【精品】大一高数复习资料.pdf
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1、高等数学(本科少学时类型)第一章第一章函数与极限函数与极限第一节第一节函数函数函数基础(高中函数部分相关知识)()邻域(去心邻域)()Ua,x|xa 无穷小与无穷大的相关定理与推论()(定理三)假设fx为有界函数,gx为无穷小,(定理四)在自变量的某个变化过程中,若fx为无穷大,则f1x为无穷小;反之,若fx为无则limfxgx 0Ua,x|0 xa xx为无穷大【题型示例】计算:lim fxgx(或x )xx穷小,且fx 0,则f01第二节第二节数列的极限数列的极限数列极限的证明()【题型示例】已知数列xn,证明limxn a【证明示例】N语言1由xna 化简得n g,N g2即对 0,N
2、g,当n N时,始终有不等式xna 成立,limxn ax1fxM函数fx在x x0的任一去心邻域Ux0,内是有界的;(fxM,函数fx在xD上有界;)2lim gx 0即函数gx是x x0时的无穷小;(limgx 0即函数gx是x 时的无穷小;)xxx03由定理可知lim fxgx 0 xx0(limfxgx 0)x第三节第三节函数的极限函数的极限x x0时函数极限的证明()【题型示例】已知函数fx,证明lim fx Axx0第五节第五节极限运算法则极限运算法则极限的四则运算法则()(定理一)加减法则(定理二)乘除法则关于多项式px、qx商式的极限运算mm1px a0 x a1x am设:n
3、n1qx b0 x b1xbnn mpxa0则有limn mxqxb0n m0 fx0gx0 0g x0fxlimgx0 0,fx0 0 xx0gx0gx0 fx0 00fx0(特别地,当lim(不定型)时,通常分xx0gx0【证明示例】语言1由fx A 化简得0 xx0 g,g2即对 0,g,当0 x x0时,始终有不等式fx A 成立,lim fx Axx0 x 时函数极限的证明()【题型示例】已知函数fx,证明lim fx Ax【证明示例】X语言1由fx A 化简得x g,X g2即对 0,X g,当x X时,始终有不等式fx A 成立,lim fx Ax第四节第四节无穷小与无穷大无穷小
4、与无穷大无穷小与无穷大的本质()函数fx无穷小lim fx 0函数fx无穷大lim fx 子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值,也可以用罗比达法则求解)【题型示例】求值limx3x32x 9高等数学期末复习资料第1页(共9页)【求解示例】解:因为x 3,从而可得x 3,所以原式 limx3x3x311 lim lim2x3x3x 9x36x3x3 2x3解:limx2x1x1 2x12 limx2x12x12x122x1x12 lim12x12x12x1x3其中x 3为函数fx2的可去间断点x 9倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第二节):2 lim12x12x12x12x122
5、lim12x12x1x12limx12x12x1x1x3x311lim lim解:lim2x3x 9L x3x32x6x29连续函数穿越定理(复合函数的极限求解)()(定理五)若函数fx是定义域上的连续函数,那么,lim f x flimxxx0 xx0【题型示例】求值:lim【求解示例】limx3002lim12x12x1 e2x12x122x12x1lim2 e 2x2lim2x1 e1 ex3x3x29第七节第七节无穷小量的阶(无穷小的比较)无穷小量的阶(无穷小的比较)等价无穷小()U sinU tanU arcsinU arctanU ln(1U)1Ue 12U 1cosU(乘除可替,
6、加减不行)ln1 x xln1 x【题型示例】求值:lim2x0 x 3x【求解示例】ln1 x xln1 x解:因为x 0,即x 0,所以原式 limx0 x23x1 xln1 x lim1 x x limx 11 limx0 x0 xx 3x0 x 3xx 33第八节第八节函数的连续性函数的连续性函数连续的定义()xx0 x3x316limx3x29x2966122第六节第六节极限存在准则及两个重要极限极限存在准则及两个重要极限夹迫准则(P53)()第一个重要极限:limx0,sin x1x0 xsin x1,sinx x tanxlimx02xlim1x1x0lim lim1x0sin
