中考数学高频考点突破——圆的综合.docx
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1、中考数学高频考点突破圆的综合1如图,是的直径,是弦,点E在圆外,于D,交于点F,连接,(1)求证:是的切线;(2)求证:;(3)设的面积为,的面积为,若,则.2如图(1),是的直径,点D、F是上的点,连接并延长交于A点,且,(1)求证:(2)求:(3)如图(2),若点E是弧的中点,连接求:3【了解概念】我们知道,折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形如图1,线段、组成折线段若点在折线段上,则称点是折线段的中点(1)如图2,的半径为2,是的切线,为切点,点是折线段的中点若,则_;(2)如图3,中,是上一点,垂足为求证:点是折线段的中点;(3)如图4,是上的四个点,求的值4已知圆
2、O的半径长为2,点A、B、C为圆O上三点,弦,点D为BC的中点,(1)如图,连接AC、OD,设,请用表示;(2)如图,当点B为的中点时,求点A、D之间的距离(3)如果AD的延长线与圆O交于点E,以O为圆心,AD为半径的圆与以BC为直径的圆有且只有一个交点,求弦AE的长5【发现】(1)如图1,已知的半径为,为外一点,且,为上一动点,连接,则的最小值为 ,最大值为 ;(用含,的式子表示)【应用】(2)如图2,已知正方形的边长为2,分别是,上的点,且,连接,交于点,求的最小值;【拓展】(3)如图3,是的直径,为上一定点,且,动点从点出发沿半圆弧逆时针向点运动,当点到达点时停止运动,在点运动的过程中,
3、连接,过点作交的延长线于点,连接,求的最大值6如图,四边形内接于圆O,连接(1)求证:平分;(2)如图,连接,若,求证:;(3)如图,在(2)的条件下,连接AO交BD于点E,过点B作AC的垂线交圆O于点F,垂足为G,若,求AB的长7已知,在ABC中,以BC为直径的O与AB交于点H,将ABC沿射线AC平移得到DEF,连接BE(1)如图1,DE与O相切于点G,求证:;(2)如图2,延长HO交O于点K,交线段BE于点M,将DEF沿DE折叠,点F的对称点恰好落在射线BK上,求证:;(3)如图1,在(1)的条件下,求的值8已知O的直径AB为10,D为O上一动点(不与A、B重合),连接AD、BD(1)如图
4、1,若AD=8,求BD的值;(2)如图2,弦DC平分ADB,过点A作AECD于点E,连接BE 当BDE为直角三角形时,求BE的值; 在点D的运动过程中,BE的值是否存在最小值?若存在,请直接写出BE的最小值;若不存在,请说明理由9如图1,抛物线与x轴交于点,顶点为D(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E,圆心为G,连接,点Q为的中点判断点C、D与的位置关系,并说明原因;当点P沿半圆从点B运动到点A时,求线段的最小值10【了解概念】我们知道,折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形如图1,线段MQ、QN组成折线段MQN若点P在折线段MQN上,M
5、PPQ+QN,则称点P是折线段MQN的中点(1)【理解应用】如图2,O的半径为2,PA是O的切线,A为切点,点B是折线段POA的中点若APO30,则PB_;(2)如图3,O中,D是上一点,AHBD,垂足为H求证:点H是折线段BDC的中点;(3)【拓展提升】如图4,A,P,B,C是O上的四个点,ABAC2,求PBPC的值11定义:若两个三角形中,有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等,但不是全等三角形,我们就称这两个三角形为偏等三角形(1)如图1,点是弧的中点,是弧所对的圆周角, 连接、 试说明与是偏等三角形(2)如图2,与是偏等三角形,其中 猜想结论:一对偏等三角形中,一组等边的对角相
6、等,另一组等边的对角 请填写结论,并说明理由(以与为例说明);(3)如图3,内接于 若点在上,且与是偏等三角形, 求的值12如图,点是矩形中边上的一点,以为圆心,为半径作圆,交边于点,且恰好过点,连接,过点作EFBD,(1)若,求的度数;求证:是的切线(2)若,求的长13如图,是的直径,是的弦,垂足是点,过点作直线分别与,的延长线交于点,且(1)求证:是的切线;(2)如果,求的长;求的面积14已知,如图,是的直径,点为上一点,于点,交于点,与交于点,点为的延长线上一点,且(1)求证:是的切线;(2)求证:;(3)若的半径为,求的长15如图,点E是ABC的内心,AE的延长线和ABC的外接圆O相交
