历年全国高中数学联赛试题及答案.doc.pdf
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1、.1988 年全国高中数学联赛试题第一试(10 月 16 日上午 800930)一选择题(本大题共 5 小题,每小题有一个正确答案,选对得7 分,选错、不选或多选均得0 分):1设有三个函数,第一个是y=(x),它的反函数是第二个函数,而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于 x+y=0 对称,那么,第三个函数是()Ay=(x)By=(x)Cy=1(x)Dy=1(x)2已知原点在椭圆 k2x2+y24kx+2ky+k21=0 的内部,那么参数 k 的取值 X 围是()A|k|1B|k|1C1k1D0|k|13平面上有三个点集 M,N,P:M=(x,y)|x|+|y|1,N=(x,y)|11(x
2、)2+(y+)2+2211(x+)2+(y)22 2,22P=(x,y)|x+y|1,|x|1,|y|;3命题乙:a、b、c 相交于一点则A甲是乙的充分条件但不必要B甲是乙的必要条件但不充分C甲是乙的充分必要条件DA、B、C 都不对5在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点,我们用I 表示所有直线的集合,M 表示恰好通过1 个整点的集合,N 表示不通过任何整点的直线的集合,P 表示通过无穷多个整点的直线的集合那么表达式 MNP=I;NMP 中,正确的表达式的个数是A1B2C3D4二填空题(本大题共 4 小题,每小题 10 分):b4b31设 xy,且两数列 x,a1,a2,a3,y 和 b1
3、,x,b2,b3,y,b4均为等差数列,那么=a2a12(x+2)2n+1的展开式中,x 的整数次幂的各项系数之和为DE3在ABC 中,已知A=,CD、BE 分别是 AB、AC 上的高,则=BC4甲乙两队各出7 名队员,按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由1 号队员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方 2 号队员比赛,直至一方队员全部淘汰为止,另一方获得胜利,形成一种比赛过程 那么所有可能出现的比赛过程的种数为三(15 分)长为 2,宽为1 的矩形,以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周,求得到的旋转体的体积四(15 分)复平面上动点 Z1的轨迹方程为|Z1Z0|=|Z1|,Z0为定点,Z00
4、,另一个动点 Z 满足 Z1Z=1,求点 Z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置1 1五(15 分)已知 a、b 为正实数,且+=1,试证:对每一个 nN*,a b(a+b)nanbn22n2n+11988 年全国高中数学联赛二试题一已知数列an,其中 a1=1,a2=2,5an+13an(anan+1为偶数),an+2=an+1为奇数)an+1an(an.试证:对一切 nN*,an0SPQR2二如图,在ABC 中,P、Q、R 将其周长三等分,且 P、Q 在 AB 边上,求证:SABC9APHNQBRC三在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线l1,l2,ln,的直线族,它满足条件:点(1,
5、1)ln,(n=1,2,3,);kn+1=anbn,其中 kn+1是 ln+1的斜率,an和 bn分别是 ln在 x 轴和 y 轴上的截距,(n=1,2,3,);knkn+10,(n=1,2,3,)并证明你的结论1988 年全国高中数学联赛解答一试题一选择题(本大题共 5 小题,每小题有一个正确答案,选对得7 分,选错、不选或多选均得0 分):1设有三个函数,第一个是y=(x),它的反函数是第二个函数,而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于 x+y=0 对称,那么,第三个函数是()Ay=(x)By=(x)Cy=1(x)Dy=1(x)解:第二个函数是 y=1(x)第三个函数是x=1(y),即
6、y=(x)选 B2已知原点在椭圆 k2x2+y24kx+2ky+k21=0 的内部,那么参数 k 的取值 X 围是()A|k|1B|k|1C1k1D0|k|1解:因是椭圆,故 k0,以(0,0)代入方程,得 k210,选 D3平面上有三个点集 M,N,P:.M=(x,y)|x|+|y|1,N=(x,y)|11(x)2+(y+)2+2211(x+)2+(y)22 2,22P=(x,y)|x+y|1,|x|1,|y|;3命题乙:a、b、c 相交于一点则A甲是乙的充分条件但不必要B甲是乙的必要条件但不充分C甲是乙的充分必要条件DA、B、C 都不对解:a,b,c 或平行,或交于一点但当abc 时,=当