7、xx0sin xsin xlimx0 xxlim fx limfx fx0 xx0间断点的分类(P67)()跳越间断点(不等)第一类间断点(左右极限存在)可去间断点(相等)第二类间断点)无穷间断点(极限为(特别地,可去间断点能在分式中约去相应公因式)sin(x x0)1)(特别地,limxx0 x x0单调有界收敛准则(P57)()1第二个重要极限:lim1 exx(一般地,limfxlim fx 0)gxx lim fxlimgx,其中e2xx 0【题型示例】设函数fx,应该怎样选x 0a x择数a,使得fx成为在R上的连续函数?【求解示例】f0 e20 e1 e1f 0 a0 a f0 a
8、2由连续函数定义limfx limfx f0 ex0 x02x 3【题型示例】求值:limx2x 1【求解示例】x1a e高等数学期末复习资料第2页(共9页)第九节第九节闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质零点定理()【题型示例】证明:方程fx gxC至少有一个根介于a与b之间【证明示例】1(建立辅助函数)函数x fx gxC在闭区间a,b上连续;2ab 0(端点异号)3由零点定理,在开区间a,b内至少有一点,使gC 0(0 1)4这等式说明方程fx gxC在开区间a,b内至少有一个根第二章第二章导数与微分导数与微分第一节第一节导数概念导数概念高等数学中导数的定义及几何意义(P83)(
9、)得 0,即fx的导数【求解示例】由题可得fx为直接函数,其在定于域D【题型示例】求函数f1上单调、可导,且f x 0;f1x 1 fx复合函数的求导法则()【题型示例】设y ln earcsin【求解示例】解:y 1earcsin1earcsinx21x21x21x2a2,求yx2a2 earcsinx21x a22x2a2arcsineearcsinearcsinex1x 0【题型示例】已知函数fx,在x 0 x 0axb处可导,求a,b【求解示例】f0 e01 e01 20 f0 e 11,f 0 b f0 af0 e01 2ee1arcsinx21x2a21x ax212222 x a
10、 1x 12x22xx212 x 12222 x2 x ax2122x21arcsinx21x2a2xx212 x2x2a2x第四节第四节高阶导数高阶导数fnn1n1nd ydy)(或()xnn1dxdxxf f0 f0 a 12由函数可导定义f 0 f 0 f0b 2a 1,b 2【题型示例】求函数y ln1 x的n阶导数【求解示例】y 111 x,1 x【题型示例】求y fx在x a处的切线与法线方程(或:过y fx图像上点a,fa处的切线与法线方程)【求解示例】1y f x,y|xa f a2切线方程:y fa f axa法线方程:y fa 1xaf a12y 1 x11 x,23y 1
11、1 x121 xy (1)n1(n1)!(1 x)nn第五节第五节隐函数及参数方程型函数的导数隐函数及参数方程型函数的导数隐函数的求导(等式两边对x求导)()【题型示例】试求:方程y x e所给定的曲线C:y第二节第二节函数的和(差)函数的和(差)、积与商的求导法则、积与商的求导法则函数和(差)、积与商的求导法则()1线性组合(定理一):(u v)uv特别地,当1时,有(u v)uv2函数积的求导法则(定理二):(uv)uvuvy yx在点1e,1的切线方程与法线方程y【求解示例】由y x e两边对x求导yy即y x e化简得y 1e yy u uvuv3函数商的求导法则(定理三):2vv第三
12、节第三节反函数和复合函数的求导法则反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则()111e11e1x 1 e1e切线方程:y 1高等数学期末复习资料第3页(共9页)法线方程:y 1 1ex 1 e参数方程型函数的求导x td2y【题型示例】设参数方程,求2dxy t dy dytd2ydx【求解示例】1.2.2tdxtdx第六节第六节变化率问题举例及相关变化率(不作要求)变化率问题举例及相关变化率(不作要求)第七节第七节函数的微分函数的微分基本初等函数微分公式与微分运算法则()dy f xdx第三章第三章中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用第一节第一节中值定理中值定理引理(费马引理)()罗尔
