2023年高一数学函数知识点及例题高一数学函数知识点归纳总结(八篇).docx
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1、 2023年高一数学函数知识点及例题高一数学函数知识点归纳总结(八篇) 1、函数:设a、b为非空集合,假如根据某个特定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:ab为从集合a到集合b的一个函数,写作y=f(x),xa,其中,x叫做自变量,x的取值范围a叫做函数的定义域,与x相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合b=f(x)xa 叫做函数的值域。 2、函数定义域的解题思路: 若x处于分母位置,则分母x不能为0。 偶次方根的被开方数不小于0。 对数式的真数必需大于0。 指数对数式的底,不得为1,且必需大于0。 指数为0时,底数不得为0。 假
2、如函数是由一些根本函数通过四则运算结合而成的,那么,它的定义域是各个局部都有意义的x值组成的集合。 实际问题中的函数的定义域还要保证明际问题有意义。 3、一样函数 表达式一样:与表示自变量和函数值的字母无关。 定义域全都,对应法则全都。 4、函数值域的求法 观看法:适用于初等函数及一些简洁的由初等函数通过四则运算得到的函数。 图像法:适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。 配方法:主要用于二次函数,配方成y=(x-a)2+b的形式。 代换法:主要用于由已知值域的函数推想未知函数的值域。 5、函数图像的变换 平移变换:在x轴上的变换在x上就行加减,在y轴上的变换在y上进展加减。 伸缩变换:在
3、x前加上系数。 对称变换:高中阶段不作要求。 6、映射:设a、b是两个非空集合,假如按某一个确定的对应法则f,使对于a中的任意仪的元素x,在集合b中都有唯一确实定的y与之对应,那么就称对应f:ab为从集合a到集合b的映射。 集合a中的每一个元素,在集合b中都有象,并且象是唯一的。 集合a中的不同元素,在集合b中对应的象可以是同一个。 不要求集合b中的每一个元素在集合a中都有原象。 7、分段函数 在定义域的不同局部上有不同的解析式表达式。 各局部自变量和函数值的取值范围不同。 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集。 8、复合函数:假如(um),u=g(x) (xa),则,y=
4、fg(x)=f(x) (xa),称为f、g的复合函数。 1、函数的局部性质单调性 设函数y=f(x)的定义域为i,假如对应定义域i内的某个区间d内的任意两个变量x1、x2,当x1 x2时,都有f(x1)f(x2),那么那么y=f(x)在区间d上是减函数,d是函数y=f(x)的单调递减区间。 函数区间单调性的推断思路 在给出区间内任取x1、x2,则x1、x2d,且x1 x2。 做差值f(x1)-f(x2),并进展变形和配方,变为易于推断正负的形式。 推断变形后的表达式f(x1)-f(x2)的符号,指出单调性。 复合函数的单调性 复合函数y=fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u
5、)的单调性亲密相关,其规律为“同增异减”;多个函数的复合函数,依据原则“减偶则增,减奇则减”。 留意事项 函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性一样的区间和在一起写成并集,假如函数在区间a和b上都递增,则表示为f(x)的单调递增区间为a和b,不能表示为ab。 2、函数的整体性质奇偶性 对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x) =f(-x),则f(x)就为偶函数; 对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x) =-f(x),则f(x)就为奇函数。 奇函数和偶函数的性质 无论函数是奇函数还是偶函数,只要函数具有奇偶性,该函数的定义域肯定关于原点对称。 奇函数的图像关于原
6、点对称,偶函数的图像关于y轴对称。 函数奇偶性推断思路 先确定函数的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则为非奇非偶函数。 确定f(x)和f(-x)的关系: 若f(x) -f(-x)=0,或f(x) /f(-x)=1,则函数为偶函数; 若f(x)+f(-x)=0,或f(x)/ f(-x)=-1,则函数为奇函数。 3、函数的最值问题 对于二次函数,利用配方法,将函数化为y=(x-a)2+b的形式,得出函数的最大值或最小值。 对于易于画出函数图像的函数,画出图像,从图像中观看最值。 关于二次函数在闭区间的最值问题 推断二次函数的顶点是否在所求区间内,若在区间内,则接,若不在区间内,则接。 若
7、二次函数的顶点在所求区间内,则在二次函数y=ax2+bx+c中,a0时,顶点为最小值,a0时顶点为最大值;后推断区间的两端点距离顶点的远近,离顶点远的端点的函数值,即为a0时的最大值或a0时的最小值。 若二次函数的顶点不在所求区间内,则推断函数在该区间的单调性 若函数在a,b上递增,则最小值为f(a),最大值为f(b); 若函数在a,b上递减,则最小值为f(b),最大值为f(a)。 高中 高一数学函数学问点及例题 高一数学函数学问点归纳总结篇二 i、定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a0,且a打算函数的开口方向,a0时,开
