《仁华学校数学思维训练导引》解析(六年级).pdf
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1、 仁华学校数学思维训练导引解 析(六年级)仁华思维导引解析1讲:计算综合 仁华思维导引解析2讲:比例与百分数 仁华思维导引解析3讲:工程问题 仁华思维导引解析4讲:不定方程与整数分拆 仁华思维导引解析5讲:数论综合之一 仁华思维导引解析6讲:立体图形 仁华思维导引解析7讲:几何综合之一 仁华思维导引解析8讲:数字谜综合之三 仁华思维导引解析9讲:计数综合之二 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析20讲:逻辑推理之二1
2、讲:方程与方程组2讲:行程与工程3讲:应用题综合之二4讲:数论综合之二5讲:数论综合之三6讲:几何综合之二7讲:计数综合之三8讲:最值问题9讲:构造与论证之二0讲:构造与论证之三仁华思维导引解析1讲:计算综合【内容概述】繁分数的运算,涉及分数与小数的定义新运算问题,综合性较强的计算问题.【典型问题】唯 及 争cd 分析与解原式=2334=喝 璀度等级J 7 7 7 5 o1 9 i+3-5 22/i n n,.z s2.计 葭-2 -化空史上lp 5 _627+5 2 2 11995x0 5 1995)9 50 分 析 与 解 注意,作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有1哈 于 是,我 们
3、 想 到 改 变 运JD序,如果分子与分母在199后的两个数字的运算给果一致,那么作为披除数的这个繁分数的值为h如果不一致,也不会增加我们的计篁量.所以我们决定改变作为破除数的繁分数的运亶I领序.而作为除数的整分数,我们注意两个加数的分母相似,于是统一通分为1995X05具体过程如下:1 91-1 32 q 1993*04+4x04x0.5i n5-11995*0 5+1995x0 5)i y I.j zl 1995 0 5)1.上05 地 反 于 J 3.计E C 1-彳 一.1+r1 一 ,1987 1 分析与解1原式=1-I-397319切3973 流度 级 4.计其已知L=1,则淄于多
4、少?(分析与解|方法一:二 一=三=,=票;=2 交叉相乘有88X+66“一 ”I】.1.4X+1 UX4 7 11=96x+56,x=1.25 1+-:1*-1+-二、I 今 4 8x4*6方法二:有I+?=1+巳 所 以 2+二=举 一+右 所 以 了 +1=提,那么x=12).8 8 一 3 3 4 2 瑕度孑极 5.曲.A3,M 3,.竺 _ 3 这 10个数的和.丽 分析与解方法一:4X3X43十”3不=4+(441火 444一 汁+(也、-1)1014=4+44+444+44 4-9L迎.4*=i x 9+99+999+P99.9 99 I IStTji x (!0-1)+(100
5、-1)+(1000-1)+=i X ill 100-9y 阳=4938271591.方法二:先计蹲这10个数的入位数字和为3X 4=30,再计亶这1疵的十传数字和为4 X 9=加上个付的迸付的,.再计算这1。个数的百位数字和为4X8=3 2,加上十位的进位的3,再计菖这10个数的千位数字和为4X7=2 8,加上百位的进位的3,再计算这1冰数的万位数字和为4X6=2 4,加上千位的进位的3,为3A+?=翘为32+3=羽;为28+3=3加为 24+3=20再计算这10个数的十万位数字和为4X5=2 0,加上万位的进位的2,为20+2=怒再计算这10个数的百万位数字和为4X4=1 6,加上十万位的进
6、位的2,为 2=隰再计亶这1险数的千万位数字和为4X3=1 2,加上百万位的进位的1,为12+1=1国再计算这1(H数的亿位数字和为4X2=8,加上千万位的进位的1,为8+1=5最后计算这10个数的十亿位故字和为4 X 1=4,加上亿位上没有进位,即为所 以,这 1。个数的和为4938271591.雄 度 考 级J 6.如图1-1,与一线段的端志上两教之和算作线段的长度,那么图中6条线段的长度之和是多少?分析与解因为环个端点均有三条线段通过.所以这6条妓段的长度之和为3X|1+1+06+0875)=1+075+1.8+2.625=6.175=6.U 4)40 玻及争级 7.我们规定,符 号“O
