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1、 微积分公式手册95973 精品好文档,推荐学习交流 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢17 高 等 数 学 公 式 手 册 二六年七月 谢谢精品好文档推荐学习交流仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流一些初等函数两网站删除谢谢和差化积公式精品好文档推荐学习交流倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流曲率弧微分公式其中平均曲率从点到点切线斜率精品好文档,推荐学习交流 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢17=a=导数公式:(tgx)=sec2 x(ctgx)=csc2 x (a
2、rcsin x)=1 1 x2(sec x)=sec x tgx(csc x)=csc x ctgx(arccos x)=1 1 1 x 2(a x)=a x ln a(log x)=1 a x ln a(arctgx)=1+x2(arcctgx)=1 1+x2 基本积分表:tgxdx=ln cos x+C dx 2 cos2 x=sec xdx=tgx+C ctgxdx=ln sin x+C sec xdx=ln sec x+tgx+C dx 2 sin 2 x=csc xdx=ctgx+C csc xdx=ln csc x ctgx+C sec x tgxdx=sec x+C a2 dx+
3、x2 1 arctg x+C a a csc x ctgxdx=csc x+C x x dx 2 2 1 ln x a+C a dx=+C ln a x a dx 2a x+a=1 ln a+x shxdx=chx+C a2 x2 dx+C 2a a x x chxdx=shx+C dx a 2 x2=arcsin+C a x 2 a 2=ln(x+x 2 a 2)+C I n =2 2 sin n xdx=0 0 cosn xdx=n 1 I n 2 n 2 x 2+a 2 dx=x 2 x 2+a 2+a ln(x+2 2 x 2+a 2)+C x 2 2 a 2 2 dx=x 2 x x
4、 2 a 2 2 2 a ln x+2 a 2 x 2 a 2 +C x a x dx=2 a x+arcsin+C 2 a 三角函数的有理式积分:谢谢精品好文档推荐学习交流仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流一些初等函数两网站删除谢谢和差化积公式精品好文档推荐学习交流倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流曲率弧微分公式其中平均曲率从点到点切线斜率精品好文档,推荐学习交流 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢17 sin x=2u 1+u 2,cos x=1 u 2 1+u 2,u=
5、tg x,dx=2 2du 1+u 2 谢谢精品好文档推荐学习交流仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流一些初等函数两网站删除谢谢和差化积公式精品好文档推荐学习交流倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流曲率弧微分公式其中平均曲率从点到点切线斜率精品好文档,推荐学习交流 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢17 x x x 一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦:shx=e e x lim sin x=1 2 x0 x 双曲余弦:chx=e+e x lim(1+1)x =e=2.71828
6、1828459045.x 2 双曲正切:thx=shx=e e x x chx e x +e x arshx=ln(x+archx=ln(x+x 2+1)x 2 1)arthx=1 ln 1+x 2 1 x 三角函数公式:诱导公式:函数 角 A sin cos tg ctg-sin cos -tg -ctg 90-cos sin ctg tg 90+cos -sin -ctg -tg 180-sin -cos -tg -ctg 180+-sin -cos tg ctg 270-cos -sin ctg tg 270+-cos sin -ctg -tg 360-sin cos -tg -ctg
7、360+sin cos tg ctg 和差角公式:和差化积公式:sin()=sin cos cos sin sin +sin =2 sin +cos 2 2 cos()=cos cos m sin sin tg tg sin sin =2 cos +sin tg()=2 2 1 m tg tg cos +cos =2 cos +cos ctg()=ctg ctg m 1 2 2 ctg ctg cos cos =2 sin +sin 2 2 谢谢精品好文档推荐学习交流仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流一些初等函数两网站删除谢谢和差化积公式精品好文档推荐学习交流倍角公
