2023年导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 2.pdf
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1、学习必备 欢迎下载 导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第2 步,由不等式恒成立来求参数的取值范围问题,分析难度大,但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。洛必达法则简介:法则 1 若函数 f(x)和 g(x)满足下列条件:(1)lim0 xafx 及 lim0 xag x;(2)在点 a 的去心邻域内,f(x)与 g(x)可导且 g(x)0;(3)limxafxlgx,那么 limxaf xg x=limxafxlgx。法则 2 若函数 f(x)和 g(x)满足下列条件:(1)lim0 xfx 及 lim0 xg x;(2
2、)0A,f(x)和 g(x)在,A与,A 上可导,且 g(x)0;(3)limxfxlgx,那么 limxf xg x=limxfxlgx。法则 3 若函数 f(x)和 g(x)满足下列条件:(1)limxaf x 及 limxag x;(2)在点 a 的去心邻域内,f(x)与 g(x)可导且 g(x)0;(3)limxafxlgx,那么 limxaf xg x=limxafxlgx。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意:1 将上面公式中的 xa,x换成 x+,x-,xa,xa洛必达法则也成立。2 洛必达法则可处理00,0,1,0,00,型。3 在着手求极限以前,首
3、先要检查是否满足00,0,1,0,00,型定式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。学习必备 欢迎下载 4 若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。二高考题处理 1.(2010 年全国新课标理)设函数2()1xf xexax 。(1)若0a,求()f x的单调区间;(2)若当0 x 时()0f x,求a的取值范围 原解:(1)0a 时,()1xf xex,()1xfxe.当(,0)x时,()0fx;当(0,)x 时,()0fx.故()f x在(,0)单调减少,在(0,)单调增加(II)()12xfxe
4、ax 由(I)知1xex,当且仅当0 x 时等号成立.故 ()2(12)fxxaxa x ,从而当1 20a,即12a 时,()0(0)fxx,而(0)0f,于是当0 x 时,()0f x.由1(0)xex x 可得1(0)xex x.从而当12a 时,()12(1)(1)(2)xxxxxfxea eeeea ,故当(0,ln 2)xa时,()0fx,而(0)0f,于是当(0,ln 2)xa时,()0f x.综合得a的取值范围为1,2 原解在处理第(II)时较难想到,现利用洛必达法则处理如下:另解:(II)当0 x 时,()0f x,对任意实数 a,均在()0f x;当0 x 时,()0f x
5、 等价于21xxaex 令 21xxg xex(x0),则322()xxxxg xeex ,令 220 xxh xxxxee,则 1xxhxxee,0 xhxxe,知 hx在0,上为增函数,00h xh;知 h x在0,上为增函数,00h xh;0gx,g(x)在0,上为增函数。函数和满足下列条件及在点的去心邻域内与可导且那么法则若函数和满中应注意将上面公式中的换成洛必达法则也成立型洛必达法则可处理在限学习必备欢迎下载若条件符合洛必达法则可连续多次使用直到求出极学习必备 欢迎下载 由洛必达法则知,200011222limlimlimxxxxxxxxeeex,故12a 综上,知 a 的取值范围为
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