离散型随机变量的均值与方差 教案_高等教育-统计学.pdf
《离散型随机变量的均值与方差 教案_高等教育-统计学.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《离散型随机变量的均值与方差 教案_高等教育-统计学.pdf(17页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、2012.04.15 选修 2-3离散型随机变量的均值与方差 第 1 页 共 17 页 离散型随机变量的均值与方差 教学目标:了解离散型随机变量的均值或期望的意义,会根据分布列求出均值或期望,理解公式“E(a+b)=aE+b”,以及“若B(n,p),则 E=np”;了解离散型随机变量的方差、标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。教学重点、难点:离散型随机变量的均值或期望的概念,及根据分布列求出均值或期望,了解方差公式“D(a+b)=a2D”,以及“若(n,p),则D=np(1 p)”,并会应用上述公式计算有关随机变量的方差;会根据期望、方差、标准差的大小解决实际问题。复习
2、:1 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母、等表示 2 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量 若是离散型随机变量,=a+b,a,b 是常数,则也是离散型随机变量。3 分布列:设离散型随机变量可能取得值为x1,x2,x3,取每一个值xi(i=1,2,)的概率为()iiPxp,则称表为随机变量的概率分布,简称的分布列 x1 x2 xi P P1 P2 Pi 4 分布列的两个性质:Pi0,i1,2,;P1+P2+=1 5 离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中,某事 件 可
3、能 发 生 也 可 能 不 发生,在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是 0 1 k n P nnqpC00 111nnqpC knkknqpC 0qpCnnn 2012.04.15 选修 2-3离散型随机变量的均值与方差 第 2 页 共 17 页 knkknnqpCkP)(,(k0,1,2,,n,pq 1)于是得到随机变量的概率分布如下:称这样的随机变量服从二项分布,记作B(n,p),其中n,p为参数,并记knkknqpCb(k;n,p)6 离散型随机变量的几何分布:在独立重复试验中,某事
4、件第一次发生时,所作试验的次数 也是一个正整 数的离散型随机变量“=k”表示在第 k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把 k 次试验时事件A发生记为kA、事件 A不发生记为kA,P(kA)=p,P(kA)=q(q=1-p),那么 112311231()()()()()()()kkkkkPkP A A AAAP A P A P AP AP Aqp(k0,1,2,,pq 1)于是得到随机变量的概率分布如下:1 2 3 k P p pq 2q p 1kqp 称这样的随机变量服从几何分布 记作g(k,p)=1kqp,其中k0,1,2,,pq 1 离散型随机变量的均值 问题:某商场为满足市场需求要将
5、单价分别为18 元/kg,24 元/kg,36 元/kg 的 3 种糖果按 3:2:1 的比例混合销售,其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,如何对每千克混合糖果定价才合理?价格定为(18+24+36)/3=26(元/千克);合理吗?如何体现三种的比例?平均在每1kg的混合糖果中,3 种糖果的质量分别为 1/2kg,1/3kg,1/6kg,所以价格应定为:182436263213 (元/千克).它是三种糖果价格的加权平均,其中 1/2,1/3,1/6权数,在计算平均数时,权数可以表示总体中的各种成分所占的比例,权数越大的数据在总体中所占的比例越大,它对加权平均数的影响也越大.加权平均数是不同比
6、重数据的平均数,加权平均数就是把原始解公式以及若则了解离散型随机变量的方差标准差的意义会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差教学重点难点离散型随机变量的均值或期望的概念及根据分布列求出均值或期望了解方差公式以及若则并会应用上述公式计变量来表示那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母等表示离散型随机变量对于随机变量可能取的值可以按一定次序一一列出这样的随机变量叫做离散型随机变量若是离散型随机变量是常数则也是离散型随机变量分布列离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中某事件可能发生也可能不发生在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是那么在次独