7、它们交于一点时,SABC9APHNQBRC1证明:作ABC 与PQR 的高 CN、RH设ABC 的周长为 1则 PQ=3则SPQRPQRH PQ AR1PQ 2=,但 AB,CN AB AC2AB 3SABCAB11 1111AR 1SPQR2APABPQ,AC,从而 23 6362AC 3SABC9三在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线 l1,l2,ln,的直线族,它满足条件:点(1,1)ln,(n=1,2,3,);kn+1=anbn,其中 kn+1是 ln+1的斜率,an和 bn分别是 ln在 x 轴和 y 轴上的截距,(n=1,2,3,);knkn+10,(n=1,2,3,)并证明你
8、的结论证明:设 an=bn0,即 kn1=1,或 an=bn=0,即 kn=1,就有 kn+1=0,此时 an+1不存在,故 kn111现设 kn0,1,则 y=kn(x1)+1,得 bn=1kn,an=1,kn+1=kn 此时 knkn+1=kn21knknkn1 或 kn1 或 k11 时,由于 0 k2=k1 0,若 k21,则又有 k1k2k30,依此类推,知当 km1k1k1111时,有 k1k2k3kmkm+10,且 0 1,k1k2km11112mkm+1=kmkm=km1 km1 km1=km11即此时不存在这样的直线族11 当 k11 时,同样有1 0,得 k1k2=k1 0
9、若 k21,又有 k1k2k30,依此类推,知当k1k1111km1 时,有 k1k2k3kmkm+1 1,k1k2km11112mkm+1=kmkm=km1 km1 k1 kmk1k1k1km1k1mm0由于 k1随 m 的增大而线性增大,故必存在一个m 值,m=m0,使 k11,从而必存在一个mkmk1值,m=m1(m1m0),使 km111,而10,此时 km1km1+10km1110,此时 km1km1+10km111.综上可知这样的直线族不存在XX 市参加 20XXXX 省高中数学竞赛暨 20XX 全国高中数学联赛 XX 赛区竞赛的通知贵校教务处转数学教研组:根据闽科协发201039
10、 号文件关于举办 20XX 全国高中数学联赛 XX 赛区竞赛的通知,以与省数学会关于20XXXX 省高中数学竞赛暨 20XX 全国高中数学联赛 XX 赛区竞赛的通知,根据我市情况,有关竞赛工作通知如下:一、赛制、竞赛时间和命题一、赛制、竞赛时间和命题 X X 围围竞赛分预赛和复赛两个阶段。1预赛:1时间:20XX9 9 月月 1111 日星期六日星期六9:0011:30,在本市考点进行。2试题来源:预赛试题由XX 省数学学会组织命题,同时也作为20XXXX 省高中数学竞赛的试题,试题类型以全国联赛类型为主,适当补充少量全国联赛加试部分的内容。3试卷结构:填空题 10 题,每题 6 分,满分 6
11、0 分;解答题 5 题,每题 20 分,满分 100 分。全卷满分 160 分。考试时间 150 分钟。2复赛1时间与地点:20XX10 月 17 日星期日8:0012:10,集中在 XX 一中旧校区进行考试。其中联赛时间为 8:009:20,加试时间为 9:4012:10。2试题来源与命题要求:复赛试题是由中国数学会统一命题的全国联赛试题和加试试题。命题 X 围以现行高中数学教学大纲高中数学教学大纲为准,加试试题的命题X 围以数学竞赛大纲数学竞赛大纲为准。根据现行“高中数学竞赛大纲的要求,全国高中数学联赛一试所涉与的知识X 围不超过教育部20XX全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要
12、求和内容,但方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况,以与综合、灵活运用知识的能力。全国高中数学联赛加试二试与中国数学奥林匹克冬令营、国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展,适当增加一些教学大纲之外的内容。3试卷结构:全国高中数学联赛一试试卷结构为:填空题8 题,每题8 分,满分64 分;解答题3 题,分别为16分、20 分、20 分,满分 56 分。全卷满分 120 分。考试时间 80 分钟;全国高中数学联赛加试二试试卷结构为:4 道解答题,涉与平面几何、代数、数论、组合四个方面。每题 50 分。满分 200 分。考试时间 150 分钟。二、参赛对象二、参赛对象本学