7、”表示选择两数中较大数的运算,例如35。2.,=29。3.5=3 5符号表示选择两数中较小数的运算,例如3 542 9=2 943 5=2 9话计篇(0.625吗卜(00.4)3。京扁25)院 02”5 x 155 qq?分析与解1庾式=-5 也=g x券+2、1+225 8 3的 12325256 现反手级8.规 =2X3X4=3X 4X 5,=4X5X6,0=9 X 1 Q X H,如果吉一言二/口那么方框内应埴的数是多少?(J _ 16x17x18 二 分析与解口=0 0 0 =15x16x17 _1=5,唯度孑 9.从 和 式!+!+!+!+!中必须去掉哪两个分数,才能使得余下的分数之
8、和等于1?2 4 6 8 1 0 1 2 分析与解I因为所以;、1、;、A的和为1,因此应去掉;与3.p i度 J 1 0 .如图L 2,捧列在一个圆圈上1。个数技顺时计次序可以组成讦多个整数都分是一位的循环小散,例如 1 892 9:592 羡那么在所有这种数中,最大的一个是多少?1 8 99 22 99 5 1【分 析 与 解|有 整 散 诬 分 尽 可 能 大,十 分 位 尽 可 能 大,则 有 92 91 8”钱 大,于 是 最 大 的 为9 2 91 892 91 5.难 度 考t t j 1 1.请你举一个例子,说 明“两个具分数的和可以是一个真分数,而且这三个分数的分母谟也不是道
9、的妁数”.分析与解1有$吟I+=唳*理 度 子 J 1 1计 算 费)“-白x(,布辅 分析与解1原式=(2-1)x(2+1)(3-1)x(3+1)乂2 x2 3x3(1 0-1)x(1 0 4-1)1 0 x1 0 X1 x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 4 x 6 x 5 x 7 x 6 x 8 x 7 x 9 x 8 x 1 0 x 9 x 1 12 x 2*3x3x4 x4x xlOxlOlx2 x3x3x4x4x5x5x.xpx9xl0 xll2 x2 x3x3x4x4x.x9x9xl0 xl01 x2 x1 0 x1 12 x2 x1 0 x1 01 12 0 地度手级
10、t_ n y,11 x 66*12d7 13x68 14 x 69-b 15 x 7013.已知0二-Ilx65+12x(6+13x67,14x68+15x69XI00.间a的整数部分是多少?|分析与解1 a11 x 66+12 x67+13 x68+14 x6P+15x7011 x 65+12 x66+13x67+14x68+15x69X100=11 x(65。1)+12 x(66l)+13x(67+l)+14 K(68+1)+15x(69+1)x 11x65+12x66+13x67+14x68+15x69_ 11+12+13+14+15_11x65+12x66+13x67+14x68+15
11、x69X100=.00+11+S13+14+1511 x65+12x66+13x67+14x684.15x69X100因为11+124134-14+1511 x 65 12 x 66+13 x 67+14 x 62*15 x 6。XI。(品岩*蒜x w=瑞,所以a岬*=呜.31 35综上有1。1%aA,有AXAAXB(-6)卷=5 A X A l x l,P H I 3 5 7 99 1 1 西+W-x-x 7 x-x x=与二相比,二更大.2 4 6 8 100 10 10方法-n4 A A-1 X-3X-5X-7X.X9 72 4 6 8 9899Too则代卜那小河粉粉宿我们蛾却与高的大的
12、99 991 1 x 100 100Ix3x3x5x5x7x7x-x97x97x99x99xl2x 2 x4 x4 x 6x 6x8 xx 96x48 x98 xlOO xlOO日晚 1x3 3x5 5x7 97x99显然 2 7 2、474 66 、98x98卷 都 是 小 于 附 腼 有 人 高,于是A4显日皿然 1而x3 3有x5 5而x7 9而7x99r 而99 M整Bi 工的 的 加,而 1 于工是B AA tl|分 析 与 解|在范式中乘以9,再除以9,则结果不变.因为!U II,能被9整除,所以将一个I,丽 1 出二U乘以另一个除以9,使原算式变成:】丽1999;也 X!2345
13、6790 012345679,=1。00;叫-1 卜 23456790 012。,679,1 _ iwto_ -=!23456790 712345679JW。叫-口34567叱 02X5679,=!23456790 012345679,12345678,876543209 9876父 320,987654 3 2 i 的茨果中有蟋擀9=220个“1234567最”和“耐摘醇桃、及 一 个12345678”和一个*98765432I”.所以各位数之和为:(1+37壮坨+7均)X220+(9+8+7%+5+4+3+2)X22O+(l+2+3y+5%+7招)(86+7%+5+4+3+2+1)=179
