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1、微积分微积分第第2章章 导数与微分导数与微分2.12.22.32.4导数概念函数的求导公式及求导法则微积分微积分2.1 2.1 导数的概念导数的概念 第二章 1 1、引例、引例、引例、引例2 2、导数、导数、导数、导数的定义的定义的定义的定义3 3、导数、导数、导数、导数的几何的几何的几何的几何意义意义意义意义4 4、函数的可、函数的可、函数的可、函数的可导性与连续导性与连续导性与连续导性与连续性的关系性的关系性的关系性的关系微积分微积分一、一、引例引例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动微积分微积分2.曲线的
2、切线斜率曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率微积分微积分微积分微积分二、导数的定义二、导数的定义定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导可导,在点的导数导数.微积分微积分运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率说明说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.微积分微积分若上述极限不存在,在点 不可导.若也称在若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意注意:就说函数就称函数在 I
3、内可导.的导数为无穷大.微积分微积分微积分微积分说明:说明:对一般幂函数(为常数)例如,例如,(以后将证明)微积分微积分例例3.求函数的导数.解解:则即类似可证得微积分微积分微积分微积分原式是否可按下述方法作:例例5.证明函数在 x=0 不可导.证证:不存在,例例6.设存在,求极限解解:原式微积分微积分微积分微积分例例7.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解解:令得对应则在点(1,1),(1,1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线微积分微积分四、四、函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.证证:设在点 x 处可导,
4、存在,因此必有其中故所以函数在点 x 连续.注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x=0 处连续,但不可导.即微积分微积分微积分微积分定理定理2.函数在点且存在简写为在点处右右 导数存在定理定理3.函数在点必 右右 连续.(左左)(左左)若函数与都存在,则称显然:在闭区间 a,b 上可导在开区间 内可导,在闭区间 上可导.可导的充分必要条件是且微积分微积分2.22.2函数的求导法则函数的求导法则 第二章 反函数的求导法则反函数的求导法则反函数的求导法则反函数的求导法则复合函数求导法则复合函数求导法则复合函数求导法则复合函数求导法则初等函数的求导问题初等函数的求导问题初
5、等函数的求导问题初等函数的求导问题四则运算求导法则四则运算求导法则四则运算求导法则四则运算求导法则一一一一二二二二四四四四三三三三微积分微积分思路思路:(构造性定义)求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容微积分微积分一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.的和、差、积、商(除分母为 0的点外)都在点 x 可导,且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.微积分微积分此法则可推广到任意有限项的情形.证证:设,则故结论成立.例如,微积分微积分微积分微积分例例1.解解:微积分微积分(3)证
6、证:设则有故结论成立.推论推论:(C为常数)微积分微积分例例2.求证证证:类似可证:微积分微积分微积分微积分例例3.求反三角函数及指数函数的导数.解解:1)设则类似可求得利用,则微积分微积分2)设则特别当时,小结小结:微积分微积分微积分微积分例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广推广:此法则可推广到多个中间变量的情形.微积分微积分四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数(P94)微积分微积分2.有限次四则运算的求导法则(C为常数)3.复合函数求导法则4.初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,由定义证,说明说明:最基本的公式其它公式用求
7、导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数微积分微积分2.3函数的微分 第二章 微分的概念微分的概念 微分运算法则微分运算法则微分在近似计微分在近似计算中的应用算中的应用1 12 23 31 12 23 3微积分微积分一、微分的概念一、微分的概念 引例引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为 x,面积为 A,则面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到边长由其微积分微积分的微分微分,定义定义:若函数在点 的增量可表示为(A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即定理定理:函数在点 可微的充要条件充
8、要条件是即在点可微可微,微积分微积分定理定理:函数证证:“必要性必要性”已知在点 可微,则故在点 的可导,且在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导,且即微积分微积分定理定理:函数在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导,且即“充分性充分性”已知即在点 的可导,则微积分微积分说明说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当微积分微积分微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,记作记微积分微积分例如例如,又如又如,微积分微积分二、二、微分运算法则微分运算法则设 u(x),v(x)均可微,则(C 为常数)分别可微,的微分为微分形式不变
9、微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数微积分微积分例例1.求 解解:微积分微积分三、三、微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:微积分微积分特别当很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明证明:令得微积分微积分的近似值.解解:设取则例例4.求微积分微积分2.4 高阶导数微积分微积分一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念速度即加速度即引例引例:变速直线运动微积分微积分定义定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为 n 阶导数,或的二阶导数二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称微积分微积分设求解解:依次类推,例例1.思考思考:设问可得微积分微积分例例2.设求解解:特别有:解解:规定 0!=1思考思考:例例3.设求微积分微积分例例4.设求解解:一般地,类似可证:微积分微积分例例5.设解解:微积分微积分例例6.设求使存在的最高分析分析:但是不存在.2又阶数微积分微积分二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数,则(C为常数)莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz)公式公式及设函数微积分微积分例例7.求解解:设则代入莱布尼兹公式,得微积分微积分例例8.设求解解:即用莱布尼兹公式求 n 阶导数令得由得即由得
限制150内