13、定理()【题型示例】现假设函数fx在0,上连续,在0,上可导,试证明:0,,使得fx 0,函数fx在闭区间0,x上连续,在开区1间0,上可导,并且f x;1 x2由拉格朗日中值定理可得,0,x使得等式1ln1 xln10 x0成立,11x,又0,x,化简得ln1 x111,ln1 x1x x,f 1x即证得:当x 1时,e ex第二节第二节罗比达法则罗比达法则运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤()1 等价无穷小的替换(以简化运算)2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A属于两大基本不定型(cos f sin0成立【证明示例】1(建立辅助函数)令x fxsinx显然函
14、数x在闭区间0,上连续,在开区间0,)且满足条件,0 fxf x则进行运算:lim limxagxxagx0,上可导;2又0 f0sin0 0 fsin0即0 03由罗尔定理知(再进行 1、2 步骤,反复直到结果得出)B 不属于两大基本不定型(转化为基本不定型)0型(转乘为除,构造分式)【题型示例】求值:limx ln xx0【求解示例】0,,使得fcos f sin0成立拉格朗日中值定理()【题型示例】证明不等式:当x 1时,e ex【证明示例】1(建立辅助函数)令函数fxe,则对x 1,xx1lnxx解:limxln x limlim lim1x0 x01L x0 x0 x12xxx1 l
15、imx 0ax0ln x(一般地,limx ln x 0,其中,R)x0显然函数fx在闭区间1,x上连续,在开区间 型(通分构造分式,观察分母)【题型示例】求值:lim1,x上可导,并且f x ex;2由拉格朗日中值定理可得,1,x使得等式1 1x0sin xxexe1x1e成立,x11又e e,e e x1e exe,1【求解示例】1 1 xsin x xsin x解:lim lim limx0sin xxx0 xsin xx0 x2化简得e ex,即证得:当x 1时,e ex【题型示例】证明不等式:当x 0时,ln1 x x【证明示例】1(建立辅助函数)令函数fx ln1 x,则对xxli
16、mL x000 xsin xx21cosx1cosxsin x limlim lim 0 x0 x02xL x02x2000型(对数求极限法)0高等数学期末复习资料第4页(共9页)【题型示例】求值:limxx0 x【求解示例】解:设y xx,两边取对数得:ln y ln xx xln x ln x1x0000(2)(1)(3)0 10通分获得分式(通常伴有等价无穷小的替换)取倒数获得分式(将乘积形式转化为分式形式)取对数获得乘积式(通过对数运算将指数提前)第三节第三节泰勒中值定理(不作要求)泰勒中值定理(不作要求)第四节第四节函数的单调性和曲线的凹凸性函数的单调性和曲线的凹凸性连续函数单调性(
17、单调区间)()【题型示例】试确定函数fx 2x39x212x3的单调区间【求解示例】1函数fx在其定义域R上连续,且可导2f x 6x 18x12ln xln x对对数取x 0时的极限:limln y limlimx0 x01L x0 1 xx1limln y limx limx 0,从而有lim y limeln y ex0 e01x0 x0 x0 x012x1型(对数求极限法)【题型示例】求值:limcosxsin xx01x【求解示例】解:令y cosxsin x,两边取对数得ln y lncosxsin x,xlncosxsin x对ln y求x 0时的极限,limln y limx0
18、 x0 x00lncosxsin xcosxsin x10lim lim1,从而可得L x0 x0cosxsin x10 x1xx11,x2 22 令f x 6x1x2 0,解得:3(三行表)x,110极大值1,220极小值2,f xfxlim y=limeln y ex0 x0 x0limln y e1 e0型(对数求极限法)【题型示例】求值:lim【求解示例】4函数fx的单调递增区间为,1,2,;单调递减区间为1,2【题型示例】证明:当x 0时,e x1【证明示例】1(构建辅助函数)设xe x1,(x 0)xx 1x0 xtanx 1 解:令y x 1,两边取对数得ln y tan xln
19、,x 1 对ln y求x 0时的极限,limln y limtan xlnx0 x0 xln x limlimx01Lx01tan xtan x02sin2xsin x02sin xcosx limlim lim 0,x0L x0 x0 xx1tanx2x e 1 0,(x 0)xx0 03既证:当x 0时,e x1【题型示例】证明:当x 0时,ln1 x x【证明示例】1(构建辅助函数)设xln1 xx,(x 0)xln x1x limx0sec2xtan2x11 0,(x 0)1 xx002x3既证:当x 0时,ln1 x x连续函数凹凸性()【题型示例】试讨论函数y 13x x的单调性、