14、0仁华思维导引解析2讲:比例与百分数【典型问题】1.迎春农机厂计划生产一批插秧机,现已完成计划的5 6%,如果再生产504哈,总产量就超过计划产量的16%.那么,原计划生产插怏机多少台?分析与解|5040-r(l+lf l%-56%)=8400a.难度等f i t 2.图珠至和错至的价格比是4 3,2。支 酶 维 和 2皮情至共用71 5元.向圆珠至的单价是毋支多少元?|分析与解|设圆珠笑的价卷为4,那么铅笔的价格为3,则20支图珠邕和21支铅笔的价格为20X4+21X3=143,见职位“1*的价格为71.5+143=0.5元.所以因殊堂的单价是n SX4=75C 难度等级 3.李大娘把养的科
15、分别关在东、西两个院内.已知东院养理40只;现在把西院养鸡数的!卖给商店,4;卖给加工厂,再把剩下的吗与东院全部的鸡相加,其和恰好等于原来东.西两院养酒总数的50%.原来东、西两院一共养呜多少只?分析与解|方法一:设原来东西两院一共养玛床,那么西院养四(x-40)只.依题意(x40)X +40=x d、e、(lO-b-c-d-。件,则有2 9(1 0-b-c-d-e)+4 7t)+7.2c+10 6d+149e=60.18b+43c+77d+120e=310.显然e只能取0,1.2.有1的+43+77(1=310,其中 d可取0,1,2.3.4当d=0W,W l8b+43c=310.格系数,常
16、数对6取摸得c=4(mod 6).于是c最小取4,那么有18b=3 1 0-4 3 X 4=138.b不为自然数,所以d=(t不满足,有18b+43c=2 3 3,将系数,常数对6取模得cm5(mod 6),干 是 踹 小 爵 那么有18b=2 3 3-4 3 X 5=1 8,回三 鼻 斑:(3)当(1=树.有18b+43c=1 5 6,将系数,常数对6取模得c0(mod 6),于是c最小取0,那么有18b=156,b不为自然数,所以d=2时,不满足j邯 0!刘有18bx3c=7 9,将系数、常数对6取模得cl(mod 6),于 是 我 小 胸 耳 那么有18b=7943=36,|b|=2|.
17、(5).当 d=4W,有18b+43c=2,显然不满足.昌k t=U 有l8b+43c+77d=1 9 0,其中d可以取0、】、2.郢日心3 1有I8b+43c=19Q,将系数、常数对傅模有c-4(mod 6).于 是 日 最 小 也 那么有18b=190-43X 4=18,叵 国1 g l.(2)当 d=l时,有I8b+43c=1 1 3,将系数、宗数对6取模有c-5(nwd 6),于是c最小取5.BP18b+215=113i显然d=l时,不满足,建 七 0用 1有I8b+43c=3 6,显然有距 国,E硼 医 用有 18b+43c+77d=70,d只能取0,3 4(muiJ 7)丁是y最小
18、分别取G.1,2,3.4.但是当y取用1,8X6=48超过3 4,抚法取值.所以二4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的.地及乎级 1 4.有30个乐分腰市和8十伍分硬币,用这些硬市不能构成的I分到1元之J间的币值有多少种?【分 析 与 解|注3S国所有3效硬币的总币值恰好是100分(即1元),于是除了5阳 和10师 外,其他98种币值就可以两两配对了,即(1.9,(2.98),(3,97),(4,吩,(49,51).每一薄币值中有一个可用若干个系分和伍分硬币构成,则另一个也一定可以,显然5份 和10盼的币值是可以组底的,因此只需要讨论币值为1分,2分,3分,48分和49分这4时情况.I分
19、和3分的市值显然不能构或.2分,4分,6分,.4份,48分等24种偶较币值的都可以用若干个前分硬币构成.5分,7分,9分,47分,49分等23种奇数币值的只须分别在4分,6分,8分,4份、48分的构成方法上,用一枚伍分硬币去换两枚需分硬币即可.譬如37分币值的,由于36分币值可用18枚原分硬币构成,用一枚伍分瑛币换下两枚冤分硬币,剩下的币值即为37分.嫌合以上分析,不能用3。八贰分和8个伍分硬币构成的I分到1元之间的币值只有四种,即I分,3分,97分,99分.瑕及等级 1 5.,.、明买红、蓝两支邕,共用了 17元.两种金B)单价都是整数元,并且红金比蓝金贵.,J假打再用35元来买这两种宝(也
