外接球、内切球、棱切球(十五大经典题型)(原卷版)-备战2023年高考数学一轮复习微专题(新高考地区专用).pdf
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1、考 向 2 8 外 接 球、内 切 球、棱 切 球,经 典 题 后 初 经 典 题 型 一:正 方 体、长 方 体 模 型 经 典 题 型 二:正 四 面 体 模 型 经 典 题 型 三:对 棱 相 等 模 型 经 典 题 型 四:直 棱 柱 模 型 经 典 题 型 五:直 棱 锥 模 型 经 典 题 型 六:正 棱 锥 与 侧 棱 相 等 模 型 经 典 题 型 七:侧 棱 为 外 接 球 直 径 模 型 经 典 题 型 八:共 斜 边 拼 接 模 型 经 典 题 型 九:垂 面 模 型 经 典 题 型 十:最 值 模 型 经 典 题 型 十 一:二 面 角 模 型 经 典 题 型 十 二:
2、坐 标 法 模 型 经 典 题 型 十 三:圆 锥 圆 柱 圆 台 模 型 经 典 题 型 十 四:锥 体 内 切 球 经 典 题 型 十 五:棱 切 球(2022全 国 高 考 真 题)已 知 正 四 棱 锥 的 侧 棱 长 为/,其 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上.若 该 球 的 体 积 为 361,且 3 4”3石,则 该 正 四 棱 锥 体 积 的 取 值 范 围 是()【答 案】C【解 析】球 的 体 积 为 36%,所 以 球 的 半 径 R=3.设 正 四 棱 锥 的 底 面 边 长 为 2 a,高 为/7,贝 I J=2/+/7 2,32=2a2+(3-/?)2,所 以
3、 6=尸,2a2=l2-h2所 以 正 四 棱 锥 的 体 积 g”i=九?记/4)二 I2=(#一/6所 以 y=,4/3-g91 61/2 4-Q E当 3 4/4 2 指 时,V 0,当 2 3 百 时,S/3 时,V=,4 4所 以 正 四 棱 锥 的 体 积 V 的 最 小 值 为 2一 7,所 以 该 正 四 棱 锥 体 积 的 取 值 范 围 是 y y.故 选:C.(2022全 国 高 考 真 题)已 知 正 三 棱 台 的 高 为 1,上、下 底 面 边 长 分 别 为 3百 和 4石,其 顶 点 都 在 同 一 球 面 上,则 该 球 的 表 面 积 为()A.IO O T
4、 C B.128K C.144冗 D.192兀【答 案】A【解 析】设 正 三 棱 台 上 卜.底 面 所 在 圆 面 的 半 径 彳,4,所 以 2 4=*-,2,=也 叵 即 4=3透=4,设 球 心 sin 60 sin 60到 上 下 底 面 的 距 离 分 别 为 4 4,球 的 半 径 为 R,所 以 4=V/?2-9,d2=Vz?2-1 6,故 E-囚=1或 4+4=1,即 河 9-改 一 16|=1或 痛 M+元=1,解 得 R?=2 5符 合 题 意,所 以 球 的 表 面 积 为S=4 T C R2=1(X)兀.方 法 技 巧 一:正 方 体、长 方 体 外 接 球 1.正
5、 方 体 的 外 接 球 的 球 心 为 其 体 对 角 线 的 中 点,半 径 为 体 对 角 线 长 的 一 半.2.长 方 体 的 外 接 球 的 球 心 为 其 体 对 角 线 的 中 点,半 径 为 体 对 角 线 长 的 一 半.3.补 成 长 方 体(1)若 三 棱 锥 的 三 条 侧 棱 两 两 互 相 垂 直,则 可 将 其 放 入 某 个 长 方 体 内,如 图 1所 示.(2)若 三 棱 锥 的 四 个 面 均 是 直 角 三 角 形,则 此 时 可 构 造 长 方 体,如 图 2 所 示.(3)正 四 面 体 尸-ABC可 以 补 形 为 正 方 体 且 正 方 体 的
6、 棱 长 PA如 图 3所 示.方 法 技 巧 二:正 四 面 体 外 接 球 如 图,设 正 四 面 体 A B Q 的 的 棱 长 为 将 其 放 入 正 方 体 中,则 正 方 体 的 棱 长 为 也 a,显 然 正 四 面 体 2和 正 方 体 有 相 同 的 外 接 球.正 方 体 外 接 球 半 径 为/?=也。且=必,即 正 四 面 体 外 接 球 半 径 为 R=2 2 4 4AB B方 法 技 巧 三:对 棱 相 等 的 三 棱 锥 外 接 球 四 面 体 A B C D 中,AB=CD=mf A C=BD=n,A D=BC=t,这 种 四 面 体 叫 做 对 棱 相 等 四
