2015年湖南省高考数学试卷(理科)(含解析版).doc
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1、2015年湖南省高考数学试卷(理科)一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1(5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A1+iB1iC1+iD1i2(5分)设A、B是两个集合,则“AB=A”是“AB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()ABCD4(5分)若变量x、y满足约束条件,则z=3xy的最小值为()A7B1C1D25(5分)设函数f(x)=ln(1+x)ln(1x),则f(x)是()A奇函数,且在(0,1)上是增函数B奇函数,且在(0,1)上是减函数C偶函数,且在(0,1)
2、上是增函数D偶函数,且在(0,1)上是减函数6(5分)已知()5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()ABC6D67(5分)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若XN=(,a2),则P(X+)=0.6826p(2X+2)=0.9544A2386B2718C3413D47728(5分)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC,若点P的坐标为(2,0),则|的最大值为()A6B7C8D99(5分)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移(0)个单位后得到函数g(x)的图象若对满足|f(x1)g
3、(x2)|=2的x1、x2,有|x1x2|min=,则=()ABCD10(5分)某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()ABCD二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11(5分)(x1)dx= 12(5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示若将运动员成绩由好到差编号为135号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是 13(5分)设F是双曲线C:=1的一个焦点若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴
4、的一个端点,则C的离心率为 14(5分)设Sn为等比数列an的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an= 15(5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)b有两个零点,则a的取值范围是 三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16(6分)如图,在O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F,证明:(1)MEN+NOM=180(2)FEFN=FMFO选修4-4:坐标系与方程17(6分)已知直线l:(t为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴
5、为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为=2cos(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|MB|的值选修4-5:不等式选讲18设a0,b0,且a+b=+证明:()a+b2;()a2+a2与b2+b2不可能同时成立七、标题19设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角()证明:BA=;()求sinA+sinC的取值范围20某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出一个球,在摸出的2个球中,若
6、都是红球,则获得一等奖;若只有1个红球,则获得二等奖;若没有红球,则不获奖(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为,求的分布列和数学期望21如图,已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上(1)若P是DD1的中点,证明:AB1PQ;(2)若PQ平面ABB1A1,二面角PQDA的余弦值为,求四面体ADPQ的体积22(13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(ab0)的一个焦点C1与C2的公共弦长为2()求C2的方程;()
7、过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向(1)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(2)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,MFD总是钝角三角形23(13分)已知a0,函数f(x)=eaxsinx(x0,+)记xn为f(x)的从小到大的第n(nN*)个极值点证明:()数列f(xn)是等比数列;()若a,则对一切nN*,xn|f(xn)|恒成立2015年湖南省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1(5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A1+iB1iC1+iD1i【考点】A5:复
8、数的运算菁优网版权所有【专题】5N:数系的扩充和复数【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则,求得z的值【解答】解:已知=1+i(i为虚数单位),z=1i,故选:D【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题2(5分)设A、B是两个集合,则“AB=A”是“AB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有【专题】5J:集合;5L:简易逻辑【分析】直接利用两个集合的交集,判断两个集合的关系,判断充要条件即可【解答】解:A、B是两个集合,则“AB=A”可得“AB”,“AB”,可得“AB=A
9、”所以A、B是两个集合,则“AB=A”是“AB”的充要条件故选:C【点评】本题考查充要条件的判断与应用,集合的交集的求法,基本知识的应用3(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()ABCD【考点】EF:程序框图菁优网版权所有【分析】列出循环过程中S与i的数值,满足判断框的条件即可结束循环【解答】解:判断前i=1,n=3,s=0,第1次循环,S=,i=2,第2次循环,S=,i=3,第3次循环,S=,i=4,此时,in,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:S=故选:B【点评】本题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力4(5分)若变量x、y满足约束条件,则z
10、=3xy的最小值为()A7B1C1D2【考点】7C:简单线性规划菁优网版权所有【专题】59:不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案【解答】解:由约束条件作出可行域如图,由图可知,最优解为A,联立,解得C(0,1)由解得A(2,1),由,解得B(1,1)z=3xy的最小值为3(2)1=7故选:A【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题易错点是图形中的B点5(5分)设函数f(x)=ln(1+x)ln(1x),则f(x)是()A奇函数,且在(0,1)上是增函数B奇函数,且在(0,1)上是减函数C偶函数,且在(0