7、于点D,过D作直线(1)求证:DG是O的切线;(2)求证:DECD;(3)若,BC8,求O的半径16如图,在ABC的外接O中,OBAC交AC于点E,延长BE至点D,使得BEDE,连接AD,CD,其中CD与O相交于点F,连接AF交BD于点G(1)求证:四边形ABCD为菱形(2)当DA和DC都与O相切时,若O的半径为2,求BD的长(3)若DGDF,求的值17如图,ABC中,CD为斜边上的中线,以CD为弦画圆,与边AC交于点C、E,与边BC交于点C、F,与边AB交于点D、G(1)若BF=BG,求的大小;(2)连接EF,试猜想线段BF、EF、AE的长度满足用等号连接的数量关系,并说明理由;(3)连接C
8、G,若CG恰好是ABC的平分线,求的值18如国O的内接三角形ABC中AB=AC过点B作O的切线交CA延长线于D过D作O的另一条切线DE切点为E连接AE、BE、CE(1)求证:DBADCB:(2)判断ABCE与AEBC之间的数量关系并给出证明;(3)探究:在BC长度的变化过程中是否为定值?若是请求出这个值:若不是请说明理由试卷第7页,共8页学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司参考答案:1(1)见解析(2)见解析(3)【分析】(1)根据圆的切线的定义求解即可;(2)先证明得出,得出,再得出,进而结论可证;(3)先证明得出,从而得出,设,求出,证明,根据相似三角形的面积比等于相似比的
9、平方,求出最后根据O是的中点求解即可【解析】(1)证明: ,于D,是的直径,是的切线;(2)证明:,又,;(3)解:是的直径,于D,中,设,O是的中点,故答案为:【点评】本题考查了圆的切线,相似三角形的判定与性质解题的关键在于找出相似三角形,求出边之间的数量关系2(1)见解析(2);(3)【分析】(1)根据圆内接四边形的外角等于内对角得出即可得证;(2)连接,根据,利用比例关系和勾股定理求出和即可得出;(3)证,得出,再利用等腰直角三角形得出的值即可【解析】(1)解:四边形是圆O的内接四边形,又,;(2)解:连接,是的直径,由(1)知,即,在中,在中,;(3)解:如下图:E是弧的中点,又,即,
10、即,【点评】本题主要考查圆的综合知识,相似三角形的判定和性质,解直角三角形,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键3(1)3(2)见解析(3)【分析】(1)由切线的性质得出,由,得出,再根据“折线段中点的定义”即可得到答案;(2)先证明为等腰三角形,再证明为等腰三角形,继而得出,进一步即可证明结论;(3)作于点E,根据(2)的结论和勾股定理表示出和的长度,进一步计算即可得出的值【解析】(1)解:是的切线,点是折线段的中点,故答案为:3;(2)如图,延长到M使,连接, ,是等腰三角形,点H是折线段的中点;(3)如图,作于点E,由(2)可知E为折线段中点,即,在中,在中, 【点评】本题考查了圆
11、的综合知识,掌握切线的性质、“折线段中点的定义”、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识是解决问题的关键4(1)(2)(3)或【分析】(1)连接OB、OC,可证是等边三角形,根据垂径定理可得等于30,可得,利用三角形的内角和定理即可表示出的值;(2)连接OB、OC,可证是等边三角形,根据垂径定理可得等于,因为点D为BC的中点,则,所以等于,根据,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD、AD的长;(3)分两种情况讨论:两圆外切,两圆内切先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系,求出AD的长,再过O点作AE的垂线,利用勾股定理列出方程即可求解【解析】(1)如图1:连接OB、OC,是等边三角形
