2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版).pdf
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1、第 1 页(共 2 9 页)2 0 1 7 年全 国统 一高 考数 学试 卷(理科)(新 课标)一、选 择 题:本 题 共 1 2 小 题,每 小 题 5 分,共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项中,只 有一项 是符 合题目 要求的。1(5 分)=()A 1+2 i B 1 2 i C 2+i D 2 i2(5 分)设集合 A=1,2,4,B=x|x24 x+m=0 若 A B=1,则 B=()A 1,3 B 1,0 C 1,3 D 1,5 3(5 分)我 国古 代数 学名 著 算 法统 宗 中有 如下 问题:“远 看巍 巍塔 七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头
2、几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 3 8 1 盏灯,且 相邻两层中的下 一层灯数是上 一层灯数的 2 倍,则塔 的顶层共有灯()A 1 盏 B 3 盏 C 5 盏 D 9 盏4(5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体 由一平面 将一圆柱 截去一部分 后所得,则该几何 体的体积为()A 9 0 B 6 3 C 4 2 D 3 6 5(5 分)设 x,y 满足约束条件,则 z=2 x+y 的最小值是()A 1 5 B 9 C 1 D 9第 2 页(共 2 9 页)6(5 分)安 排 3 名 志 愿 者 完 成 4 项 工 作,每 人 至 少 完
3、成 1 项,每 项 工 作 由 1人完成,则不同的安排方式共有()A 1 2 种 B 1 8 种 C 2 4 种 D 3 6 种7(5 分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩 老师说:你 们 四 人 中 有 2 位 优 秀,2 位 良 好,我 现 在 给 甲 看 乙、丙 的 成 绩,给 乙 看 丙的成绩,给丁看 甲的成绩 看后甲 对大家说:我还是不 知道我的 成绩根据以上信息,则()A 乙可以知道四人的成绩 B 丁可以知道四人的成绩C 乙、丁可以知道对方的成绩 D 乙、丁可以知道自己的成绩8(5 分)执行如图的程序框图,如果输入的 a=1,则输出的 S=()A 2 B 3 C
4、 4 D 59(5 分)若双 曲线 C:=1(a 0,b 0)的 一条 渐近 线被圆(x 2)2+y2=4 所截得的弦长为 2,则 C 的离心率为()第 3 页(共 2 9 页)A 2 B C D 1 0(5 分)已 知 直 三 棱 柱 A B C A1B1C1中,A B C=1 2 0,A B=2,B C=C C1=1,则异面直线 A B1与 B C1所成角的余弦值为()A B C D 1 1(5 分)若 x=2 是 函数 f(x)=(x2+a x 1)ex1的 极值 点,则 f(x)的极小值为()A 1 B 2 e3C 5 e3D 11 2(5 分)已知A B C 是边长为 2 的等边三角
5、形,P 为平面 A B C 内一点,则(+)的最小值是()A 2 B C D 1二、填空 题:本 题共 4 小题,每 小题 5 分,共 2 0 分。1 3(5 分)一批产品 的二等品 率为 0.0 2,从 这批产品 中每次随 机取一件,有放回地抽取 1 0 0 次X 表示抽到的二等品件数,则 D X=1 4(5 分)函数 f(x)=s i n2x+c o s x(x 0,)的最大值是 1 5(5 分)等差数列an的前 n 项和为 Sn,a3=3,S4=1 0,则=1 6(5 分)已知 F 是抛物线 C:y2=8 x 的焦点,M 是 C 上一点,F M 的延长线交y 轴于点 N 若 M 为 F
6、N 的中点,则|F N|=三、解 答 题:共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 第 1 7 2 1 题 为 必 考 题,每 个 试题 考 生 都 必 须 作 答 第 2 2、2 3 题 为 选 考 题,考 生 根据要 求作 答(一)必 考题:共 6 0 分。1 7(1 2 分)A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 s i n(A+C)=8 s i n2(1)求 c o s B;(2)若 a+c=6,A B C 的面积为 2,求 b 第 4 页(共 2 9 页)1 8(1 2 分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方
