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1、第十章立体几何第十章立体几何10-210-2空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系第二节第二节复习回顾:复习回顾:复习回顾:复习回顾:问题提出问题提出问题提出问题提出:异面直线不在同一平异面直线不在同一平面内,它们既不平行又不面内,它们既不平行又不相交,如何表示它们的位相交,如何表示它们的位置关系呢?置关系呢?平面内两条相交直线平面内两条相交直线的位置关系可以用它们的的位置关系可以用它们的交角(不大于交角(不大于 的角)的角)来表示。来表示。(2)(1).异面直线所成角的定义异面直线所成角的定义异面直线所成角的定义异面直线所成角的定义经过空间任意一点,分别作与两条异面经过空间任意一点,分
2、别作与两条异面经过空间任意一点,分别作与两条异面经过空间任意一点,分别作与两条异面直线平行的直线,这两条直线相交所成的锐直线平行的直线,这两条直线相交所成的锐直线平行的直线,这两条直线相交所成的锐直线平行的直线,这两条直线相交所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角。角(或直角)叫做两条异面直线所成的角。角(或直角)叫做两条异面直线所成的角。角(或直角)叫做两条异面直线所成的角。如图所示,如图所示,和是异面直线,经过空间和是异面直线,经过空间任意一点,作直线任意一点,作直线 ,那么,那么和相交成的锐角(或直角),就是异面和相交成的锐角(或直角),就是异面直线和所成的角。直线和所成的角。为了
3、简便,点为了简便,点为了简便,点为了简便,点o o常取在两条常取在两条常取在两条常取在两条异面直线中的一条上。异面直线中的一条上。异面直线中的一条上。异面直线中的一条上。如图,点如图,点 取在直线取在直线 上,然后经过点上,然后经过点作直线作直线 ,那么与所成的角,那么与所成的角 就是异就是异面直线面直线 和所成的角。和所成的角。这个角的大小与点这个角的大小与点的位置有关吗的位置有关吗?即点位即点位置不同时置不同时,这一角的大小这一角的大小是否改变是否改变?答案答案答案答案因为两个角的两条边分别平行且方向相因为两个角的两条边分别平行且方向相同时,这两个角就相等,所以两条异面直线同时,这两个角就
4、相等,所以两条异面直线 与与 所成角的大小,只决定于所成角的大小,只决定于 与与 的相对的相对位置,而与任选的点位置,而与任选的点 的位置无关。的位置无关。(2)(2)表示法:异面直表示法:异面直线线 与垂直也记作与垂直也记作 。2.2.2.2.异面直线垂直异面直线垂直异面直线垂直异面直线垂直(1)(1)定义:成定义:成 角的角的两条异面直线叫做两条异面直线叫做互互相垂直相垂直,两直线垂直两直线垂直共面垂直共面垂直(相交相交)异面垂直异面垂直(3)(3)分类:分类:(1)(1)通过作平行线把异面直线所成的角用同通过作平行线把异面直线所成的角用同一平面的角表示一平面的角表示作作(2)(2)证明它
5、符合定义证明它符合定义证证 (3)(3)计算角的大小计算角的大小算算(4)(4)结论结论答答3.3.3.3.异面直线所成角的范围异面直线所成角的范围异面直线所成角的范围异面直线所成角的范围4.4.4.4.求异面直线所成角的一般步骤求异面直线所成角的一般步骤求异面直线所成角的一般步骤求异面直线所成角的一般步骤:探究探究探究探究(2 2)如果两条平行)如果两条平行直线中的一条与某一条直线中的一条与某一条直线垂直直线垂直,那么,另一条那么,另一条直线是否也与这条直线直线是否也与这条直线垂直?垂直?(3 3)垂直于同一条)垂直于同一条直线的两条直线是否平行直线的两条直线是否平行?ABCDA1B1C1D
6、1是是不一定不一定(1 1)如图,长方体如图,长方体 中,有没有两条棱所在的直线是互相垂直的中,有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线?异面直线?例题分析例题分析例题分析例题分析如图所示,在正方体中,如图所示,在正方体中,试分析下列各对线段的位置关系,并指出所试分析下列各对线段的位置关系,并指出所成角的度数:成角的度数:(1)AB与与CC1;(2)AA1与与B1C;(3)A1D与与B1C;(4)A1D与与AC。A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD D(1)(1)AB与与CC1是异是异面直线因为面直线因为ABDC,所所以以AB与与CC1所成的角可用所成的角可用
7、DCC1度度量,而量,而DCC1=90,故故 AB与与CC1成成90角,角,即即 ABCC1A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD D(2)(2)AA1与与B1C是异面直线因为是异面直线因为 AA1BB1,所以所以AA1与与B1C所成的角可用所成的角可用BB1C度量,而度量,而 BB1C=45,故故 AA1与与B1C成成45角角解解解解A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD D(3)A1D与与B1C是四边是四边形形A1DCB1的一组对边,的一组对边,因为因为A1B1DC,所所以以A1DCB1是平行四边是平行四边形,它的另一组对边形,它
8、的另一组对边A1DB1C,即,即A1D与与B1C成成0角角.(4)A1D与与AC是异面直线,因为是异面直线,因为 A1DB1C,所以所以A1D与与AC所成的角可用所成的角可用ACB1度量,而度量,而ACB1是是ACB1的一个内角的一个内角.容易看出,容易看出,ACB1是等边三角形,因此,是等边三角形,因此,ACB1=60,故故A1D与与AC成成60角角.1.1.问答题问答题:(1)(1)两条直线互相垂直,他们一定相交吗?两条直线互相垂直,他们一定相交吗?画图说明;画图说明;(2)(2)垂直于同一条直线的两条直线,有几垂直于同一条直线的两条直线,有几种位置关系?种位置关系?答案:不一定答案:不一
9、定答案:相交、平行、异面答案:相交、平行、异面课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习ABCDABCD解解解解2.如图如图,长方体的棱长方体的棱 =1,=2,=(1)求与所成角的度数;求与所成角的度数;与是与是异面直线,因为异面直线,因为 ,所以与所以与所成的角可用所成的角可用 度量,而在度量,而在Rt 中,中,tan =,=,所以所以 与与 成成60角角.ABCDABCD解解解解(2)(2)求求 与与 所成角的度数所成角的度数.与与 是异面是异面直线,因为直线,因为 ,所以所以 与与 所所成的角可用成的角可用 度量,而在度量,而在Rt 中,中,tan =,=,所以所以 与与 成成arctan arctan 角角.(1)(1)平移作角平移作角作作(2)(2)证证(指指)角角证证(3)(3)平面图形中求角平面图形中求角算算(4)(4)结论结论答答课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角平移,转化为相交直线平移,转化为相交直线所成的角所成的角求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤课外作业课外作业课外作业课外作业P64习题习题 10-2A组组1(5)(6)、2(2)、3、5、6、7B组组3、4
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