8、式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流曲率弧微分公式其中平均曲率从点到点切线斜率精品好文档,推荐学习交流 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢17 C u v 倍角公式:sin 2 =2 sin cos cos 2 =2 cos2 1=1 2 sin 2 =cos2 sin 2 ctg 2 1 sin 3 =3sin 4 sin3 cos 3 =4 cos3 3 cos ctg 2 =tg 2 =2ctg 2tg 3tg tg 3 tg3 =1 3tg 2 1 tg 2 半角公式:sin =1 cos cos =1
9、+cos 2 tg =2 2 1 cos 1+cos =1 cos =sin sin 1+cos 2 ctg =2 2 1+cos 1 cos =1+cos =sin sin 1 cos 正弦定理:a sin A=b sin B=c sin C=2R 余弦定理:c 2 =a 2+b 2 2ab cos C 反三角函数性质:arcsin x=arccos x arctgx=arcctgx 2 2 高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz)公式:(uv)(n)=n k=0 k (n k)(k)n=u(n)v+nu(n 1)v +n(n 1)u(n 2)v +L +n(n 1)L(n k+1)u(n k
10、)v(k)+L +uv(n)2!k!中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理:f(b)f(a)=f ()(b a)f()()()柯西中值定理:b f a =f F(b)F(a)F ()当F(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。谢谢精品好文档推荐学习交流仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流一些初等函数两网站删除谢谢和差化积公式精品好文档推荐学习交流倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流曲率弧微分公式其中平均曲率从点到点切线斜率精品好文档,推荐学习交流 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删
11、除 谢谢17 L b 曲率:弧微分公式:ds=1+y2 dx,其中y =tg 平均曲率:K=.:从M点到M 点,切线斜率的倾角变化量;s:MM 弧长。s M点的曲率:K=lim =d =y .直线:K=0;s0 s ds(1+y2)3 半径为a的圆:K=1.a 定积分的近似计算:b 矩形法:f(x)a b 梯形法:f(x)a b a n b a n(y0+y1+L +yn 1)1(y +y)+y +y 2 0 n 1 n 1 b 抛物线法:f(x)a b a 3n(y0+yn)+2(y2+y4+L +yn 2)+4(y1+y3+L +yn 1)定积分应用相关公式:功:W=F s 水压力:F=p
12、 A 引力:F=k m1m2,k为引力系数 r 2 1 b 函数的平均值:y=f(x)dx b a a 1 2 均方根:f b a a(t)dt 谢谢精品好文档推荐学习交流仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流一些初等函数两网站删除谢谢和差化积公式精品好文档推荐学习交流倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流曲率弧微分公式其中平均曲率从点到点切线斜率精品好文档,推荐学习交流 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢17 1 1 1 x x 3 +2 2 y y z 2 空间解析几何和向量代数
13、:空间2点的距离:d=M 1M 2 =(x2 x)2+(y y)2+(z z)2 向量在轴上的投影:Pr ju AB=AB cos ,是 AB与u轴的夹角。v v v Pr ju(a1+a2)=Pr ja1+Pr jav2 v v v v a b=a b cos =ax bx +a y by +az bz,是一个数量,两向量之间的夹角:cos =ax bx+a y by+az bz a 2+a 2+a 2 b 2+b 2+b 2 i j k v x y z v x y z cv=av b=a a bx by az,cv =av b sin .例:线速度:vv=wv rv.bz ax a y a
14、z v v v 向量的混合积:avb cv=(av b)cv=b b cx c y b =av b cv cos ,为锐角时,cz 代表平行六面体的体积。平面的方程:1、点法式:A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0,其中nv=A,B,C,M 0(x0,y0,z0)2、一般方程:Ax+By+Cz+D=0 x y z、截距世方程:+=1 a b c 平面外任意一点到该平面的距离:d=Ax0 +By0 +Cz0 +D A2 +B 2 +C 2 x=x0 +mt x x0 y y0 z z0 v 空间直线的方程:=m n 二次曲面:=t,其中s=m,n,p;参数方程:y=y0 +nt p