13、年度的在校高中学生均可报名,自愿参加,不影响学校的正常教学秩序。三、报名、报名费和三、报名、报名费和 XXXX采用网上报名。在各校教务处的指导下,由高二年数学备课组长具体负责,组织学生报名参加竞赛。报名表请参照样表、统一用 Excel 文档并按要求认真填写按要求认真填写,根据省数学会要求,报名时需将所有参加考试的考生的花名册上交,为最后评奖、颁发获奖学生证书以与制作指导教师证书的依据,务必请各校认真填写报名表,指导教师以报名表上登记的为准 每名学生只能上报 1 名指导教师,赛后不得更改。报名费 按.省数学会通知统一收取每生统一收取每生 1818 元元。各参赛学校请将报名表的电子文本用E.mai
14、l 发送至电子油箱 xmczm126报名截止时间是报名截止时间是 6 6 月月 2525日,逾期不予受理。日,逾期不予受理。四、考号安排四、考号安排.学 校考号安排XX 一中 1000110600双十中学 1060111200XX 六中 1120111800外国语学校 1180112400科技中学 1240113000XX 二中 1300113200湖滨中学 1320113400集美中学 2000120400英才学校 2040120600灌口中学 2060128000乐安中学 2080121000同安一中 3000130600启悟中学 3060130800第二外国语学校 3080131000翔
15、安一中 4000140400新店中学 4040140600内厝中学 4060140800诗扳中学 4080141000学 校考号安排松柏中学 1340113600XX 三中 1360113800华侨中学 1380114000禾山中学 1400114200XX 中学 1420114400康桥中学 1440114600XX 十中 2100121400杏南中学 2140121600海沧中学 2160121800海沧实验中学 2180122000东山中学 3100131200五显中学 3120131400国祺中学 3140131600.五、考务:五、考务:有关考场的设置、监考等考务工作另行安排布置。六
16、、奖项:六、奖项:按参赛人数的 5%从高分到低分确定复赛入围者;预赛成绩为本区第一名经省数学会审核无误后也可以直接参加复赛。另外,符合下列条件之一者可直接进入复赛:120XX、20XX 全国高中数学联赛XX 赛区一、二等奖获得者;220XX 东南地区数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者;320XXXX 省高一数学竞赛省前十五名获得者;420XX 中国女子数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者。复赛试卷经省数学会评定后,评出省级全国一、二、三等奖的获奖报省科协、省教育厅审定,获得省级全国一、二、三等奖的选手与指导教师由省科协和省教育厅联合颁发获奖证书。注意:注意:一等奖、一等奖、二等奖和三等奖均按联赛与加
17、试的总分评定。二等奖和三等奖均按联赛与加试的总分评定。省数学会评出省数学会评出20XXXX20XXXX 省高中数学竞赛省高中数学竞赛一、二、三等奖一、二、三等奖后,我市在省奖之外再评出市一等奖、二等奖、三等奖,以与表扬奖若干名。为了鼓励各校参加高中数学联赛的积极性,研究决定:按报名人数给学校不低于 10%的市级以上获奖名额,鼓励学生。XX 市教育科学研究院 基础教育研究室XX 市教育学会 数学教学专业委员会20XX5 月 13 日附:20XX 全国高中数学联赛 XX 赛区XX竞赛报名表考号学生 XX性别年级所在学校指导教师考生总数人应交金额元注:报名表的指导教师栏请认真填写,赛后不得更改199
18、21992 年全国高中数学联赛试卷年全国高中数学联赛试卷第一试一选择题(每小题 5 分,共 30 分)1.对于每个自然数n,抛物线y(nn)x(2n1)x1 与x轴交于An,Bn两点,以|AnBn|表示该两点的距离,则|A1B1|22y11O11x.|A2B2|A1992B19921991|的值是()(A)19921992 (B)19931991 (C)19931993 (D)19922.已知如图的曲线是以原点为圆心,1 为半径的圆的一部分,则这一曲线的方程是()(A)(x1 y21 y2)(y)(y1 x2)=0(B)(x1 y2)(y1 x2)=0(C)(x1 y2)(y1 x2)=0(D
19、)(x1 x2)=0(Si)i143.设四面体四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,它们的最大值为S,记=4 (B)34 (C)2.54.5 (D)3.55.5/S,则一定满足()(A)21)2.用数学归纳法证明:fn(x)=y Cy(1)Cy(1),(i 1,2,n,n为偶数)2n1n1n1n2iin2i2y Cy(1)Cy(1)2Cn,2,n1,n为奇数)n1ni1,(i 122n1n2n1iinin2in219931993 年全国高中数学联合竞赛试卷年全国高中数学联合竞赛试卷第一试一选择题(每小题 5 分,共 30 分)1 若M(x,y)|tgy|+sinx0,N(x,y)|x+y2
