综合性问题 .doc
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1、第 1 页(共 47 页)综合性问题一、选择题1. (2016湖北鄂州)如图,菱形 ABCD 的边 AB=8,B=60,P 是 AB 上一点,BP=3,Q 是 CD 边上一动点,将梯形 APQD 沿直线 PQ 折叠,A 的对应点为 A,当 CA的长度最小时,CQ 的长为( )A. 5 B. 7 C. 8 D. 213【考点】菱形的性质,梯形,轴对称(折叠),等边三角形的判定和性质,最值问题【分析】如下图所示,由题意可知,ABC 为等边三角形;过 C 作 CHAB,则 AH=HB;连接 DH;要使 CA的长度最小,则梯形 APQD 沿直线 PQ 折叠后 A 的对应点 A应落在CH 上,且对称轴
2、PQ 应满足 PQDH;因为 BP=3,易知 HP=DQ=1,所以 CQ=7. 【解答】解:如图,过 C 作 CHAB,连接 DH;ABCD 是菱形,B=60ABC 为等边三角形;AH=HB=4;28BP=3,HP=1 要使 CA的长度最小,则梯形 APQD 沿直线 PQ 折叠后 A 的对应点 A应落在 CH上,且对称轴 PQ 应满足 PQDH;由作图知,DHPQ 为平行四边形DQ=HP= 1,CQ=CD-DQ=8-1=7. 故正确的答案为:B【点评】本题综合考查了菱形的性质,梯形,轴对称(折叠),等边三角形的判定和性质,最值问题本题作为选择题,不必直接去计算,通过作图得出答案是比较便捷的方法
3、。弄清在什么情况下 CA的长度最小(相当于平移对称轴)是解决本题的关键.第 2 页(共 47 页)2. (2016四川资阳 )如图,两个三角形的面积分别是9,6,对应阴影部分的面积分别是m,n,则 mn 等于( )A2 B3 C4 D无法确定【考点 】三角形的面积【分析 】设空白出的面积为x,根据题意列出关系式,相减即可求出mn的值【解答 】解:设空白出图形的面积为x,根据题意得: m+x=9,n+x=6,则 mn=96=3故选 B3. (2016四川自贡 )二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图,反比例函数 y=与正比例函数 y=bx 在同一坐标系内的大致图象是( )ABCD【考点】二次
4、函数的性质;正比例函数的图象;反比例函数的图象【分析】根据函数图象的开口方向,对称轴,可得 a、b 的值,根据 a、b 的值,可得相应的函数图象【解答】解:由 y=ax2+bx+c 的图象开口向下,得 a0由图象,得0由不等式的性质,得 b0a0,y=图象位于二四象限,b0,y=bx 图象位于一三象限,故选:C第 3 页(共 47 页)【点评】本题考查了二次函数的性质,利用函数图象的开口方向,对称轴得出 a、b 的值是解题关键4 (2016山东枣庄)若关于的一元二次方程有两个不相等的实x2210xxkb 数根,则一次函数的图象可能是 ykxb【答案】B.考点:根的判别式;一次函数的性质.二、填
5、空题1 (2016湖北鄂州)如图,AB6,O 是 AB 的中点,直线l经过点 O,1120,P 是直线l上一点。当APB 为直角三角形时,AP .【考点】外接圆,切线,直角三角形的判定,勾股定理,三角函数,分类讨论思想【分析】确定 P 点在直线l上的位置是解决本题的关键。要使APB 为直角三角形,我们就联想到以 AB 为直径的外接圆,但 AB 也有可能为直角边,所以要分类讨论。我们将满足条件的 P 逐一画在图上。如图,P1,P2在以 O 为圆心的外接圆上,P1,P2在O 的切线上,再根据题目的已知条件逐一解答即可。第 4 页(共 47 页)【解答】解:分类讨论如下:(1)在 RtA P1B 中