7、立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是选修2012.04.15 选修 2-3离散型随机变量的均值与方差 第 3 页 共 17 页 数据按照合理的比例来计算.1/2 表示价格为18 元/千克的糖果在混合糖果中所占比例,1/3 表示价格为24 元/千克的糖果在混合糖果中所占比例,1/6 表示价格为36 元/千克的糖果在混合糖果中所占比例.“在搅拌均匀的混合糖果中,如果每一颗糖果的质量都相等,”那么在混合糖果中任取一颗糖果,取到每颗糖果的可能性相等,这样在混合糖果中任取一颗,取到的糖果恰好是价格为 18 元/千克的糖果的概率是多少?恰好是价格为 24 元/千克的糖果的概率是多少?恰好是价格为 36
8、元/千克的糖果的概率是多少?在混合糖果中任取一颗,取到的糖果恰好是价格为 18 元/千克的概率是 1/2,恰好是价格为 24 元/千克的概率是 1/3,恰好是价格为 36 元/千克的概率是 1/6.假如从这种混合糖果中随机选取一颗,记 X 为这颗糖果的原来单价(元/千克),则 X的分布列为:因此权数恰好是随机变量 X取每种价格的概率。这样,每千克混合糖果的合理价格应为:X 18 24 36 P 1/2 1/3 1/6 18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X=36)=23(元/千克).一般地,若离散型随机变量 X 的概率分布为:则称 E(X)=nniipxpxpxpxpx332211
9、为 X的均值或数学期望,简称期望 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.均值或期望的一个性质:若Y=aX+b,a,b 是常数,X是随机变量,则 Y也是随机变量,因为:x1 x2 xi xi ax1+b ax2+b axi+b axi+b P p1 p2 pi pi P(Y=axi+b)=P(X=xi),i=1,2,n.所以 Y 的分布列为:于是)(YE11)(pbax22)(pbaxiipbax)(nnpbax)(解公式以及若则了解离散型随机变量的方差标准差的意义会根据离散型随机变量的分布列求出
10、方差或标准差教学重点难点离散型随机变量的均值或期望的概念及根据分布列求出均值或期望了解方差公式以及若则并会应用上述公式计变量来表示那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母等表示离散型随机变量对于随机变量可能取的值可以按一定次序一一列出这样的随机变量叫做离散型随机变量若是离散型随机变量是常数则也是离散型随机变量分布列离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中某事件可能发生也可能不发生在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是选修2012.04.15 选修 2-3离散型随机变量的均值与方差 第 4 页 共
11、 17 页 11(pxa22pxnnpx)1(pb2pnp)bXaE)(,由此,我们得到了期望的一个性质:bXaEbaXE)()(思考:如果其他班级参赛选手的射击成绩都在 9 环左右,本班应该派哪一名选手参赛?如果其他班级参赛选手的射击成绩都在 7 环左右,又应该派哪一名选手参赛?问题的本质:选择方差大的好还是方差小的好?如果其他班级选手的射击成绩都在 9 环左右,本班候选人成绩只有 8 环,要想取胜或不输,选手必须超常发挥。一般来讲,方差大的,超常发挥的可能性越大,因此,应该派甲去;并且通过发布列可以计算甲取胜或不输的概率(大于等于 9 环)。如果其他班级选手的射击成绩都在 7 环左右,要想
12、取胜或不输,本班选手的射击成绩稳定在 8 环比较好,因此,选择派乙去;他的成绩的方差比较小,成绩更集中于8 环,取胜的可能性更大;通过发布列可以计算乙取胜或不输的概率(大于等于 7 环)。例 1 在篮球比赛中,罚球命中得 1 分,不中得 0 分。如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他他罚球 1 次得分 X 的均值(期望)是多少。解:因为3.0)0(,7.0)1(XPXP,所以)0(0)1(1)(XPXPXE7.03.007.01 一般地,如果随机变量 X服从二点分布,那么 E(X)=1p+0(1-p)=p 于是有 若 X服从二点分布,则 E(X)=p.如果 XB(n,p),那么由11)!1
13、()1()!1()!1()!(!knknnCknknnknknkkC,可得)(XEknknkknqpkC0)1(11111knknkknqpnpCknknkknqpnpC1101np 即:knkknknkknqpCppCkXP)1()(,)(XE0nnqpC001111nnqpC2222nnqpCkknkknqpCn0qpCnnn 解公式以及若则了解离散型随机变量的方差标准差的意义会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差教学重点难点离散型随机变量的均值或期望的概念及根据分布列求出均值或期望了解方差公式以及若则并会应用上述公式计变量来表示那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母等表示离