15、 z=z0 +pt x 2 1、椭球面:+a 2 x 2 y z 2+=1 b 2 c 2 y 2 2、抛物面:+2 p 2q 3、双曲面:=z(,p,q同号)x 2 y 2 z 2 单叶双曲面:+a 2 b 2 c 2 x 2 y 2 z 2 双叶双曲面:+a 2 b 2 c 2=1=(1 马鞍面)谢谢精品好文档推荐学习交流仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流一些初等函数两网站删除谢谢和差化积公式精品好文档推荐学习交流倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流曲率弧微分公式其中平均曲率从点到点
16、切线斜率精品好文档,推荐学习交流 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢17=T x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0 2 2 u 多元函数微分法及应用 全微分:dz=z dx+z dy du=u dx+u dy+u dz x y x y z 全微分的近似计算:z dz=f x(x,y)x+f y(x,y)y 多元复合函数的求导法:z=f u(t),v(t)dz=z u+z v dt u t v t z=f u(x,y),v(x,y)z=z u+z v x u x 当u=u(x,y),v=v(x,y)时,v x du=u dx+u dy dv=v dx+v dy x y x y
17、 隐函数的求导公式:隐函数F(x,y)=0 dy=Fx d y=(Fx)(Fx)dy,dx,Fy dx x Fy y Fy dx 隐函数F(x,y,z)=0 z=Fx z=Fy,x Fz,y Fz F F(x,y,u,v)=0 (F,G)隐函数方程组:J=F v =Fu Fv G(x,y,u,v)=0 (u,v)G G u v Gu Gv u=1 (F,G)v 1 (F,G)x J (x,v)x J (u,x)u=1 (F,G)v 1 (F,G)y J (y,v)y J (u,y)微分法在几何上的应用:x=(t)y=(t)在点M(x,y,z)x x0=y y0=z z0 空间曲线 z=(t)0
18、 0 0 处的切线方程:(t0)(t0)(t0)在点M处的法平面方程:(t0)(x x0)+(t0)(y y0)+(t0)(z z0)=0 若空间曲线方程为:F(x,y,z)=0,则切向量 v=Fy Fz ,Fz Fx ,Fx Fy G(x,y,z)=0 Gy G z Gz G x Gx G y 曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0),则:1、过此点的法向量:nv=F(x,y,z),F(x,y,z),F(x,y,z)2、过此点的切平面方程:Fx(x0,y0,z0)(x x0)+Fy(x0,y0,z0)(y y0)+Fz(x0,y0,z0)(z z0)=0 3、过此点的法线方程:x
19、 x0=y y0=z z0 Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)谢谢精品好文档推荐学习交流仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流一些初等函数两网站删除谢谢和差化积公式精品好文档推荐学习交流倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流曲率弧微分公式其中平均曲率从点到点切线斜率精品好文档,推荐学习交流 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢17 v j F 3 y 方向导数与梯度:f 函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为:l=f cos
20、 +x f sin y 其中为x轴到方向l的转角。函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度:gradf(x,y)=f i+f v f v x y v v v 它与方向导数的关系是:l=grad f(x,y)e,其中e=cos i+sin j,为l方向上的 单位向量。f 是gradf(x,y)在l上的投影。l 多元函数的极值及其求法:设f x(x0,y0)=f y(x0,y0)=0,令:f xx(x0,y0)=A,f xy(x0,y0)=B,f yy(x0,y0)=C A 0 时,0 0 A 0,(x0,y0)为极小值 则:AC B 2 0)的引力:F=Fx,Fy,Fz,其中:Fx =f (