20、允许只买其中一种),可是他无论集么买,都不能把35元恰好用完.那么红空的单价是多少元?花3 分析与解如下表单位无单位:元单位元 共勺13红1tl单价如方19妁 数.S55-17=13.2的组组合可能红S红16i161X161X152152152X143143143X134134134125125X125XII6H6116X107107X107X98939SX表1无枚誉出所有可能E再依次考虑苜无,不能出现35E号后,也不能出现5元.所以含有9.6.所以,只 有13+4的表2U.测只买这种选就可以刚好用完35元,所以含有7,5,1的组合不可能.8的妁敌.否则先各买一支需17元,那么再买这种至就可以
21、花去1沅,-1 6也不可能.较检验13x+4y=3S这个不定方程确实无自然数解.所以笑任单价力元.仁华思维导引解析5讲:数论综合之一C 3;抽【内容概述】涉及知识点多,解题过程比较复杂的整数媒合题,以及基本依卷数论手段求解的其他类型问题.【典型问题】难度不叙J I.如果把任意n个连续自然数相秉,其积的个位数字只有两种可能,那么n 4多少?分析与解我们知道如果有孙茂续的日然数,因为其内必有2的倍数,也有5的倍数,则它们乘积的个位数字只能是0.所以r小于5,I当n为4时,如果其内含有5的倍数(个位数字为0或5),显然其内含有2的倍数,那么它们乘积的个位数字为0;如果不含有5的倍数,则这阶连接的个位
22、数字只能是I.2,3,4或6,7.8.%它们的积的个位数字邰是%所以,当n为4时,任意4个匹线自然数相乘,其积的个位数字只有两种可能.一 二H 情况I当n为3 8 1.有IX 2X3的个位数字为6.2X 3X4的个位数学为4,3X 4X5的个位数字为。,”,傅 足.上 当n为 谢,有IX 2,2X3.3X4,4X5的个位数字分别为2,6,4,0,显然不满是.至于r取I显然不满足了.所以满足条件的遥4.发发争级J 2.如果四个两位场数a,b.c(d两两不同,并且有足,等式a+b-c+d.那么,(l)a+b的最小可监值是多少7(2)a4b的最大可能值是多少,分 析 与 解 两位的桥数有11,13.
23、17.19.23 29.31.37.41.43,47.53,59.61.67.71.73.79.83.89.97.不难得出,展小为 11+19=13+17=30,最大为97+71=89+79=168.所以满足条件的a+b最小可能值为3 0,最大可能值为168.I雄 度 等 级 3.如果某整数同时具备如下3条性质这个数与1的差是质数,这个敷除以2所得的商也是磺致;这个数除以9所得的余数是5.那么我们祢这个整数为幸运敬.求出所有的两位幸运数.分析与解条件也就是这个数与I的差是2或奇数,这个数只能是3或者偶数,再根据条件,除以9来5,在两位的偶菽中只食14.3 2,50.68.86这5个数淞足条件.
24、其中3 1 5 0不符合,3温68不符合,三个条件都符合的只有14.所以两位幸运敬只有14.I 攻级v y 4.在555555的妁数中,最大的三位数是多少?分析与解|555555=5XH|X1001=3 X 5X7X 11X13 X3 7显然其谖大的三位数约数为777.出 发 争 叙 5.从一张长2 0。2章米,宽847至米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能大的正方形,如果需下的部分不是正方形,那么在剩下的纸片上再兔下一个边长尽可能大的正方形.按照上面的过程不断地重复,最后剪得正方形的边长是多少章米?分析与解从长2 002童米、瓦847至米的长方光纸板上首先可剪下边根为847亚米的正方形,这样
25、的正方形的个数恰好是2 00滁UA84商得的面,而余数恰好是剩下的长月形的宽,于是有2 002-847=2.3 08.847*3 08=2 2 3 1.3 08*2 3 1=177.2 3 1*77=3.不难封知,最后剪去的正方形边长为77厘米.难 度 等 级 6.d 知存在三个小于20的自然数,它们的戢大公为数是】,且两曲场小之勒.话写出所有可危的答嘉.|分析与解|设 这 三 个 数 猊 b、c,且a b b.四;械当 a=72Bl,b可取小于72的H种妁数,a+bM72+l=73,当a=3筋h必须取8或24,a+b的值为44或6 0,均不同于第一种情况中的值t:当 a=24时.帅 须 取
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