6、,1120,O P1=OB,O B P1 =O P1B=30,AP1 =AB=6=3;21 21(2)在 RtA P2B 中,1120,O P2=OB,P2 B O =O P2B=60,AP2 =AB=cosO B P26=6=3;21 233(3)P3B 为以 B 为切点的O 的切线,1120,O P2=OB,P2 B O =O P2B=60,P3O B=60,在 RtO P3B 中,BP3 =tanP3O B3 =3=3;33在 RtA P3B 中,AP3 =3;PBAB322)33(6227(4)P4B 为以 A 为切点的O 的切线,1120,O P1=OA,P1 A O =O P1A=
7、60,P4O A=60,在 RtO P4A 中,AP4 =tanP4O A3 =3=3.33综上,当APB 为直角三角形时,AP3,或 3,或 3.37故答案为:3 或 3或 3.37【点评】本题考查了外接圆,切线,直角三角形的判定,勾股定理,三角函数,分类讨论思想注意分类讨论思想的运用;本题难度虽然不大,但容易遗漏. 四种情况中,有两种情况的结果相同。2. (2016.咸宁)如图,边长为 4 的正方形 ABCD 内接于O,点 E 是 AB 上的一动点第 5 页(共 47 页)(不与 A、B 重合) ,点 F 是 BC 上的一点,连接 OE,OF,分别与 AB,BC 交于点 G,H,且EOF=
8、90,有下列结论:AE=BF; OGH 是等腰直角三角形;四边形 OGBH 的面积随着点 E 位置的变化而变化;GBH 周长的最小值为. 2其中正确的是_.(把你认为正确结论的序号都填上). 【考点】正方形的性质,圆心角定理,等腰直角三角形的判定,全等三角形的判定,四边形的面积,三角形的周长,动点问题,最值问题【分析】连接 OA,OB,如图 16-1,根据正方形的性质,知AOB=90=EOF,又BOE 共用,故可得AOE=BOF,再根据圆心角定理可得AE=BF;故正确;连接 OB,OC,如图 16-2,证明OGBOHC,可得 OG=OH,即可得出OGH是等腰直角三角形;故正确;如图 16-3,
9、过点 O 作 OMBC,ONAB,易证得OGNOHM,因此可得出SOGN=SOHM,故不管点 E 的位置如何变化,四边形 OGBH 的面积不变;故错误;过点 B 作 B 关于 OF 的对称点 P(易知点 P 在O 上) ,连接 PH,则 PH=BH;过点 B 作 B 关于 OE 的对称点 Q(易知点 Q 在O 上) ,连接 QG,则 QG=BG;连接 PQ,易证明 PQ 过圆心 O,则 PQ=4,故错误.442222【解答】解:连接 OA,OB,如图 16-1,根据正方形的性质,知AOB=90=EOF,AOB-BOE =EOF-BOE,即AOE=BOF,根据相等的圆心角所对的弧相等,可得 AE
10、=BF;故正确;第 6 页(共 47 页)(图 16-1) (图 16-2) 连接 OB,OC,如图 16-2,则 OB=OC,由知 AE=BFABCD 为正方形,AB=BCAB=BCAB-AE=BC-BF即 BE=CFBOG=COH又OBG+OBC=90,OCH+OBC=90,OBG =OCH在OGB 和OHC 中,OBG =OCHBOG=COHOB=OC OGBOHC,OG=OH,又EOF=90OGH 是等腰直角三角形;故正确;如图 16-3,过点 O 作 OMBC,ONAB,(图 16-3) 又正方形 ABCD 内接于O,OM=ON 由知,OG=OH,在 RtOGN 和 RtOHM 中,
11、OG=OH,OM=ON RtOGNRtOHM,SOGN=SOHM,又四边形 BMOG 公共不管点 E 的位置如何变化,四边形 OGBH 的面积不变;第 7 页(共 47 页)故错误;过点 B 作 B 关于 OF 的对称点 P(易知点 P 在O 上) ,连接 PH,则 PH=BH;过点 B 作 B 关于 OE 的对称点 Q(易知点 Q 在O 上) ,连接 QG,则 QG=BG;(图 16-4)连接 PQ,易证明 PQ 过圆心 O,PQ=4,442222故错误.综上,正确,错误.故答案为:.【点评】本题考查了正方形的性质,圆心角定理,等腰直角三角形的判定,全等三角形的判定,四边形的面积,三角形的周