21、x,y)xd,=f (x,y)yd 3,Fz =fa (x,y)xd 3 D (x 2+y 2+a 2)2 D (x 2+y 2+a 2)2 D (x 2+y 2+a 2)2 谢谢精品好文档推荐学习交流仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流一些初等函数两网站删除谢谢和差化积公式精品好文档推荐学习交流倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流曲率弧微分公式其中平均曲率从点到点切线斜率精品好文档,推荐学习交流 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢17 M M M 2 2 2 柱面坐标和球面坐标
22、:x=r cos 柱面坐标:y=r sin ,f(x,y,z)dxdydz=F(r,z)rdrddz,z=z 其中:F(r,z)=f(r cos ,r sin ,z)x=r sin cos 球面坐标:y=r sin sin ,dv=rd r sin d dr=r 2 sin drdd z=r cos 2 r(,)f(x,y,z)dxdydz=F(r,)r 2 sin drdd =d d F(r,)r 2 sin dr 1 1 0 0 0 1 重心:x=xdv,y=ydv,z=zdv,其中M=x=dv 转动惯量:I x =(y +z 2 )dv,I y =(x +z 2 )dv,I z =(x
23、+y 2 )dv 曲线积分:第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为:x=(t),(t ),则:y=(t)x=t f(x,y)ds=f (t),(t)2(t)+2(t)dt ()特殊情况:L y=(t)谢谢精品好文档推荐学习交流仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流一些初等函数两网站删除谢谢和差化积公式精品好文档推荐学习交流倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流曲率弧微分公式其中平均曲率从点到点切线斜率精品好文档,推荐学习交流 仅供学习与交流,如有侵权请联系
24、网站删除 谢谢17 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分):x=(t)设L的参数方程为,则:y=(t)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P (t),(t)(t)+Q (t),(t)(t)dt L 两类曲线积分之间的关系:Pdx+Qdy=(P cos +Q cos )ds,其中和分别为 L L L上积分起止点处切向量的方向角。Q P Q P 格林公式:()dxdy=Pdx+Qdy 格林公式:()dxdy=Pdx+Qdy D x y L D x y L Q 当P=y,Q=x,即:P 1=2时,得到D的面积:A=dxdy=xdy ydx x y D 2 L 平面上曲线积分与路径无关的条件:1、G是一个
25、单连通区域;2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且 Q P。注意奇点,如(0,0),应 减去对此奇点的积分,注意方向相反!二元函数的全微分求积:x y 在 Q P 时,Pdx+Qdy 才是二元函数u(x,y)的全微分,其中:x u(x,y)=y(x,y)P(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设x0 =y0 =0。(x0,y0)曲面积分:2 2 对面积的曲面积分:f(x,y,z)ds=f x,y,z(x,y)1+z x(x,y)+z y(x,y)dxdy Dxy 对坐标的曲面积分:P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中:R(x,y
26、,z)dxdy=R x,y,z(x,y)dxdy,取曲面的上侧时取正号;Dxy P(x,y,z)dydz=P x(y,z),y,zdydz,取曲面的前侧时取正号;Dyz Q(x,y,z)dzdx=Q x,y(z,x),zdzdx,取曲面的右侧时取正号。Dzx 两类曲面积分之间的关系:Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(P cos +Q cos +R cos )ds 谢谢精品好文档推荐学习交流仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流一些初等函数两网站删除谢谢和差化积公式精品好文档推荐学习交流倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公供学习与交流如有侵权请联系
27、网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流曲率弧微分公式其中平均曲率从点到点切线斜率精品好文档,推荐学习交流 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢17 z 关的条件:=n 高斯公式:P+Q+R (x y)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(P cos +Q cos +R cos )ds 高斯公式的物理意义 通量与散度:散度:divv=P+Q+R,即:单位体积内所产生 的流体质量,若 divv 0,则为消失.x y z v 通量:A nvds=An ds=(P cos +Q cos +R cos )ds,v 因此,高斯公式又可写 成:divAdv=An ds 斯托克斯公式曲线积分与曲面积
