数学建模优秀论文-数学建模与数学实验.pdf
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1、数学建模与 数学实 验拟合后勤 工 程 学 院 数学教 研 室1实 验目的1、直观了解拟合基本内容。2、掌握 用数学 软件求解拟合问题。实 验内 容、拟合 问题 引例及 基本 理论。2、用 数学 软件 求 解 拟合 问题。3、应 用 实例4、实验作业。2p 拟合1.拟合 问题 引例2.拟合 的 基本原 理3拟合 问题 引例1已 知 热敏 电阻 数据:温度t()1 20.5 32.7电阻R(C)|765 826求6(PC 时 的电阻R。51.0 73.0 95.7873 942 1032设 R=at+ba,b为 待定 系 数4拟合 问题 引例2已 知一 室模型快 速静脉 注射下 的血药 浓度数据
2、(仁0 注射300mg)t(h)0.25 0.5 1 L5 2 3 4 6 8c(pig/ml)19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01求血药浓度随时间的变化规律c(t).作半 对数坐标 系(semilogy)下 的 图形 MATLAB(aal)C)=cQekt c,左为 待定 系 数曲线拟合问题的提法已 知一 组(二 维)数据,即 平 面上n个 点(号和)i=l,n,寻求一个函 数(曲 线)y=f(x),使f(x)在某 种准则下与 所 有数据点最为 接 近,即 曲 线 拟合 得最好。今为 点(如叩与 曲 线y=f(x)的距离6拟合与
3、插值 的关 系问题:给 定一 批数据点,需确 定满 足特 定 要 求 的 曲 线 或曲 面解决 方案:若要 求所求曲 线(面)通过 所 给 所有数据点,就是插值 问题;若不 要 求曲 线(面)通过 所有数据点,而 是 要 求它反 映对 象 整体 的变化 趋势,这 就是数据拟合,又 称 曲 线 拟合 或曲 面 拟合。函 数插值与 曲 线 拟合 都 是 要 根据一 组 数据构 造一个函 数作 为 近似,由于 近似 的要 求不同,二 者的 数学方法上 是完全不同 的。实例:下 面 数据是某次实 验 所得,希望得到X和f之 间的关 系?MATLAB(cn)X 1 2 4 7 9 12 13 15 17
4、f 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.17最临 近 插值、线 性插值、样条插值与 曲 线 拟合 结 果:曲 线 拟合 问题 最常 用的解 法 线性最小二乘法的基本思路第一 步:先 选 定一 组函 数L(X),r2(x),.rm(x),mn,令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+.+amrm(x)(1)其中2 泌2,am为 待定 系 数。第二 步:确 定 画用2,am 的准则(最小二乘准则):使n个 点(与人)与 曲 线y=f(x)的距离令 的 平方和 最小。记 J(al,a2,-am)=可2=(%,)%2 i=l i=ln m=(2)i=l
5、 k=l问题 归 结为,求2 泌2,Hm 使 J(apa2,.am)最小。9线 性最小二乘 法 的 求 解:预 备 知识超 定方 程组:方 程个 数大于 未 知量个 数 的 方 程组yna1+rna2+-+rlmam=yi.(n m)即 Ra二yrnla1+rn2a2+-+rnmam=ynril Z12/J 中 R=rnlnm超 定方 程一 般 是不 存在 解的矛盾 方 程组。n如果有向 量a使 得 Z(G%+G 2+,+%M-y)2 达到 最小,则 称a为上 述超 定方 程 施小二乘 解。10线性最小二乘法的求解所以,曲 线 拟合 的 最小二乘 法 要解决 的问题,求以下 超 定方 程组的
6、最小二乘 解的问题。Ra=y。(巧)为)实 际上 就是(3)一 M其中 R=,y=()/()am%定 理:当RTR可 逆 时,超 定方 程组(3)存在最小二乘 解,且即为 方 程组RTRa=RTy的解:a=(RTR)TRTy11线 性最小二乘 拟合 f(x)=a1r1(x)+.+amrm(x)cl3函 数 h(x),r 1n(x)的选取1.通过 机 理分 析建 立 数学模型来 确 定f(x);2.将数据(号 外i=l,n作 图,通过直观判 断 确 定f(x):用MATLAB 解 拟合 问题1、线性最小二乘 拟合2、非线 性最小二乘 拟合a13用MATLAB作 线 性最小二乘 拟合.七1.作 多
7、 项 式f(X)=Xm+/乂+/+1 拟合,可利 用 已有 程 序:2.对 超 定方 程组=打灯(加 可 得最小二乘 意义下 的解。3.多 项 式在x 处 的值y可 用以下命令 计算:y=polyval(a,x)14例 对下 面一 组 数据作二 次多 项 式拟合xi 0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1yi1.978 3.28 6.16 7.34 7.66 9.58 9.48 9.30 11.2即 要 求出二 次多 项 式:fM=aTx2+。2兀+中 的A=(%,3%)使 得:i=l最小解 法L 用解超 定方 程的 方法(2 1再 占 1此时 R=.2 1J”xn
8、 11)输入以下命令:x=0:0.1:l;y=-0.4471.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2;R=(x.A2)f xf ones(114);A=RyfMATLAB(zxecl)2)计算结 果:A=-9.8108 20.1293-0.0317/(x)=-9.8108%2+20.1293%-0.0317解 法2.用 多 项 式拟合 的命令1)输入以下命令:x=0:0.1:l;12y=-0.4471.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2;A=polyfit(x,y,2)z=p
9、olyval(Ax);MATLAB(zxec2)plot(x,y,,k+,,x,z,T)%作出 数据点和 拟合 曲 线的 图形2)计算结 果:A=-9.8108 20.1293-0.0317/(x)=-9.8108%2+20.1293%-0.031717了一个 用MATLAB作 非线 性最小二乘 拟合嬴ab 的 提供了两个 求 非线 性最小二乘 拟合 的函 数:1 sqcurvef it01 sqnonl ino两个命令 都要先 建 立M-文件fun.m,在其中 定义函 数f(x),但两 者 定义f(x)的 方式是不同 的,可参 考例 题.1.1sqcurvefit已 知 数据点:xdata=