12、,点D是BC的中点,;(2)如图2:连接OB、OC、OD由(1)可得:是等边三角形,B为的中点,根据勾股定理得:;(3)如图3圆O与圆D相内切时:连接OB、OC,过O点作,BC是直径,D是BC的中点,以BC为直径的圆的圆心为D点,由(2)得:,圆D的半径为1,设,在和中,即,解得:,;如图4圆O与圆D相外切时:连接OB、OC,过O点作,BC是直径,D是BC的中点,以BC为直径的圆的圆心为D点,由(2)可得:,圆D的半径为1,在和中,即,解得:,【点评】本题主要考查圆的相关知识:垂径定理,圆与圆相切的条件,关键是能灵活运用垂径定理和勾股定理相结合思考问题,另外,需注意圆相切要分内切与外切两种情况
13、5(1),;(2);(3)【分析】(1)当在延长线上时,最大,最大为,当在线段上时,最小,最小为:;(2)先证明,即可得到,所以点在以为直径的圆上,由图形可知:当0、在同一直线上时,有最小值,然后根据勾股定理即可解决问题;(3)由同弦等角可知点在以为弦的上运动,从而构造辅助圆,故当,共线时,的值最大,求出此时的值即可解决问题【解析】解:(1)当在延长线上时,最大,如图:最大为:,当在线段上时,最小,如图:最小为:,故答案为:,;(2)四边形是正方形,在和中,如图,取的中点,连接,则,因此点在以为直径的上运动,连接,当点、不在一条直线上时,在三角形中有:,即,当点、在一条直线上时,当点、在一条直
14、线上时,有最小值为,(3)解:是的直径,在中,点在以为弦的上运动,当,共线时,的值最大,如图,连接,是等边三角形,线段的最大值为【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理,等边三角形的判定与性质及圆周角定理等知识点,解题的关键是学会利用辅助圆解决问题6(1)证明见解析(2)证明见解析(3)30【分析】(1)由推出,即可得到,即可推出结论;(2)连接,根据圆周角定理可得出,再根据等腰三角形的性质可得出,根据三角形内角和定理得出,然后根据圆心角、弧弦的关系即可得证;(3)连接,设,则,先证明垂直平分,再利用勾股定理和垂径定理求出,证明,求出,由勾股定理得,即,据此求解即可【解
15、析】(1)证明:,平分;(2)证明:连接,;(3)解:连接,设,则,垂直平分,在中由勾股定理得:,在中由勾股定理得:,即,在中,由勾股定理得,解得或(舍去),【点评】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等,等腰三角形的性质与判定,勾股定理,垂径定理,相似三角形的性质与判定,正确作出辅助线是解题的关键7(1)见解析(2)见解析(3)【分析】(1)由平移的性质得出,连接,证明,根据全等三角形的性质可得结论;(2)设,由等腰三角形的性质得出,由平移以及折叠的性质可得,则结论可得;(3)过点作于点,证明四边形是矩形,由矩形的性质可得:,由(1)知,同理可证,设,由勾股定理得出,则可得出答案【解析】(1)证
16、明:将ABC沿射线AC平移得到DEF,,,连接,DE与O相切于点G,;(2)设,沿射线AC平移得到,沿DE折叠得到,;(3)过点作于点,由(1)知,四边形是矩形,由(1)知,同理可证,设,在中,即【点评】本题是圆的综合题,考查了平移的性质,折叠的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,切线的性质,勾股定理等知识点,熟练掌握圆切线的性质是解本题的关键8(1)6;(2)5或,存在最小值, 【分析】()利用圆周角定理和勾股定理求解即可;(2)为直角三角形,分两种情况:当或当,分别进行求解即可;取AC中点F,过F作于H,利用圆周角定理得,用勾股定理求出AC,利用直角三角形性质求EF,然后求出B
17、F长,最后在中利用三角形中边的关系得出BE的最小值【解析】(1)解:如图1,为的直径,;故BD的值为6(2)解:,DC平分,当时,如图2,点E在AB上,是以AB为斜边的等腰直角三角形,点E与O重合,;当时,如图3,又,即,解得(舍去)综上所述,BE的长为5或;在点D的运动过程中,BE存在最小值,解答如下:如图3,连接OC、AC,取AC中点F,连接EF、BF,过点F作于H,F为AC中点,(当且仅当点E在线段BF上时等号成立),即,BE的最小值是【点评】此题是一道圆的综合题,主要考查了圆周角定理、勾股定理、直角三角形的性质、三角形中边的关系等知识,熟练利用这些性质进行逻辑推理和运用分类的思想方法是
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