7、法的产量对比,收获时各随机抽取了 1 0 0 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:k g),其频率分布直方图如图:(1)设 两 种 养 殖 方 法 的 箱 产 量 相 互 独 立,记 A 表 示 事 件“旧 养 殖 法 的 箱 产 量 低于 5 0 k g,新养殖法的箱产量不低于 5 0 k g”,估计 A 的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 9 9%的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量5 0 k g 箱产量5 0 k g旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到 0.0 1)附:P(K2k)0.0 5 0 0.0 1 0 0
8、.0 0 1k 3.8 4 1 6.6 3 5 1 0.8 2 8K2=第 5 页(共 2 9 页)1 9(1 2 分)如图,四棱锥 P A B C D 中,侧面 P A D 为等边三角形且垂直于底面A B C D,A B=B C=A D,B A D=A B C=9 0,E 是 P D 的中点(1)证明:直线 C E 平面 P A B;(2)点 M 在棱 P C 上,且直线 B M 与底面 A B C D 所成角为 4 5,求二面角 M A BD 的余弦值2 0(1 2 分)设 O 为坐 标原 点,动 点 M 在椭 圆 C:+y2=1 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足=(
9、1)求点 P 的轨迹方程;(2)设点 Q 在直线 x=3 上,且=1 证明:过点 P 且垂直于 O Q 的直线l 过 C 的左焦点 F 第 6 页(共 2 9 页)2 1(1 2 分)已知函数 f(x)=a x2a x x l n x,且 f(x)0(1)求 a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点 x0,且 e2f(x0)22(二)选 考 题:共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做,则按 所做 的第一 题计 分。选修 4-4:坐 标系 与参数 方程(1 0 分)2 2(1 0 分)在直角坐标系 x O y 中,以坐标原点为极点,x
10、 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1的极坐标方程为 c o s=4(1)M 为曲线 C1上的动点,点 P 在线段 O M 上,且满足|O M|O P|=1 6,求点P 的轨迹 C2的直角坐标方程;(2)设点 A 的极坐标为(2,),点 B 在曲线 C2上,求O A B 面积的最大值选修 4-5:不 等式 选讲(1 0 分)2 3 已知 a 0,b 0,a3+b3=2 证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b 2 第 7 页(共 2 9 页)2 0 1 7 年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷(理 科)(新 课 标)参 考 答 案 与 试 题 解 析一、选 择 题:本 题
11、 共 1 2 小 题,每 小 题 5 分,共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项中,只 有一项 是符 合题目 要求的。1(5 分)=()A 1+2 i B 1 2 i C 2+i D 2 i【考点】A 5:复数的运算菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1:计算题【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再利用虚数单位 i 的幂运算性质,求出结果【解答】解:=2 i,故选:D【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数2(5 分)设集合 A=1,2,4,B=x|x24 x+m=0 若 A B=1,则 B=
12、()A 1,3 B 1,0 C 1,3 D 1,5【考点】1 E:交集及其运算菁 优 网 版 权 所 有【专题】3 4:方程思想;4 O:定义法;5 J:集合【分析】由 交集 的定 义可 得 1 A 且 1 B,代入 二次 方程,求 得 m,再解 二次 方程可得集合 B【解答】解:集合 A=1,2,4,B=x|x24 x+m=0 若 A B=1,则 1 A 且 1 B,可得 1 4+m=0,解得 m=3,第 8 页(共 2 9 页)即有 B=x|x24 x+3=0=1,3 故选:C【点评】本题考查集合的运算,主要是交集的求法,同时考查二次方程的解法,运用定义法是解题的关键,属于基础题3(5 分