7、 面 体,可 以 通 过 构 造 长 方 体 来 解 决 这 类 问 题.4-C2=m2 2 2 2如 图,设 长 方 体 的 长、宽、高 分 别 为 a,b,c,则+c2=2,三 式 相 加 可 得 K+休+七=,a2+b2=t2 2I-)-?2而 显 然 四 面 体 和 长 方 体 有 相 同 的 外 接 球,设 外 接 球 半 径 为 R,则/+加+。2=4F,所 以 R=.方 法 技 巧 四:直 棱 柱 外 接 球 如 图 1,图 2,图 3,直 三 棱 柱 内 接 于 球(同 时 直 棱 柱 也 内 接 于 圆 柱,棱 柱 的 上 下 底 面 可 以 是 任 意 三 角 第 一 步:
8、确 定 球 心。的 位 置,0,是 M B C 的 外 心,则。J平 面 ABCi第 二 步:算 出 小 圆。1的 半 径 H Q=r,OO,=-A4,=-h(A4,=也 是 圆 柱 的 高);第 二 步:勾 股 定 理:OA2=OtA2+OfO2=R。=(厂+r2=R=,解 出 R方 法 技 巧 五:直 棱 锥 外 接 球如 图,平 面 A B C,求 外 接 球 半 径.解 题 步 骤:第 一 步:将 A A 8 C 画 在 小 圆 面 上,A 为 小 圆 直 径 的 一 个 端 点,作 小 圆 的 直 径 A D,连 接 P D,则 P D 必 过 球 心。;第 二 步:。1为 A A
9、B C 的 外 心,所 以 平 面 他 C,算 出 小 圆。1的 半 径 日。=/(三 角 形 的 外 接 圆 直 径 算 法:利 用 正 弦 定 理,得,_=_ 9 _=_ J=2r),OOX=-PA-,sin A sin B sinC 2第 三 步:利 用 勾 股 定 理 求 三 棱 锥 的 外 接 球 半 径:(2R)2=PA?+(2r)2 o 2R=JP/V+(2)2;R2=r+oo:。R=,产+o o:.方 法 技 巧 六:正 棱 锥 与 侧 棱 相 等 模 型 1.正 棱 锥 外 接 球 半 径:R=.2.侧 棱 相 等 模 型:如 图,P 的 射 影 是 A A B C 的 外
10、心。三 棱 锥 P-A B C 的 三 条 侧 棱 相 等=三 棱 锥 P-A B C 的 底 面 AABC在 圆 锥 的 底 上,顶 点 P 点 也 是 圆 锥 的 顶 点.解 题 步 骤:第 一 步:确 定 球 心。的 位 置,取 AA8C的 外 心,则 尸,。,Q 三 点 共 线;第 二 步:先 算 出 小 圆。1的 半 径 4 9 1=r,再 算 出 棱 锥 的 高(也 是 圆 锥 的 高);尸+h2第 三 步:勾 股 定 理:。42=0汗+。2=7?2=(72-穴)2+产,解 出 R=Z _ _2h方 法 技 巧 七:侧 棱 为 外 接 球 直 径 模 型 方 法:找 球 心,然 后
11、 作 底 面 的 垂 线,构 造 直 角 三 角 形.方 法 技 巧 八:共 斜 边 拼 接 模 型 如 图,在 四 面 体 A BC 中,AB1.AD,C B L C D,此 四 面 体 可 以 看 成 是 由 两 个 共 斜 边 的 直 角 三 角 形 拼 接 而 形 成 的,8。为 公 共 的 斜 边,故 以“共 斜 边 拼 接 模 型 命 名 之.设 点。为 公 共 斜 边 比 的 中 点,根 据 直 角 三 角 形 斜 边 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 的 结 论 可 知,OA=O C=O B=O D,即 点。到 A,B,C,。四 点 的 距 离 相 等,故 点。就 是 四 面
12、 体 外 接 球 的 球 心,公 共 的 斜 边 即 就 是 外 接 球 的 一 条 直 径.方 法 技 巧 九:垂 面 模 型 如 图 1所 示 为 四 面 体 尸-A B C,已 知 平 面 平 面 A B C,其 外 接 球 问 题 的 步 骤 如 下:(1)找 出 E 48和 AMBC的 外 接 圆 圆 心,分 别 记 为。|和。厂(2)分 别 过 01和 0?作 平 面 和 平 面 4 5 C的 垂 线,其 交 点 为 球 心,记 为。.(3)过 01作 钻 的 垂 线,垂 足 记 为。,连 接。2。,则(4)在 四 棱 锥 A-OQOO?中,垂 直 于 平 面。10。”如 图 2
13、所 示,底 面 四 边 形。O Q Q的 四 个 顶 点 共 圆 且。为 该 圆 的 直 径.图 1 图 2方 法 技 巧 十:最 值 模 型 这 类 问 题 是 综 合 性 问 题,方 法 较 多,常 见 方 法 有:导 数 法,基 本 不 等 式 法,观 察 法 等 方 法 技 巧 十 一:二 面 角 模 型 如 图 1所 示 为 四 面 体 P-A B C,己 知 二 面 角 P-A B-C 大 小 为 a,其 外 接 球 问 题 的 步 骤 如 下:(1)找 出 和 ABC的 外 接 圆 圆 心,分 别 记 为 01和 0?.(2)分 别 过。和 0?作 平 面 P43和 平 面 的