20、极值、凹凸性及拐点【证明示例】23从而可得lim y=limeln y ex0 x0 x0limln y e01运用罗比达法则进行极限运算的基本思路()高等数学期末复习资料第5页(共9页)2y 3x 6x 3xx21y 6x6 6x1x1 0,x2 2y 3xx2 02令解得:x 1y 6x1 0【求解示例】1函数fx在其定义域1,3上连续,且可导f x 3x232令f x 3x1x10,解得:x1 1,x213(三行表)3(四行表)x(,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)y00yy(1,3)51234函数y 13x x单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(,0),(2,);
21、23函数y 13x x的极小值在x 0时取到,为f01,极大值在x 2时取到,为f25;函数y 13x x在区间(,0),(0,1)上凹,在区间(1,2),(2,)上凸;函数y 13x x的拐点坐标为1,32323x10极小值1,110极大值1,3f xfx4又f1 2,f1 2,f3 18fxmax f1 2,fxmin f3 18第六节第六节函数图形的描绘(不作要求)函数图形的描绘(不作要求)第七节第七节曲率(不作要求)曲率(不作要求)第八节第八节方程的近似解(不作要求)方程的近似解(不作要求)第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质原函数与不定积分
22、的概念()原函数的概念:假设在定义区间I上,可导函数Fx的导函数为Fx,即当自变量xI时,有Fx fx或第五节第五节函数的极值和最大、最小值函数的极值和最大、最小值函数的极值与最值的关系()设函数fx的定义域为D,如果xM的某个邻域UxM D,使得对xUxM,都适合不等式fx fxM,我们则称函数fx在点xM,fxM处有极大值fxM;令xMxM1,xM 2,xM3,.,xMn则函数fx在闭区间a,b上的最大值M满足:dFx fxdx成立,则称Fx为fx的一个原函数原函数存在定理:()如果函数fx在定义区间I上连续,则在I上必存在可导函数Fx使得Fx fx,也就是说:连续函数一定存在原函数(可导
23、必连续)不定积分的概念()在定义区间I上,函数fx的带有任意常数项M maxfa,xM1,xM 2,xM3,.,xMn,fb;设函数fx的定义域为D,如果xm的某个邻域C的原函数称为fx在定义区间I上的不定积分,即表示为:(fxdx FxCUxm D,使得对xUxm,都适合不等式fx fxm,我们则称函数fx在点xm,fxm处有极小值为积分表达式,x则称为积分变量)基本积分表()不定积分的线性性质(分项积分公式)()称为积分号,fx称为被积函数,fxdx称fxm;令xmxm1,xm2,xm3,.,xmn则函数fx在闭区间a,b上的最小值m满足:k fxk gxdx kfxdxkgxdx1212
24、第二节第二节换元积分法换元积分法第一类换元法(凑微分)()(dy f xdx的逆向应用)m minfa,xm1,xm2,xm3,.,xmn,fb;【题型示例】求函数fx3xx在1,3上的最值3xxdx f xd xf 高等数学期末复习资料第6页(共9页)【题型示例】求【求解示例】1解:2a x2dx 1a2 x2dx1 x 1a2第三节第三节分部积分法分部积分法分部积分法()设函数u fx,v gx具有连续导数,则其x x 1darctanCa x aa1a2dx 1a1分部积分公式可表示为:udv uv vdu分部积分法函数排序次序:“反、对、幂、三、指”运用分部积分法计算不定积分的基本步骤
25、:遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序;就近凑微分:(vdx dv)使用分部积分公式:udv uv vdu展开尾项vdu vudx,判断a若vudx是容易求解的不定积分,则直接计算出答案(容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果);b若vudx依旧是相当复杂,无法通过 a 中方法求解的不定积分,则重复、,直至出现容易求解的不定积分;若重复过程中出现循环,则联立方程求解,但是最后要注意添上常数C【题型示例】求exx2dx【题型示例】求1dx2x1【求解示例】1111解:dx d 2x1 2x122x12 2x1d2x12x1C第二类换元法(去根式)()(dy f xdx
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