28、分的关系:R Q P R Q P (y z)dydz+(z x)dzdx+(x y)dxdy=Pdx+Qdy+Rdz 上式左端又可写成:dydz x P dzdx y Q dxdy z R=cos x P cos y Q cos z R 空间曲线积分与路径无 R=Q P R,Q P,i j k v 旋度:rotA=x y z P Q R v y z z x x y v v 向量场A沿有向闭曲线 的环流量:Pdx+Qdy+Rdz=A t ds 常数项级数:等比数列:1+q+q 2+L +q n 1 =1 q 1 q 等差数列:1+2+3+L +n=(n+1)n 2 调和级数:1+1+1+L +1
29、 是发散的 2 3 n 谢谢精品好文档推荐学习交流仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流一些初等函数两网站删除谢谢和差化积公式精品好文档推荐学习交流倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流曲率弧微分公式其中平均曲率从点到点切线斜率精品好文档,推荐学习交流 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢17 n,则 p 级数审敛法:1、正项级数的审敛法 根植审敛法(柯西判别法):1时,级数发散 n 2、比值审敛法:=1时,不确定 1时,级数发散 n U n 3、定义法:=1时,不确定 sn =u1+
30、u2+L +un;lim sn 存在,则收敛;否则发散。n 交错级数u1 u2+u3 u4+L(或 u1+u 2 u3 +L,un 0)的审敛法 莱布尼兹定理:如果交错级数满足 un un+1,那么级数收敛且其和s u1,其余项rn的绝对值 rn un+1。lim un =0 n 绝对收敛与条件收敛:(1)u1+u2+L +un +L,其中un为任意实数;(2)u1 +u2 +u3 +L +un +L 如果(2)收敛,则(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数;如果(2)发散,而(1)收敛,则称(1)为条件收敛级数。n 调和级数:1 发散,而 (1)收敛;级数:n n 1 收敛;n 2 1 时发散
31、p级数:n p 1时收敛 谢谢精品好文档推荐学习交流仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流一些初等函数两网站删除谢谢和差化积公式精品好文档推荐学习交流倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流曲率弧微分公式其中平均曲率从点到点切线斜率精品好文档,推荐学习交流 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢17 n L 3 5 e 幂级数:x 1时,收敛于 1 1+x+x 2+x3+L +x n +L x 1时,发散 1 x 对于级数(3)a0+a1 x+a2 x 2+L +a x n +L,如果它不
32、是仅在原点收敛,也不是在全 数轴上都收敛,则必存在R,使 x R时发散,其中R称为收敛半径。x=R时不定 求收敛半径的方法:设 lim n an+1 a =,其中an,an+1是(3)的系数,则 0时,R=1 =0时,R=+n =+时,R=0 函数展开成幂级数:f (x)f(n)(x)函数展开成泰勒级数:f(x)=f(x0(n+1)(x x0)+0 (x x 2!0)2+0 (x x n!0)n +L 余项:R =f()(x x)n+1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是:lim R =0 n(n+1)!0 f (0)f(n)(0)n n x0 =0时即为麦克劳林公式:f(x)=f(0)+
33、f (0)x+x 2+L +2!x n +L n!一些函数展开成幂级数:(1+x)m =1+mx+m(m 1)x 2+L +m(m 1)L(m n+1)x n +L (1 x 1)sin x=x x +x 2!L +(1)n 1 x 2 n 1 n!+L (x 0)y=c er1x +c er2 x 1 2 两个相等实根(p 2 4q=0)y=(c+c x)er1x 1 2 一对共轭复根(p 2 4q 0)r1 =+i,r2 =i p 4q p 2 =,=2 2 y=e x(c cos x+c sin x)1 2 二阶常系数非齐次线性微分方程 y +py +qy=f(x),p,q为常数 x f(x)=e f(x)=e x Pm(x)型,为常数;Pl(x)cosx+Pn(x)sin x型 谢谢精品好文档推荐学习交流仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流一些初等函数两网站删除谢谢和差化积公式精品好文档推荐学习交流倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流曲率弧微分公式其中平均曲率从点到点切线斜率
限制150内