14、垂 线,其 交 点 为 球 心,记 为。.(3)过 01作 A 3的 垂 线,垂 足 记 为。,连 接 0?。,则 Q O L A B.(4)在 四 棱 锥 A-O q。2中,垂 直 于 平 面。a。?,如 图 2 所 示,底 面 四 边 形 的 四 个 顶 点 共 圆 且 O D为 该 圆 的 直 径.方 法 技 巧 十 二:坐 标 法 对 于 一 般 多 面 体 的 外 接 球,可 以 建 立 空 间 直 角 坐 标 系,设 球 心 坐 标 为 O(x,y,z),利 用 球 心 到 各 顶 点 的 距 离 相 等 建 立 方 程 组,解 出 球 心 坐 标,从 而 得 到 球 的 半 径
15、长.坐 标 的 引 入,使 外 接 球 问 题 的 求 解 从 繁 琐 的 定 理 推 论 中 解 脱 出 来,转 化 为 向 量 的 计 算,大 大 降 低 了 解 题 的 难 度.方 法 技 巧 十 三:圆 锥 圆 柱 圆 台 模 型 1.球 内 接 圆 锥 如 图 1,设 圆 锥 的 高 为 6,底 面 圆 半 径 为 厂,球 的 半 径 为 R.通 常 在 OC8中,由 勾 股 定 理 建 立 方 程 来 计 算/?.如 图 2,当 PC C B时,球 心 在 圆 锥 内 部;如 图 3,当 PC CB时,球 心 在 圆 锥 外 部.和 本 专 题 前 面 的 内 接 正 四 棱 锥
16、问 题 情 形 相 同,图 2 和 图 3 两 种 情 况 建 立 的 方 程 是 一 样 的,故 无 需 提 前 判 断.由 图 2、图 3可 知,O C=h-R 或 R-h,故 S-R-+,=於,所 以/?=-.2hP图 12.球 内 接 圆 柱 如 图,圆 柱 的 底 面 圆 半 径 为 rP P图 2 图 3h高 为 人 其 外 接 球 的 半 径 为 R,三 者 之 间 满 足 q)+=店.3.球 内 接 圆 台 店=方+4 4,其 中 4历,才 分 别 为 圆 台 的 上 底 面、V 2h)方 法 技 巧 十 四:锥 体 内 切 球 方 法:等 体 积 法,即 R=?返 s表 面
17、积 方 法 技 巧 十 五:棱 切 球 方 法:找 切 点,找 球 心,构 造 直 角 三 角 形 1经 典 题 型 装 1JU9下 底 面、高.经 典 题 型 一:正 方 体、长 方 体 模 型 1.(2022 贵 州 黔 南 高 三 开 学 考 试(理)自 2015年 以 来,贵 阳 市 着 力 建 设“千 园 之 城”,构 建 贴 近 生 活、服 务 群 众 的 生 态 公 园 体 系,着 力 将“城 市 中 的 公 园”升 级 为“公 园 中 的 城 市 截 至 目 前,贵 阳 市 公 园 数 量 累 计 达 到 1025个.下 图 为 贵 阳 市 某 公 园 供 游 人 休 息 的
18、石 凳,它 可 以 看 做 是 一 个 正 方 体 截 去 八 个 一 样 的 四 面 体 得 到 的,如 果 被 截 正 方 体 的 的 棱 长 为 2 0&c m,则 石 凳 所 对 应 几 何 体 的 外 接 球 的 表 面 积 为 cm2.2.(2022 四 川 省 巴 中 中 学 模 拟 预 测(文)在 三 棱 锥 A-8 C O 中,平 面 A3C,BD=2,AB=2点,AC=BC=2 5 则 三 棱 锥 A-B C D 的 外 接 球 的 体 积 为 3.(多 选 题)(2022 江 苏 高 三 开 学 考 试)在 棱 长 为 2 的 正 方 体 中,点 M,N 分 别 是 棱
19、A Q,A 3 的 中 点,则()A.异 面 直 线 A 3 与 A C 所 成 角 的 余 弦 值 为:B.M J L R NC.四 面 体 CA4 A 的 外 接 球 体 积 为 4拓 万 D.平 面 M N C 截 正 方 体 所 得 的 截 面 是 四 边 形 经 典 题 型 二:正 四 面 体 模 型 4.(2022 江 苏 南 京 高 三 开 学 考 试)已 知 一 个 正 四 面 体 的 棱 长 为 2,则 其 外 接 球 与 以 其 一 个 顶 点 为 球 心,1为 半 径 的 球 面 所 形 成 的 交 线 的 长 度 为.5.(多 选 题)(2022 全 国 高 三 专 题