14、散型随机变量对于随机变量可能取的值可以按一定次序一一列出这样的随机变量叫做离散型随机变量若是离散型随机变量是常数则也是离散型随机变量分布列离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中某事件可能发生也可能不发生在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是选修2012.04.15 选修 2-3离散型随机变量的均值与方差 第 5 页 共 17 页)(XE(np0011nnCp q2111nnqpC)1()1(111knkknqpC)0111qpCnnn npqpnpn 1)(故若XB(n,p),则)(XEnp 随机变
15、量的均值与样本的平均值有什么联系与区别?随机变量的均值是一个常数,而样本的平均值是随着样本的不同而变化的,因此,样本的平均值是随机变量;对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本的平均值越老越接近于总体的均值,因此,我们常用样本的平均值来估计总体的均值。例 2.一次单元测验由 20 个选择题构成,每个选择题有 4 个选项,其中有且仅有一个选项正确。每题选对得 5 分,不选或选错不得分,满分 100 分。学生甲选对任一题的概率为 0.9,学生乙则在测验中对每题都从各个选项中随机地选择一个,求学生甲和乙在这次测验中的成绩的均值。解:设学生甲和乙在这次单元测验中选对的题数分别为 X1,X2,则 X1
16、 B(20,0.9),X2B(20,0.25),525.020)(,189.020)(21XEXE 由于答对每题得 5 分,学生甲和乙在这次测验中的成绩分别是5 X1和 5 X2 所以,他们在测验中的成绩的均值分别是:,90185)(5)5(11XEXE ,2555)(5)5(22XEXE 学生甲在这次单元测试中的成绩一定是90 分吗?他的成绩均值 90 分的含义是什么?90 表示随机变量 X 的均值;甲的成绩是一个随机变量,比如取值可能为 0,5,10,95,100;他的均值为 90 分的含义是:在多次类似的考试中,他的平均成绩大约是90 分。例 3.根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为
17、 0.25,有大洪水的概率为 0.01该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失 60 000 元,遇到小洪水时要损失 10 000元为保护设备,有以下 3 种方案:方案 1:运走设备,搬运费为 3 800 元 解公式以及若则了解离散型随机变量的方差标准差的意义会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差教学重点难点离散型随机变量的均值或期望的概念及根据分布列求出均值或期望了解方差公式以及若则并会应用上述公式计变量来表示那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母等表示离散型随机变量对于随机变量可能取的值可以按一定次序一一列出这样的随机变量叫做离散型随机变量若是离散型随机变量是常数则也
18、是离散型随机变量分布列离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中某事件可能发生也可能不发生在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是选修2012.04.15 选修 2-3离散型随机变量的均值与方差 第 6 页 共 17 页 方案 2:建保护围墙,建设费为 2 000 元但围墙只能防小洪水 方案 3:不采取措施,希望不发生洪水 试比较哪一种方案好 解:用 X1、X2和 X3分别表示方案 1,2,3 的损失 采用第 1 种方案,无论有无洪水,都损失3 800 元,即 X1=3 800.采用第 2 种方案,遇到大
19、洪水时,损失 2 000+60 000=62 000 元;没有大洪水时,损失 2 000 元,即 262000,有大洪水;X=2000,无大洪水.同样,采用第 3 种方案,有360000,有大洪水;X=10000,有小洪水;0,无洪水.于是,E(X1)3 800,E(X2)62 000P(X2=62 000)+2 00000 P(X2=2 000)=620000.01+2000(1-0.01)=2 600,E(X3)=60000P(X3=60000)+10 000P(X3=10 000)+0P(X3=0)=60 0000.01+100000.25=3100.采取方案 2 的平均损失最小,所以可