8、口方向向上,a0时,开口方向向下,iai还可以打算开口大小,iai越大开口就越小,iai越小开口就越大、) 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 ii、二次函数的三种表达式 一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0) 顶点式:y=a(x-h)2+k抛物线的顶点p(h,k) 交点式:y=a(x-x?)(x-x?)仅限于与x轴有交点a(x?,0)和b(x?,0)的抛物线 注:在3种形式的相互转化中,有如下关系: h=-b/2ak=(4ac-b2)/4ax?,x?=(-bb2-4ac)/2a iii、二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像,
9、 可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。 iv、抛物线的性质 1、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x=-b/2a。 对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点p。 特殊地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2、抛物线有一个顶点p,坐标为 p(-b/2a,(4ac-b2)/4a) 当-b/2a=0时,p在y轴上;当=b2-4ac=0时,p在x轴上。 3、二次项系数a打算抛物线的开口方向和大小。 当a0时,抛物线向上开口;当a0时,抛物线向下开口。 |a|越大,则抛物线的开口越小。 4、一次项系数b和二次项系数a共同打算对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab0),对称轴在y轴左; 当a与
10、b异号时(即ab0),对称轴在y轴右。 5、常数项c打算抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0,c) 6、抛物线与x轴交点个数 =b2-4ac0时,抛物线与x轴有2个交点。 =b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 =b2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点。x的取值是虚数(x=-bb2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a) 高一数学函数学问点及例题 高一数学函数学问点归纳总结篇三 (1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x) ; (2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则 f(0)=0(可用于求参数); (3)推断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)f(-x)=
11、0或 (f(x)0); (4)若所给函数的解析式较为简单,应先化简,再推断其奇偶性; (5)奇函数在对称的单调区间内有一样的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性; (1)复合函数定义域求法:若已知 的定义域为a,b,其复合函数fg(x)的定义域由不等式ag(x)b解出即可;若已知fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域,相当于xa,b时,求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);讨论函数的问题肯定要留意定义域优先的原则。 (2)复合函数的单调性由“同增异减”判定; (1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明图像c1与c
12、2的对称性,即证明c1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在c2上,反之亦然; (3)曲线c1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线c2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0); (4)曲线c1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线c2方程为:f(2a-x,2b-y)=0; (5)若函数y=f(x)对xr时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称; (6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称; (1)y=f(x)对xr时,f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x)
13、 (a0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数; (2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2a的周期函数; (3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4a的周期函数; (4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2 的周期函数; (5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(ab)对称,则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数; (6)y=f(x)对xr时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ,则y=f(x)是周期为2 的周期函数; af(x) 恒成立 af(x)max,; af(