10、(xdataP xdata2,,xdatan),ydata=(ydata ydata2,,ydatan)1 sqcurvefit 用以 求含参 量x(向 量)的向 量值函 数F(x,xdata)=(F(x,xdataP,,F(x,xdatan)T中的参变 量x(向 量),使 得(b(X,xdata)-ydatat)最小 i=l18输入 格式为:(1)x=Isqcurvefit(fun,xO,xdata,ydata);(2)x=lsqcurvefit(fun,xO,xdata,ydata,options);(3)x=Isqcurvefit(fun,xO,xdata,ydata,options,g
11、rad);(4)x,options=Isqcurvefit(6funxO,xdata9ydata9.);(5)x,options,funval=Isqcurvefit(6funxO9xdata9ydata9.);(6)x,options,funval,Jacob=Isqcurvefit(6funxO,xdata,ydata9.);192.Isqnonlin已 知 数据点:xdata=(xdata1,xdata2,xdatan)ydata=(ydata ydata2,ydatan)Isqnonlin 用以 求含参 量x(向 量)的向 量值函 数 f(x)=(f1(x),f2(x),.,fn(x)
12、T 中 的参 量x,使 得f(%)/(%)=/(以+%(以+/(4最小。其中 fj(x)=f(x,xdataP ydataj=F(x?xdataj)-ydataj输入 格式为:1)x=lsqnonlin(fun,xO);2)x=Isqnonlin(fun,xO,options);3)x=Isqnonlin(fun,xO,options,grad);4)x,options=Isqnonlin(fun,xO,.);5)x,options,funval=Isqnonlin(fun,21例2 用下 面一 组 数据拟合。=。+从02 比 中 的参 数a,b,kt j100 200 300 400 500
13、 600 700 800 900 1000c.xlO34.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59该问题即解最优化问题:10min F(a,b,k)=a+be,Q2ktjjTJ22解法1.用命令IsqcurvefitF(x,tdata)=(a+beQ,Q2kti,+be2ktw)r,x=(a,b,k)1)编写M-文件 curvefunl.mfunction f=curvefunl(x,tdata)f=x(l)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)落其中 x(l)=a;x(2)=b;x(3)=k;2)输入命令tdata=100
14、:100:1000cdata=le-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59;x0=0.2,0.05,0.05;x=lsqcurvefit(curvefunl,xO,tdata,cdata)f=curvefunl(x,tdata)MATLABCfzxec!3)运算结 果为:f=0.0043 0.00510.0062 0.0062x=0.0063-0.00340.0056 0.00590.0063 0.00630.25420.00610.00634)结论:a=0.0063,b=-0.0034,k=0.254224函 数curvefi
15、m2 的自变 量 是x,cdata和tdata 是已 知参 数,故应 将cdata tdata 的值写 在 curvefim2 m 中解 法2 用命令Isqnonlinf(x)=F(x9tdata,ctada)=(+be.os 幼 _q,.,”+/?e-s的 o_Ci)T x=(a,b,k)1)编写M-文件 curvefun2.m function f=curvefun2(x)tdata=100:100:1000;cdata=le-03*4.54,4 99,5 35,5 65,5.90,6 10,6 26,6.39,6.50,6.59;f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*td
16、ata)-cdata2)输入命令:x0=0.2,0.05,0.05;x=lsqnonlin(curvefun21rxO)_f=curvefun2(x)MATLAB(fzxec2)253)运算结 果为f=1.0e-003*(0.2322-0.1243-0.2495-0.2413-0.1668-0.0724 0.0241 0.1159 0.2030 0.2792x=0.0063-0.0034 0.25424)结论:即 拟合 得a=0.0063 b=-0.0034 k=0.2542可以 看出,两个命令 的计算结 果是 相同 的.26MATLAB 解 应 用问题 实例T1、电阻问题2、给药 方案 问题
17、*3、水塔流 量估 计问题27电阻问题.l 迹 a 温度t()20.5 32.7 51.0 73.0 95.7例.由 数据二-电阻 R(C)765 826 873 942 1032拟合区=2 止+分2方法 1.用命令 polyfit(xzy,m)MATLAB(dianzul)得到 a1=3.3940,a2=702.4918方法2.直 接 用 a=RyMATLAB(dianzu2)结 果 相同。28给药 方案拟合 问题 实例2一 种 新 药用于临 床之前,必 须设计给药 方案.药物进入 机体后 血 液 输送到全 身,在 这个 过程中不 断地 被吸 收、分 布、代 谢,最终排出体外,药物 在 血
18、液中 的 浓度,即单位体 积血 液中 的药物含 量,称为 血药 浓度。一 室模型:将整个 机体 看作一个 房室,称中 心室,室内 血药 浓度是均匀 的。快 速静脉 注射后,浓度 立即上升;然后 迅速下 降。当浓度太低 时,达不到 预 期 的 治 疗 效果;当浓度太 高,又可 能 导 致药物中 毒 或副作 用 太强。临 床上,每 种药物 有一个 最小有效 浓度5和一个 最大有效浓度C2。设计给药 方案时,要使 血药 浓度保 持在C C2之 间。本 题设5=10,c2=25(ug/ml).29要设计给药 方案,必 须知道给药后 血药 浓度 随时 间变化 的规 律。从 实 验和 理论两 方 面着 手
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