20、,则MN的元素个数是 (A)4 (B)5222(C)8 (D)92 已知f(x)asinx+b+4(a,b为实数),且f(lglog310)5,则f(lglg3)的值是 (A)5 (B)3(C)3 (D)随a,b取不同值而取不同值3 集合A,B的并集ABa1,a2,a3,当AB时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A,B)对的个数是A8B9C26D274 若直线x4被曲线C:(xarcsina)(xarccosa)(yarcsina)(yarccosa)0 所截的弦长为d,当a变化时d的最小值是()(A)4 (B)3 (C)2 (D)sinC A cosC A22的值5 在ABC中
21、,角A,B,C的对边长分别为a,b,c,若ca等于AC边上的高h,则11是()(A)1 (B)2 (C)3 (D)1.yF2F1yoF2F1yxF2F1yoF2xoxF1O(A)x(B)(C)(D)6 设m,n为非零复数,i为虚数单位,zC,则方程|zni|zmi|n与|zni|zmi|m在同一复平面内的图形(F1,F2为焦点)是()二填空题每小题 5 分,共 30 分1 二次方程(1i)x(i)x(1i)0(i为虚数单位,R)有两个虚根的充分必要条件是的取值 X 围为_211SSmin_2 实数x,y满足 4x5xy4y5,设Sxy,则max222253 若zC,arg(z4)62,arg(
22、z+4)3,则z的值是_2 1093314 整数103的末两位数是_logx01993logx11993logx21993k logx019935 设任意实数x0 x1x2x30,要使最大值是_6 三位数(100,101,999)共 900 个,在卡片上打印这些三位数,每X卡片上打印一个三位数,有的卡片所印的,倒过来看仍为三位数,如 198 倒过来看是 861;有的卡片则不然,如 531 倒过来看是,因此,有些卡片可以一卡二用,于是至多可以少打印_X卡片三 本题满分 20 分三棱锥SABC中,侧棱SA、SB、SC两两互相垂直,M为三角形ABC的重心,D为AB的中点,作与SC平行的直线DP证明:
23、(1)DP与SM相交;(2)设DP与SM的交点为D,则D为三棱锥SABC的外接球球心四 本题满分 20 分设 0ab,过两定点A(a,0)和B(b,0)分别引直线l和m,使与抛物线yx有四个不同的交点,当这四点共圆时,求这种直线l与m的交点P的轨迹2x1x2x3x3恒成立,则k的.五 本题满分 20 分设正数列a0,a1,a2,an,满足anan2an1an2 2an1(n2)且aa1求a的通项公式01n19941994 年全国高中数学联赛试题年全国高中数学联赛试题第一试一选择题(每小题 6 分,共 36 分)1设a,b,c是实数,那么对任何实数x,不等式asin x bcosx c 0都成立
24、的充要条件是 (A)a,b同时为 0,且c0 (B)a2 b2 c (C)a2 b2 c (D)a2 b2 c2给出下列两个命题:(1)设a,b,c都是复数,如果a2b2 c2,则a2b2 c2 0;b2 c2 0,则a2b2 c2(2)设a,b,c都是复数,如果a那么下述说法正确的是2(A)命题(1)正确,命题(2)也正确 (B)命题(1)正确,命题(2)错误(C)命题(1)错误,命题(2)也错误 (D)命题(1)错误,命题(2)正确3 已知数列an满足3an1的最小整数n是 an 4(n 1),且a1 9,其前 n 项之和为Sn,则满足不等式|Sn n 6|1125 (A)5 (B)6 (
25、C)7 (D)80b 1,0 a 4已知小关系是logbsinay (cosa)logbcosa,z (sina)logbcosa的大4,则下列三数:x (sina),(A)xzy (B)yzx (C)zxy (D)xyz5在正n棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值 X 围是(A)n 1n 2n 2n 1(,),)(0,)(,)nn2 (D)nn (B)(C).|x y|x y|12a2b6在平面直角坐标系中,方程(a,b是不相等的两个正数)所代表的曲线是 (A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)1已知有向线段PQ的起点
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