12、长,动点问题,最值问题运用圆心角定理是解答的关键;在中连接 OB,OC,证明三角形全等是解题的关键;在中,运用证明三角形全等,从而证明面积相等以解决不管点 E 的位置如何变化,四边形 OGBH 的面积不变的问题;解答的关键是运用轴对称解决最小周长问题. 作为填空题,解题时要注意技巧.3.(2016四川巴中)已知二元一次方程组的解为,则在同一平面直角坐标系中,直线 l1:y=x+5 与直线 l2:y=x1 的交点坐标为 (4,1) 【考点】一次函数与二元一次方程(组) 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可【解答】解:二元一次方程组的解为,直线 l1:y=x+5 与直线 l2:y
13、=x1 的交点坐标为(4,1) ,故答案为:(4,1) 4.(2016呼和浩特)以下四个命题:第 8 页(共 47 页)对应角和面积都相等的两个三角形全等;“若 x2x=0,则 x=0”的逆命题;若关于 x、y 的方程组有无数多组解,则 a=b=1;将多项式 5xy+3y2x2y 因式分解,其结果为y(2x+1) (x3) 其中正确的命题的序号为 【考点】命题与定理【分析】正确,根据相似比为 1 的两个三角形全等即可判断正确写出逆命题即可判断正确根据方程组有无数多组解的条件即可判断正确首先提公因式,再利用十字相乘法即可判断【解答】解:正确对应角相等的两个三角形相似,又因为面积相等,所以相似比为
14、 1,所以两个三角形全等,故正确正确理由:“若 x2x=0,则 x=0”的逆命题为 x=0,则 x2x=0,故正确正确理由:关于 x、y 的方程组有无数多组解,=,a=b=1,故正确正确理由:5xy+3y2x2y=y(2x25x3)=y(2x+1) (x3) ,故正确故答案为三、解答题1. (2016四川资阳 )在 RtABC 中, C=90,RtABC 绕点 A 顺时针旋转到 RtADE 的位置,点E 在斜边 AB 上,连结 BD,过点 D 作 DFAC 于点 F(1)如图 1,若点 F 与点 A 重合,求证: AC=BC;(2)若 DAF=DBA,如图 2,当点 F 在线段 CA 的延长线
15、上时,判断线段AF 与线段 BE 的数量关系,并说明理由;当点 F 在线段 CA 上时,设 BE=x,请用含 x 的代数式表示线段AF第 9 页(共 47 页)【考点 】几何变换综合题【分析 】 (1)由旋转得到 BAC=BAD,而 DFAC,从而得出 ABC=45,最后判断出 ABC 是等腰直角三角形;(2)由旋转得到 BAC=BAD,再根据 DAF=DBA,从而求出FAD=BAC=BAD=60,最后判定 AFDBED,即可;根据题意画出图形,先求出角度,得到ABD 是顶角为 36的等腰三角形,再用相似求出,最后判断出 AFDBED,代入即可 【解答 】解:( 1)由旋转得, BAC=BAD
16、,DFAC,CAD=90,BAC=BAD=45,ACB=90,ABC=45,AC=CB,(2)由旋转得, AD=AB,ABD=ADB,DAF=ABD,DAF=ADB,AFBB,BAC=ABD,ABD=FAD由旋转得, BAC=BAD,FAD=BAC=BAD=180=60,由旋转得, AB=AD,ABD 是等边三角形,AD=BD,在AFD 和BED 中,第 10 页(共 47 页)AFDBED,AF=BE,如图, 由旋转得, BAC=BAD,ABD=FAD=BAC+BAD=2BAD,由旋转得, AD=AB,ABD=ADB=2BAD,BAD+ABD+ADB=180,BAD+2BAD+2BAD=18
17、0,BAD=36,设 BD=x,作 BG 平分 ABD,BAD=GBD=36AG=BG=BC=x,DG=ADAG=ADBG=ADBD,BDG=ADB,BDGADB, FAD=EBD,AFD=BED,AFDBED,AF=x2. (2016四川资阳 )如图,在平行四边形ABCD 中,点 A、B、C 的坐标分别是( 1,0) 、 (3,1) 、 (3,3) ,双曲线 y=(k0,x0)过点 D第 11 页(共 47 页)(1)求双曲线的解析式;(2)作直线 AC 交 y 轴于点 E,连结 DE,求 CDE 的面积【考点 】反比例函数与一次函数的交点问题;平行四边形的性质【分析 】 (1)根据在平行四
