什么是质数,质数是什么意思.pdf
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1、质数的规律什么是质数?就是在所有比 1 大的整数中,除了 1 和它本身以外,不再有别的约数,这种整数叫做质数,质数又叫做素数。这终规只是文字上的解释而已。能不能有一个代数式,规定用字母表示的那个数为规定的任何值时,所代入的代数式的值都是质数呢?质数的分布是没有规律的,往往让人莫明其妙。如:101、401、601、701 都是质数,但上下面的 301 和 901 却是合数。有人做过这样的验算:12+1+41=43,22+2+41=47,32+3+41=53于是就可以有这样一个公式:设一正数为 n,则 n2+n+41 的值一定是一个质数。这个式子一直到 n=39 时,都是成立的。但 n=40 时,
2、其式子就不成立了,因为402+40+41=1681=41*41。被称为“17 世纪最伟大的法国数学家”费尔马,也研究过质数的性质。他发现,设Fn=2(2n),则当n 分别等于 0、1、2、3、4 时,Fn 分别给出 3、5、17、257、65537,都是质数,由于 F5 太大(F5=14292967297),他没有再往下检测就直接猜测:对于一切自然数,Fn 都是质数。但是,就是在F5 上出了问题!费尔马死后 67 年,25 岁的瑞士数学家欧拉证明:F5=14292967297=641*6700417,并非质数,而是合数。更加有趣的是,以后的 Fn 值,数学家再也没有找到哪个 Fn 值是质数,全
3、部都是合数。目前由于平方开得较大,因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn 的最大值为:n=1495。这可是个超级天文数字,其位数多达 1010584 位,当然它尽管非常之大,但也不是个质数。质数和费尔马开了个大玩笑!17 世纪还有位法国数学家叫梅森,他曾经做过一个猜想:2p-1 代数式,当 p是质数时,2p-1 是质数。他验算出了:当 p=2、3、5、7、17、19 时,所得代数式的值都是质数,后来,欧拉证明 p=31 时,2p-1 是质数。还剩下 p=67、127、257 三个梅森数,由于太大,长期没有人去验证。梅森去世250 年后,美国数学家科勒证明,267-1=193707721*7
4、61838257287,是一个合数。这是第九个梅森数。20 世纪,人们先后证明:第10 个梅森数是质数,第11 个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章,也给人们寻找质数规律造成了困难。现在,数学家找到的最大的梅森数是一个有 378632 位的数:21257787-1。数学虽然可以找到很大的质数,但质数的规律还是无法循通。头五千万个质数-【摘要】不按牌理出牌 数学家也拿他没办法质数怎样分布?古今中外,不论是专业的数学家或业余的嗜好者,都曾被这问题所深深吸引。质数是个比 1 大的自然数,除了自身和 1 以外,没有其他自然数可以除尽他。质数的分布有两个互相矛盾的特点。下面我会列举一些事实,使你永远相
5、信这两个特点。第一点,尽管质数的定义极为简单,又是自然数的建构砖石(任何自然数都可表为质因数的幂次的连乘积,且表法唯一),它却是数学家研究的对象中最不驯的一种;质数在自然数中,像杂草似地乱长,似乎除了机会律以外,不遵守其他的规律,没人敢说下一个会从那里冒出来。第二点更令人惊讶,因?T 篕 P 第一点相反,质数表现出惊人的规律性。也就是说,确有规律限制质数的行为,他们像军人一样绝对服从这些规律。为了支持第一点,我把 100 以下的质数和合数写出来(除了 2 以外,不列偶数):【浏览原件】再把 1 千万加减一百以内的质数列出:在 9,999,900 与 10,000,000 之间的质数9,999,
6、9019,999,9079,999,9299,999,9319,999,9379,999,9439,999,9719,999,9739,999,991在 10,000,000 与 10,000,100 之间的质数10,000,01910,000,079你看!没有什麼理由可以说这个数是质数,那个数不是质数。当你看到这些数字时,是否联想到宇宙的奥秘,像天边那闪烁的星星一样神秘不可测?甚至数学家都无法揭开此一奥秘,如果他们能够,他们就不会劳神苦思去计算下一个更大的质数是多少了。(没有人会想去找比前一个平方数更大的平方数,或 2 的幂次数通常一个好学生只记到 210=1024)。1876 年,Luca
7、s 证明 2127-1 为质数,这纪录维持了 75 年。这也难怪,因为2127-1=1701411834604469231731687303715884105727直到 1951 年,电子计算机的新纪元,更大的质数陆续发现(见下表历次记录)。目前的记录是 6002 位的 219937-1,不信的话,你可以去查 Guiness 世界记录。(编者注:根据合众国际社 1978 年 11 月 15 日报导,这记录已被两个 18 岁的加州大学学生打破。)【浏览原件】质数的规律更有趣的,还是关於质数的规律。前面已提到过 100 以下的质数,现在用图表示,其中(x)表示所有不大於 x 的质数的个数。【浏览原
8、件】就这麼简单的一个图,我们已经可以看出,除了一些小的扰动以外,(x)大致上增加得很有规律。若把 x 值从一百增到五万,则此规律性变得更为明显。见下图:【浏览原件】当某种规律自然出现时,科学家就得设法去解释它,质数分布的规律性也不例外。关於质数分布,我们不难找到一个良好的经验规律。请看下表:(这表看来平凡无奇,却代表上千小时的艰苦计算。)【浏览原件】注意:x 每增 10 倍,x 与(x)的比就增加约 2.3。机警的数学家立刻联想到 10取自然对数的近似值是 2.3。所以 x/(x)logx,亦即(x)x/logx(用 log x 表示 x 的自然对数,表示当 x 接近无穷大时,(x)与 x/l
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