圆锥曲线与方程第一课时.ppt
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1、第九章圆锥曲线与方程 第一课时椭圆的定义与方程知识梳理一、椭圆的定义平面内与两定点F1,F2的距离的和等于定长2a 的点的轨迹叫做_,即点集M P|PF1|PF2|2a,2a|F1F2|是椭圆;其中两定点F1,F2叫_,定点间的距离叫_(2a 时,点的轨迹为线段F1F2,2a 时,无轨迹)答案:椭圆焦点焦距二、椭圆的标准方程焦点在x 轴上:1(ab0);焦点在y 轴上:1(ab0)三、点P(x0,y0)和椭圆 1(ab0)的关系1点P(x0,y0)在椭圆外_;2点P(x0,y0)在椭圆上_;3点P(x0,y0)在椭圆内_.答案:三、1.12.13.1基础自测1(2011 年 上 海 闸 北 区
2、 模 拟)设P 是 椭 圆 1上 的 点若F1,F2是椭圆的两个焦点,则 等于()A 4B 5C 8 D 10 解析:由椭圆的第一定义知 2a10.答案:D2(2012 年 北 京 海 淀 区 模 拟)已 知 椭 圆 1,长轴在y 轴上若焦距为4,则m 等于()A 4 B 5 C 7 D 8解 析:由 题 意 得m 210 m 且10m0,于 是6m10,再有(m 2)(10 m)22,得m 8.答案:D3(2012 年 盐 城 模 拟)已 知F1、F2为 椭 圆 1的 两个 焦 点,过F1的 直 线 交 椭 圆 于A、B 两 点,若 12,则 _.解 析:依 题 直 线AB 过 椭 圆 的
3、左 焦 点F1,在 F2AB 中,|F2A|F2B|AB|4a20,又|F2A|F2B|12,|AB|8.答案:84 已 知 方 程 1表 示 椭 圆,则k 的 取 值 范围为_答案:椭 圆 1上 的 点M 到 焦 点F1的 距 离 为2,N为MF1的中点,则(O 为坐标原点)的值为()A 4B 2C 8D.思 路 分 析:涉 及 椭 圆 上 的 点 到 焦 点 的 距 离 时,通 常 可以根据定义进行转化解 析:如 右 图 所 示,设 椭 圆 的 另一个焦点为F2,由椭圆的定义得 2a10,所以又因为ON 为MF1F2的中位线,所以故答案为A.答案:A点评:椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义,
4、即 2a,利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离变式探究1(2011 年 福 州 模 拟)已 知 ABC 的 顶 点B、C 在 椭 圆 y21上,顶 点A 是 椭 圆 的 一 个 焦 点,且 椭 圆 的 另 外 一 个 焦 点 在BC 边上,则ABC 的周长是()A 2 B 6 C 4 D 12解 析:(数 形 结 合)由 椭 圆 的 定 义,椭 圆 上 一 点 到 两 焦 点的 距 离 之 和 等 于 长 轴 长2a,可 得 ABC 的 周 长 为4a4,所以选C.答案:C 一 动 圆 与 已 知 圆O1:(x 3)2y21外 切,与 圆O2:(x 3)2y281内切,试求动圆圆心的
5、轨迹方程解析:两定圆的圆心和半径分别为O1(3,0),r11;O2(3,0),r29.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则由题设条件可得|MO1|1R,|MO2|9R.|MO1|MO2|10|O1O2|6.由椭圆的定义知:M 在以O1、O2为焦点的椭圆上,且a5,c 3.b2a2c225916,故动圆圆心的轨迹方程为 1.变式探究2椭圆 1的左、右焦点分别为F1和F2,点P 在椭圆上,如果线段PF1的中点在y 轴上,那么|PF1|是|PF2|的_倍7 设F1,F2是 椭 圆 1的 两 个 焦 点,P 是 椭 圆 上的点,且|PF1|PF2|43,求PF1F2的面积思 路 分 析:由 椭 圆
6、方 程 可 求 出2a与2c,且 由|PF1|PF2|43知可求出|PF1|,|PF2|的长度,从而可求三角形的面积解 析:由 于|PF1|PF2|7,且|PF1|PF2|43,得|PF1|4,|PF2|3,又|F1F2|2c 2 5,显 然|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,所 以 PF1F2是 以PF1,PF2为 直 角 边 的 直 角 三 角 形,从而所求PF1F2的面积为S|PF1|PF2|436.点 评:本 题 运 用 了 椭 圆 的 定 义 来 解 题 椭 圆 定 义 是 用 椭圆 上 任 意 一 点P 到 两 焦 点 的 距 离 之 和 来 描 述 的,定 义 中|PF1|P
7、F2|2a|F1F2|.定 义 能 够 对 一 些 距 离 进 行 相 关 的 转 化,简 化解 题 过 程 因 此 在 解 题 过 程 中,遇 到 涉 及 椭 圆 上 的 点 到 焦 点的距离问题时,应先考虑是否能够使椭圆的定义来解决变式探究3 已 知 点A(3,0),B(2,1)是 椭 圆 1 内 的 点,M是椭圆上的一动点,试求|MA|MB|的最大值与最小值解 析:易 知A 点 为 椭 圆 的 右 焦 点,设 左 焦 点 为F1,由a225,知|MF1|MA|10,因 此|MA|MB|10|MB|MF1|,连 结BF1并 延 长BF1交 椭 圆 于C,反 向 延 长BF1交 椭 圆 于D
8、;当M 位 于C 点 时,|MB|MF1|最 大,当M 位 于D 点 时|MB|MF1|最小,计算得最大值为10,最小值为10.(1)已 知 椭 圆 的 对 称 轴 是 坐 标 轴,O 为 坐 标 原 点,F是 一 个 焦 点,A 是 一 个 顶 点,若 椭 圆 的 长 轴 长 是 6,且 cos OF A.则椭圆方程为_(2)设A(2,0),B(2,0),ABC 的 周 长 为10,则 动 点C 的轨迹方程为_解 析:(1)椭 圆 的 长 轴 长 是6,且cos OF A,点A 不是长轴的端点|OF|c,|AF|a3,c 2,b25.椭圆方程是 1,或 1.(2)因 为|AB|4,所 以|A
9、C|CB|6(4),由 椭 圆 的 定 义知 点C 的 轨 迹 是 椭 圆,其 中a3,c 2,b,但 点C、A、B 不能共线,因此y0.动点C 的轨迹方程为:1(y0)点 评:(1)求 椭 圆 的 标 准 方 程 关 键 是 确 定a,b的 值;(2)由 椭 圆 的 一 个 短 轴 端 点,一 个 焦 点,中 心O 为 顶 点 组 成 的 直角 三 角 形 在 求 解 椭 圆 问 题 中 经 常 用 到;(3)注 意 利 用 椭 圆 的 定义解题,常常会起到事半功倍的效果变式探究4 椭 圆 的 对 称 轴 在 坐 标 轴 上,长 轴 是 短 轴 的2倍,且 过点(2,1),则它的方程是_答案
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