18、边形ABCD 中,点 A、B、C 的坐标分别是(1,0) 、 (3,1) 、 (3,3) ,可以求得点D 的坐标,又因为双曲线y=(k0,x0)过点 D,从而可以求得k 的值,从而可以求得双曲线的解析式;(2)由图可知三角形CDE 的面积等于三角形EDA 与三角形 ADC 的面积之和,从而可以解答本题【解答 】解:( 1)在平行四边形ABCD 中,点 A、B、C 的坐标分别是(1,0) 、 (3,1) 、 (3,3) ,点 D 的坐标是( 1,2) ,双曲线 y=(k0,x0)过点 D,2=,得 k=2,即双曲线的解析式是:y=; (2)直线 AC 交 y 轴于点 E,SCDE=SEDA+SA
19、DC=, 即CDE 的面积是 33. (2016四川自贡 )计算:()1+(sin601)02cos30+|1|【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值【分析】根据负整数指数幂,零指数幂,特殊角的三角函数值,绝对值的定义化简即可【解答】解:原式=2+1+1=2第 12 页(共 47 页)【点评】本题考查负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等知识,熟练掌握这些知识是解决问题的关键,记住 ap=(a0),a0=1(a0),|a|=,属于中考常考题型4. (2016四川自贡 )抛物线 y=x2+4ax+b(a0)与 x 轴相交于 O、A 两点(其中 O为坐标原点)
20、,过点 P(2,2a)作直线 PMx 轴于点 M,交抛物线于点 B,点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C(其中 B、C 不重合),连接 AP 交 y 轴于点 N,连接 BC和 PC(1)a=时,求抛物线的解析式和 BC 的长;(2)如图 a1 时,若 APPC,求 a 的值【考点】二次函数的性质;轴对称的性质【分析】(1)根据抛物线经过原点 b=0,把 a=、b=0 代入抛物线解析式,即可求出抛物线解析式,再求出 B、C 坐标,即可求出 BC 长(2)利用PCBAPM,得=,列出方程即可解决问题【解答】解:(1)抛物线 y=x2+4ax+b(a0)经过原点 O,b=0,a=,抛物线解析式为
21、y=x2+6x,x=2 时,y=8,点 B 坐标(2,8),对称轴 x=3,B、C 关于对称轴对称,点 C 坐标(4,8),BC=2(2)APPC,APC=90,第 13 页(共 47 页)CPB+APM=90,APM+PAM=90,CPB=PAM,PBC=PMA=90,PCBAPM,=,=,整理得 a24a+2=0,解得 a=2,a0,a=2+【点评】本题考查二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识,解题的关键是利用相似三角形性质列出方程解决问题,学会转化的思想,属于中考常考题型5. (2016新疆 )如图,ABCD 中,AB=2,AD=1,ADC=60,将ABCD 沿过点A
22、的直线 l 折叠,使点 D 落到 AB 边上的点 D处,折痕交 CD 边于点 E(1)求证:四边形 BCED是菱形;(2)若点 P 时直线 l 上的一个动点,请计算 PD+PB 的最小值【考点】平行四边形的性质;菱形的判定;轴对称-最短路线问题;翻折变换(折叠问题)【分析】(1)利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出DAE=EAD=DEA=DEA,进而利用平行四边形的判定方法得出四边形第 14 页(共 47 页)DADE 是平行四边形,进而求出四边形 BCED是平行四边形,根据折叠的性质得到AD=AD,然后又菱形的判定定理即可得到结论;(2)由四边形 DADE 是平行四边形,得到DADE 是菱
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