14、x) 恒成立 af(x)min; (1) (a0,a1,b0,nr+); (2) l og a n= ( a0,a1,b0,b1); (3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a n= n ( a0,a1,n0 ); (1)a中元素必需都有象且唯一; (2)b中元素不肯定都有原象,并且a中不同元素在b中可以有一样的象; 7. 能娴熟地用定义证明函数的单调性,求反函数,推断函数的奇偶性。 8.对于反函数,应把握以下一些结论: (1)定义域上的单调函数必有反函数; (2)奇函数的反函数也是奇函数; (3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数; (4)周期函数不存
15、在反函数; (5)互为反函数的两个函数具有一样的单调性; (6) y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数,设f(x)的定义域为a,值域为b,则有ff-1(x)=x(xb),f-1f(x)=x(xa); 9.处理二次函数的问题勿忘数形结合 二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系; 10 依据单调性 利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题; 11 恒成立问题的处理方法: (1)分别参数法; (2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解; 练习题: 1 (3,4)关于x轴对称的点的坐标为_,关于y轴对称的点的坐标
16、为_, 关于原点对称的坐标为_. 2 点b(5,2)到x轴的距离是_,到y轴的距离是_,到原点的距离是_ 3 以点(3,0)为圆心,半径为5的圆与x轴交点坐标为_, 与y轴交点坐标为_ 4 点p(a3,5a)在第一象限内,则a的取值范围是_ 5 小华用500元去购置单价为3元的一种商品,剩余的钱y(元)与购置这种商品的件数x(件) 之间的函数关系是_,x的取值范围是_ 6 函数y= 的自变量x的取值范围是_ 7 当a=_时,函数y=x 是正比例函数 8 函数y=2x4的图象经过_象限,它与两坐标轴围成的三角形面积为_, 周长为_ 9 一次函数y=kxb的图象经过点(1,5),交y轴于3,则k=
17、_,b=_ 10若点(m,m3)在函数y= x2的图象上,则m=_ 11 y与3x成正比例,当x=8时,y=12,则y与x的函数解析式为_ 12函数y= x的图象是一条过原点及(2,_ )的直线,这条直线经过第_象限, 当x增大时,y随之_ 13.函数y=2x4,当x_,y0,b0,b0; c、k 高一数学函数学问点及例题 高一数学函数学问点归纳总结篇四 高一数学函数学问点归纳 1、函数:设a、b为非空集合,假如根据某个特定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:ab为从集合a到集合b的一个函数,写作y=f(x),xa,其中,x叫做自
18、变量,x的取值范围a叫做函数的定义域,与x相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合b=f(x)xa 叫做函数的值域。 2、函数定义域的解题思路: 若x处于分母位置,则分母x不能为0。 偶次方根的被开方数不小于0。 对数式的真数必需大于0。 指数对数式的底,不得为1,且必需大于0。 指数为0时,底数不得为0。 假如函数是由一些根本函数通过四则运算结合而成的,那么,它的定义域是各个局部都有意义的x值组成的集合。 实际问题中的函数的定义域还要保证明际问题有意义。 3、一样函数 表达式一样:与表示自变量和函数值的字母无关。 定义域全都,对应法则全都。 4、函数值域的求法 观看法:适用于初等函数及一些简洁
19、的由初等函数通过四则运算得到的函数。 图像法:适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。 配方法:主要用于二次函数,配方成y=(x-a)2+b的形式。 代换法:主要用于由已知值域的函数推想未知函数的值域。 5、函数图像的变换 平移变换:在x轴上的变换在x上就行加减,在y轴上的变换在y上进展加减。 伸缩变换:在x前加上系数。 对称变换:高中阶段不作要求。 6、映射:设a、b是两个非空集合,假如按某一个确定的对应法则f,使对于a中的任意仪的元素x,在集合b中都有唯一确实定的y与之对应,那么就称对应f:ab为从集合a到集合b的映射。 集合a中的每一个元素,在集合b中都有象,并且象是唯一的。 集合a中
20、的不同元素,在集合b中对应的象可以是同一个。 不要求集合b中的每一个元素在集合a中都有原象。 7、分段函数 在定义域的不同局部上有不同的解析式表达式。 各局部自变量和函数值的取值范围不同。 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集。 8、复合函数:假如(um),u=g(x) (xa),则,y=fg(x)=f(x) (xa),称为f、g的复合函数。 空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类: (1)共面:平行、相交 (2)异面: 异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与
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