20、以选择方案 2.值得注意的是,上述结论是通过比较“平均损失”而得出的一般地,我们可以这样来理解“平均损失”:假设问题中的气象情况多次发生,那么采用方案 2 将会使损失减到最小由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案 2 也不一定是最好的 例 4 随机抛掷一枚骰子,求所得骰子点数X 的均值 解:6,2,1,6/1)(iiXP,6/166/126/11)(XE=3.5 解公式以及若则了解离散型随机变量的方差标准差的意义会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差教学重点难点离散型随机变量的均值或期望的概念及根据分布列求出均值或期望了解方差公式以及若则并会应用上
21、述公式计变量来表示那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母等表示离散型随机变量对于随机变量可能取的值可以按一定次序一一列出这样的随机变量叫做离散型随机变量若是离散型随机变量是常数则也是离散型随机变量分布列离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中某事件可能发生也可能不发生在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是选修2012.04.15 选修 2-3离散型随机变量的均值与方差 第 7 页 共 17 页 例 5 有一批数量很大的产品,其次品率是 15%,对这批产品进行抽查,每次抽取 1 件,如果抽出次品
22、,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品为止,但抽查次数不超过 10 次求抽查次数 X 的期望(结果保留三个有效数字)解:抽查次数 X 取 1X10 的整数,从这批数量很大的产品中抽出 1 件检查的试验可以认为是彼此独立的,取出次品的概率是 0.15,取出正品的概率是 0.85,前 k-1次取出正品而第 k 次(k=1,2,10)取出次品的概率:15.085.0)(1kkXP(k=1,2,10)需要抽查 10 次即前 9 次取出的都是正品的概率:985.0)10(XP由此可得 X 的概率分布如下:X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 0.15 0.1275 0.1084 0.092
23、 0.0783 0.0666 0.0566 0.0481 0.0409 0.2316 根据以上的概率分布,可得 X 的期望 35.52316.0101275.0215.01)(XE 例 6 某城市出租汽车的起步价为 10 元,行驶路程不超出 4km时租车费为 10 元,若行驶路程超出 4km,则按每超出 lkm 加收 2 元计费(超出不足 lkm 的部分按 lkm计)从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为 15km某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的 不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车 5 分钟按 lkm 路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程 X
24、是一个随机变量设他所收租车费为 Y()求租车费 Y关于行车路程 X的关系式;()如表为随机变量 X的分布列,求所收租车费 Y 的数学期望 X 15 16 17 18 P 0.1 0.5 0.3 0.1 ()已知某旅客实付租车费 38 元,而出租汽车实际行驶了 15km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解公式以及若则了解离散型随机变量的方差标准差的意义会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差教学重点难点离散型随机变量的均值或期望的概念及根据分布列求出均值或期望了解方差公式以及若则并会应用上述公式计变量来表示那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母等表示离散型随机变量对于随机变量可
25、能取的值可以按一定次序一一列出这样的随机变量叫做离散型随机变量若是离散型随机变量是常数则也是离散型随机变量分布列离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中某事件可能发生也可能不发生在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是选修2012.04.15 选修 2-3离散型随机变量的均值与方差 第 8 页 共 17 页 解:()依题意得 Y=2(X-4)十 10,即 Y=2X+2;()(XE4.161.0183.0175.0161.015,Y=2X+2,)(YE2EX+2=34.8(元)故所收租车费 Y 的均值为3
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 离散型随机变量的均值与方差 教案_高等教育-统计学 离散 随机变量 均值 方差 教案 高等教育 统计学
限制150内