13、)我 国古 代数 学名 著 算 法统 宗 中有 如下 问题:“远 看巍 巍塔 七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 3 8 1 盏灯,且 相邻两层中的下 一层灯数是上 一层灯数的 2 倍,则塔 的顶层共有灯()A 1 盏 B 3 盏 C 5 盏 D 9 盏【考点】8 9:等比数列的前 n 项和菁 优 网 版 权 所 有【专题】3 4:方程思想;4 O:定义法;5 4:等差数列与等比数列【分 析】设 塔 顶 的 a1盏 灯,由 题 意 an 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列,利 用 等 比 数 列前 n 项和公式列出方程,能求出结果【解答】解
14、:设塔顶的 a1盏灯,由题意an是公比为 2 的等比数列,S7=3 8 1,解得 a1=3 故选:B【点 评】本 题 考 查 等 比 数 列 的 首 项 的 求 法,是 基 础 题,解 题 时 要 认 真 审 题,注意等比数列的性质的合理运用4(5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体 由一平面 将一圆柱 截去一部分 后所得,则该几何 体的体积为()第 9 页(共 2 9 页)A 9 0 B 6 3 C 4 2 D 3 6【考点】L!:由三视图求面积、体积菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1:计算题;3 1:数形结合;4 4:数形结合法;5 Q:
15、立体几何【分 析】由 三 视 图 可 得,直 观 图 为 一 个 完 整 的 圆 柱 减 去 一 个 高 为 6 的 圆 柱 的 一半,即可求出几何体的体积【解 答】解:由 三 视 图 可 得,直 观 图 为 一 个 完 整 的 圆 柱 减 去 一 个 高 为 6 的 圆 柱的一半,V=32 1 0 326=6 3,故选:B【点评】本题考查了体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题5(5 分)设 x,y 满足约束条件,则 z=2 x+y 的最小值是()第 1 0 页(共 2 9 页)A 1 5 B 9 C 1 D 9【考点】7 C:简单线性规划菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1
16、:计算题;3 1:数形结合;3 5:转化思想;5 T:不等式【分 析】画 出 约 束 条 件 的 可 行 域,利 用 目 标 函 数 的 最 优 解 求 解 目 标 函 数 的 最 小值即可【解答】解:x、y 满足约束条件 的可行域如图:z=2 x+y 经过可行域的 A 时,目标函数取得最小值,由 解得 A(6,3),则 z=2 x+y 的最小值是:1 5 故选:A【点评】本题考查线性规划的简单应用,考查数形结合以及计算能力6(5 分)安 排 3 名 志 愿 者 完 成 4 项 工 作,每 人 至 少 完 成 1 项,每 项 工 作 由 1人完成,则不同的安排方式共有()A 1 2 种 B 1
17、 8 种 C 2 4 种 D 3 6 种【考点】D 9:排列、组合及简单计数问题菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1:计算题;4 9:综合法;5 O:排列组合【分析】把工作分成 3 组,然后安排工作方式即可【解答】解:4 项工作分成 3 组,可得:=6,安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,第 1 1 页(共 2 9 页)可得:6=3 6 种故选:D【点 评】本 题 考 查 排 列 组 合 的 实 际 应 用,注 意 分 组 方 法 以 及 排 列 方 法 的 区 别,考查计算能力7(5 分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩
18、老师说:你 们 四 人 中 有 2 位 优 秀,2 位 良 好,我 现 在 给 甲 看 乙、丙 的 成 绩,给 乙 看 丙的成绩,给丁看 甲的成绩 看后甲 对大家说:我还是不 知道我的 成绩根据以上信息,则()A 乙可以知道四人的成绩 B 丁可以知道四人的成绩C 乙、丁可以知道对方的成绩 D 乙、丁可以知道自己的成绩【考点】F 4:进行简单的合情推理 菁 优 网 版 权 所 有【专题】2 A:探究型;3 5:转化思想;4 8:分析法;5 M:推理和证明【分 析】根 据 四 人 所 知 只 有 自 己 看 到,老 师 所 说 及 最 后 甲 说 话,继 而 可 以 推 出正确答案【解答】解:四人
