此时C=4,3若 b=-3,则 =生 二3若 a=-2,则方程等价为 sin(3x-ZL)=-sin(bx+c)=sin(-bx-c),3若 b=-3,则 C=?L,若 b=3,则 C=22L,3 3综上满足条件的有序实数组(a,b,c)为(2,3,旦 L),(2,-3,1 2-),(-2,-3,工),3 3 3(-2,3,22L),3共有4 组,故答案为:4.【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,结合三角函数恒成立,利用三角函数的性质,结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键.1 4.(4分)(2 01 6 上海)如图,在平面直角坐标系x O y 中,O为正八边
20、形A i A 2.A 8 的中心,A i(b 0)任取不同的两点A”A j,点 P满足JR西 +西=3,则点P落在第一象限的概率 是 至-.【考点】平面向量的综合题.【专题】计算题;对应思想;向量法;平面向量及应用;概率与统计.【分析】利用组合数公式求出从正八边形A 1 A 2.A 8 的八个顶点中任取两个的事件总数,满足而,西+西=石,且点P落在第一象限,则 需 向 量 砧+西的终点落在第三象限,列出事件数,再利用古典概型概率计算公式求得答案.【解答】解:从正八边形A 1 A 2.A 8 的八个顶点中任取两个,基本事件总数为c g=2&8满足而且点p 落在第一象限,对应的A i,A j,为:
21、(A 4,A 7),(A 5,A g)(A 5,A 6),(A g,A 7),(A 5,A 7)共 5 种取法.点P落在第一象限的概率是p j-,28故答案为:_ L.28【点评】本题考查平面向量的综合运用,考查了古典概型概率计算公式,理解题意是关键,是中档题.二、选 择 题(5×4=20 分)1 5.(5 分)(2 01 6 上海)设 aGR,则 a 1 是 a 2 1 的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】转化思想;定义法;简易逻辑.【分析】根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义
22、进行判断即可.【解答】解:由 a 2 l 得 a l 或 a V-1,即 a l”是,2 1”的充分不必要条件,故选:A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键,比较基础.1 6.(5分)(2 01 6 上海)下列极坐标方程中,对应的曲线为如图所示的是()A.p=6+5 c o s 0 B.p=6+5 s in 0C.p=6 -5 c o s 0 D.p=6 -5 s in 0【考点】简单曲线的极坐标方程.【专题】数形结合;转化思想;三角函数的求值;坐标系和参数方程.【分析】由图形可知:8 =-?时,p 取得最大值,即可判断出
23、结论.2【解答】解:由图形可知:8 =-三 时,P取得最大值,2只有D满足上述条件.故选:D.【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.1 7.(5分)(2 01 6 上海)己知无穷等比数列j 的公比为q,前 n项和为S n,且 l im S:S,n 8下列条件中,使得2 Sn S(n W N*)恒成立的是()A.a i 0,0.6 q 0.7 B.a i 0,-0.7 q 0,0.7 q 0.8 D.a i 0,-0.8 q -0.7【考点】等比数列的前n项和.【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列.【分析】由 已 知
24、推 导 出&口1 1-1)0,由此利用排除法能求出结果.a.(1 qn)a 1【解答】解:s -,S=l i m -l q l.n 1 -q n 8 n l-q2 Sn 0 若 a i 0,则故A 与 C 不可能成立;若 a i 0由题意可得:f (x)+g (x)=f (x+T)+g (x+T),f (x)+h (x)=f (x+T)+h (x+T),h(x)+g (x)=h (x+T)+g (x+T),可得:g (x)=g (x+T),h (x)=h (x+T),f (x)=f(x+T),即可判断出真假.【解答】解:不成立.可举反例:f(X)=.2 x,-x+3,xl2 x+3,g(x)=
25、-x+3,0 x 0)的左、右焦点分别为F i,F,直线1b2过 F 2 且与双曲线交于A,B两点.(1)直线1 的倾斜角为工,A BA B是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;2(2)设 b=若 1 的斜率存在,且(%针&)*ABFO,求 1 的斜率.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;直线与双曲线的位置关系.【专题】计算题;规律型;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)利用直线的倾斜角,求出A B,利用三角形是正三角形,求解b,即可得到双曲线方程.(2)求出左焦点的坐标,设出直线方程,推出A、B坐标,利用向量的数量积为0,即可求值直线的斜率.2【解答】解:(1)双曲线x
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