11、,1)上是增函数D偶函数,且在(0,1)上是减函数【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断;3N:奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有【专题】53:导数的综合应用【分析】求出好的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可【解答】解:函数f(x)=ln(1+x)ln(1x),函数的定义域为(1,1),函数f(x)=ln(1x)ln(1+x)=ln(1+x)ln(1x)=f(x),所以函数是奇函数排除C,D,正确结果在A,B,只需判断特殊值的大小,即可推出选项,x=0时,f(0)=0;x=时,f()=ln(1+)ln(1)=ln31,显然f(0)f(),函数是增函数,所以B错误,A正确故选:
12、A【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用,考查计算能力6(5分)已知()5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()ABC6D6【考点】DA:二项式定理菁优网版权所有【专题】5P:二项式定理【分析】根据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第r+1项,整理成最简形式,令x的指数为求得r,再代入系数求出结果【解答】解:根据所给的二项式写出展开式的通项,Tr+1=;展开式中含x的项的系数为30,r=1,并且,解得a=6故选:D【点评】本题考查二项式定理的应用,本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项,在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具7(5分)在如图所示的正方
13、形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若XN=(,a2),则P(X+)=0.6826p(2X+2)=0.9544A2386B2718C3413D4772【考点】CP:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义菁优网版权所有【专题】11:计算题;5I:概率与统计【分析】求出P(0X1)=0.6826=0.3413,即可得出结论【解答】解:由题意P(0X1)=0.6826=0.3413,落入阴影部分点的个数的估计值为100000.3413=3413,故选:C【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量
14、和的应用,考查曲线的对称性,属于基础题8(5分)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC,若点P的坐标为(2,0),则|的最大值为()A6B7C8D9【考点】9D:两向量的和或差的模的最值;9O:平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】11:计算题;5B:直线与圆【分析】由题意,AC为直径,所以|=|2+|B为(1,0)时,|2+|7,即可得出结论【解答】解:由题意,AC为直径,所以|=|2+|所以B为(1,0)时,|2+|7所以|的最大值为7另解:设B(cos,sin),|2+|=|2(2,0)+(cos2,sin)|=|(cos6,sin)|=,当cos=1时,B为(1
15、,0),取得最大值7故选:B【点评】本题考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础9(5分)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移(0)个单位后得到函数g(x)的图象若对满足|f(x1)g(x2)|=2的x1、x2,有|x1x2|min=,则=()ABCD【考点】HJ:函数y=Asin(x+)的图象变换菁优网版权所有【专题】57:三角函数的图像与性质【分析】利用三角函数的最值,求出自变量x1,x2的值,然后判断选项即可【解答】解:因为将函数f(x)=sin2x的周期为,函数的图象向右平移(0)个单位后得到函数g(x)的图象若对满足|f(x1)g(x2)|=2的可知,两个函数的最
16、大值与最小值的差为2,有|x1x2|min=,不妨x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最小值,sin(22)=1,此时=,不合题意,x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最大值,sin(22)=1,此时=,满足题意另解:f(x)=sin2x,g(x)=sin(2x2),设2x1=2k+,kZ,2x22=+2m,mZ,x1x2=+(km),由|x1x2|min=,可得=,解得=,故选:D【点评】本题考查三角函数的图象平移,函数的最值以及函数的周期的应用,考查分析问题解决问题的能力,是好题,题目新颖有一定难度,选择题,可以回代验证的方法快速解答10(5分)某工件的三视图如图所示现将该工件通过
17、切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()ABCD【考点】L!:由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】2:创新题型;5F:空间位置关系与距离;5I:概率与统计【分析】根据三视图可判断其为圆锥,底面半径为1,高为2,求解体积利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形,高为x,利用轴截面的图形可判断得出n=(1),0x2,求解体积式子,利用导数求解即可,最后利用几何概率求解即【解答】解:根据三视图可判断其为圆锥,底面半径为1,高为2,V=2=加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,此长方体底面边长为n的正方
18、形,高为x,根据轴截面图得出:=,解得;n=(1),0x2,长方体的体积=2(1)2x,=x24x+2,=x24x+2=0,x=,x=2,可判断(0,)单调递增,(,2)单调递减,最大值=2(1)2=,原工件材料的利用率为=,故选:A【点评】本题很是新颖,知识点融合的很好,把立体几何,导数,概率都相应的考查了,综合性强,属于难题二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11(5分)(x1)dx=0【考点】67:定积分、微积分基本定理菁优网版权所有【专题】52:导数的概念及应用【分析】求出被积函数的原函数,代入上限和下限求值【解答】解:(x1)dx=(x)|=0;故答案为:0【点评】本题考查了定
19、积分的计算;关键是求出被积函数的原函数12(5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示若将运动员成绩由好到差编号为135号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是4【考点】BA:茎叶图菁优网版权所有【专题】5I:概率与统计【分析】根据茎叶图中的数据,结合系统抽样方法的特征,即可求出正确的结论【解答】解:根据茎叶图中的数据,得;成绩在区间139,151上的运动员人数是20,用系统抽样方法从35人中抽取7人,成绩在区间139,151上的运动员应抽取7=4(人)故答案为:4【点评】本题考查了茎叶图的应用问题,也考查了系统抽样方法的
20、应用问题,是基础题目13(5分)设F是双曲线C:=1的一个焦点若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为【考点】KC:双曲线的性质菁优网版权所有【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设F(c,0),P(m,n),(m0),设PF的中点为M(0,b),即有m=c,n=2b,将中点M的坐标代入双曲线方程,结合离心率公式,计算即可得到【解答】解:设F(c,0),P(m,n),(m0),设PF的中点为M(0,b),即有m=c,n=2b,将点(c,2b)代入双曲线方程可得,=1,可得e2=5,解得e=故答案为:【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的离心率
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