20、 练 习)已 知 正 四 面 体 的 外 接 球、内 切 球 的 球 面 上 各 有 一 动 点 M、N,若 线 段 的 最 小 值 为 木,则()A.正 四 面 体 的 棱 长 为 6 B.正 四 面 体 的 内 切 球 的 表 面 积 为 6万 C.正 四 面 体 的 外 接 球 的 体 积 为 8 乃 D.线 段 M N 的 最 大 值 为 2#6.(多 选 题)(2022 山 东 济 南 模 拟 预 测)在 正 四 面 体 ABC。中,若 AB=O,则 下 列 说 法 正 确 的 是()A.该 四 面 体 外 接 球 的 表 面 积 为 3万B.直 线 A 3与 平 面 BCD所 成
21、角 的 正 弦 值 为 电 3C.如 果 点 M 在。上,则 AA/+8 M 的 最 小 值 为 D.过 线 段 A 3一 个 三 等 分 点 且 与 A 3垂 直 的 平 面 截 该 四 面 体 所 得 截 面 的 周 长 为 也 坦 137.(2022 湖 北 高 三 阶 段 练 习)有 一 个 棱 长 为 6 的 正 四 面 体,其 中 有 一 半 径 为 正 的 球 自 由 运 动,正 四 面 4体 内 未 被 球 扫 过 的 体 积 为 经 典 题 型 三:对 棱 相 等 模 型 8.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)如 图,在 三 棱 锥 中,PA=BC=6 PB=A C
22、=2,PC=AB=SA.ypZTT B.6 兀 C.瓜 兀 D.6万 9.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)在 三 棱 锥 尸 一 ABC中,PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=则 三 棱 锥 P-A B C的 外 接 球 的 表 面 积 为()A.26兀 B.12K C.8 7 t D.24n1 0.(多 选 题)(2022 辽 宁 朝 阳 高 三 阶 段 练 习)在 三 棱 锥 A-B C D中,AB=CD=g,4。=座=4。=3。=石,则()A.A B L C DB.三 棱 锥 A-8 8 的 体 积 为 与 C.三 棱 锥 A-B C D外 接 球 半 径 为 布 D
23、.异 面 直 线 A。与 8 c 所 成 角 的 余 弦 值 为:11.(2022 河 南 商 丘 市 第 一 高 级 中 学 高 三 开 学 考 试(文)在 三 棱 锥 尸 一 ABC中,必=B C=5,PB=CA=岳,PC=BA=2石,则 三 棱 锥 P ABC的 外 接 球 的 表 面 积 为()A.12 兀 B.8兀 C.24TI D.2971经 典 题 型 四:直 棱 柱 模 型 12.(2022 江 西 省 抚 州 市 第 一 中 学 高 三 阶 段 练 习(文)设 三 棱 柱 A B C-的 侧 棱 垂 直 于 底 面,AB=AC=2 B A C=20,蝴=3后,且 三 棱 柱
24、的 所 有 顶 点 都 在 同 一 球 面 上,则 该 球 的 表 面 积 是 13.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)球 内 接 直 三 棱 柱 A B C-A耳 G,A8=AC=1,/8AC=12()O,AA=2,则 球 表 面 积 为.经 典 题 型 五:直 棱 锥 模 型 14.(2022 福 建 省 福 州 屏 东 中 学 高 三 开 学 考 试)如 图 所 示 的 三 棱 锥-A B C中,PA_L平 面 ABC,ABLBC,PA=AB=B C 3,则 该 三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为.15.(2022 湖 北 高 三 开 学 考 试)在 三 棱 锥 尸
25、-ABC中,PA_L底 面 ABC,PA=4,AB=A C=BC=2a,用 为 H C的 中 点,球。为 三 棱 锥 P-A 8的 外 接 球,。是 球。上 任 一 点,若 三 棱 锥。-2 4C体 积 的 最 大 值 是 4 6,则 球。的 体 积 为.16.(2022 浙 江 慈 溪 中 学 高 三 开 学 考 试)九 章 算 术.商 功 中,将 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 的 四 面 体 成 为 鳖 腌.在 鳖 席 A8CD中,A 3,平 面 5 c。,BC A.CD,且 AB=1,BC=2,CD=3,则 四 面 体 A8CZ)外 接 球 的 表 面 积 为()14兀 A.-
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