19、所知只有自己看到,老师所说及最后甲说话,甲不知自己的成绩 乙丙必有一优一良,(若为两优,甲会知道自己的成绩;若是两良,甲也会知道自己的成绩)乙看到了丙的成绩,知自己的成绩 丁看到甲、丁也为一优一良,丁知自己的成绩,给甲看乙丙成绩,甲不知道自已的成绩,说明乙丙一优一良,假定乙丙都是优,则甲是 良,假定 乙丙都是 良,则甲 是优,那么 甲就知道 自已的成 绩了给乙看丙成 绩,乙没 有说不知 道自已的 成绩,假定 丙是优,则乙是良,乙就知道自己成 绩给丁 看甲成绩,因为甲 不知道自己 成绩,乙 丙是一优 一良,则甲丁也是 一优一良,丁看到 甲成绩,假定甲是优,则丁是 良,丁肯 定知道自已的成绩了故选
20、:D 第 1 2 页(共 2 9 页)【点 评】本 题 考 查 了 合 情 推 理 的 问 题,关 键 掌 握 四 人 所 知 只 有 自 己 看 到,老 师所说及最后甲说话,属于中档题8(5 分)执行如图的程序框图,如果输入的 a=1,则输出的 S=()A 2 B 3 C 4 D 5【考点】E F:程序框图菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1:计算题;2 7:图表型;4 B:试验法;5 K:算法和程序框图【分析】执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,K 值,当 K=7 时,程序终止即可得到结论【解答】解:执行程序框图,有 S=0,K=1,a=1,代入循环,第一次满足循环,S=1,a=
21、1,K=2;满足条件,第二次满足循环,S=1,a=1,K=3;满足条件,第三次满足循环,S=2,a=1,K=4;第 1 3 页(共 2 9 页)满足条件,第四次满足循环,S=2,a=1,K=5;满足条件,第五次满足循环,S=3,a=1,K=6;满足条件,第六次满足循环,S=3,a=1,K=7;K 6 不成立,退出循环输出 S 的值为 3 故选:B【点评】本题主要考查了程序框图和算法,属于基本知识的考查,比较基础9(5 分)若双 曲线 C:=1(a 0,b 0)的 一条 渐近 线被圆(x 2)2+y2=4 所截得的弦长为 2,则 C 的离心率为()A 2 B C D【考点】K C:双曲线的性质;
22、K J:圆与圆锥曲线的综合菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1:计算 题;3 5:转化 思 想;4 9:综合 法;5 D:圆锥 曲 线的 定 义、性质与方程【分 析】通 过 圆 的 圆 心 与 双 曲 线 的 渐 近 线 的 距 离,列 出 关 系 式,然 后 求 解 双 曲线的离心率即可【解答】解:双曲线 C:=1(a 0,b 0)的一条渐近线不妨为:b x+a y=0,圆(x 2)2+y2=4 的圆心(2,0),半径为:2,双曲线 C:=1(a 0,b 0)的一 条渐近线被圆(x 2)2+y2=4 所截得的弦长为 2,可得圆心到直线的距离为:=,解得:,可得 e2=4,即 e=2 故选
23、:A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,圆的方程的应用,考查计算能力第 1 4 页(共 2 9 页)1 0(5 分)已 知 直 三 棱 柱 A B C A1B1C1中,A B C=1 2 0,A B=2,B C=C C1=1,则异面直线 A B1与 B C1所成角的余弦值为()A B C D【考点】L M:异面直线及其所成的角 菁 优 网 版 权 所 有【专题】3 1:数形结合;4 O:定义法;5 G:空间角【分析】【解法一】设 M、N、P 分别为 A B,B B1和 B1C1的中点,得出 A B1、B C1夹角为 M N 和 N P 夹角或 其补角;根 据中位线定 理,结合余弦 定理求出
24、 A C、M Q,M P 和M N P 的余弦值即可【解法二】通过补形的办法,把原来的直三棱柱变成直四棱柱,解法更简洁【解答】解:【解法一】如图所示,设 M、N、P 分别为 A B,B B1和 B1C1的中点,则 A B1、B C1夹角为 M N 和 N P 夹角或其补角(因异面直线所成角为(0,),可知 M N=A B1=,N P=B C1=;作 B C 中点 Q,则P Q M 为直角三角形;P Q=1,M Q=A C,A B C 中,由余弦定理得A C2=A B2+B C22 A B B C c o s A B C=4+1 2 2 1()=7,A C=,M Q=;在M Q P 中,M P=
25、;在P M N 中,由余弦定理得第 1 5 页(共 2 9 页)c o s M N P=;又异面直线所成角的范围是(0,A B1与 B C1所成角的余弦值为【解法二】如图所示,补成四棱柱 A B C D A1B1C1D1,求B C1D 即可;B C1=,B D=,C1D=,+B D2=,D B C1=9 0,c o s B C1D=故选:C【点 评】本 题 考 查 了 空 间 中 的 两 条 异 面 直 线 所 成 角 的 计 算 问 题,也 考 查 了 空 间中的平行关系应用问题,是中档题第 1 6 页(共 2 9 页)1 1(5 分)若 x=2 是 函数 f(x)=(x2+a x 1)ex
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