高二文科数学寒假讲义第1讲复数教师版.pdf
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1、第1讲 复数(2 知识点睛1.复数的概念:设4、都是实数,形如4+历的数叫做复数,复数通常用小写字母z 表示,即2=+(a,6 e R),其中。叫做复数z 的实部,。叫做复数z 的虚部,i 称作虚数单位.2.复数的分类:当万=0 时,复数就成为实数;除了实数以外的数,即当bwO时,。+加叫做虚数.而当。#0 且 a=0 时,庆叫做纯虚数.复数z=a+6 i可分成:实 数(=0)和虚数(6*0).复数集:全体复数所构成的集合,通常用大写字母C 表示,C=zz=a+bi,aGR,bGR.实数集R是复数集C的真子集,即R U C,复数集是实数集的扩充.教师备案 N:Natural number;Z:
2、Zahlen(德语整数);Q:Quotient(英语:商);R:Real numberC:Complex number.3.复数的凡何意义:复数z=a+A i被一个有序实数对(a,b)所惟一确定,而每一个有序实数对3,力,在平面直角坐标系中又惟一确定一点Z(a,(或一个向量O Z).即每一个复数,对应着平面直角坐标系中每一个点(或每一个向量),也对应着惟一的一个有序实数对.这样我们通过有序实数对,可以建立复数z=a+4 和点Z(a,b)(或向量O Z)之间的-对应关系.点Z(a,勿或向量0 Z 是复数z 的几何表示.复数z=a+历 有序实数对(。,力 点、Z(a,b).复平面:建立了直角坐标系
3、来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚 轴.x 轴的单位是1,y 轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点,原点(0,0)对应复数0.O Z =a+bi(a,b e R ),则向量O Z的长度叫做复数a+4 的 模(或绝对值),记作|a+Ai|,a+bi=a2+b2.共辗复数:如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数.则这两个复数叫做互为共轨复数.复数z 的共轨复数用z 表 示.即 当 z =a+历时,则Z =6 i.在复平面内,表示两个共朝复数的点关于实轴对称,并且它们的模相等.教师备案(1)实轴上的点都表示实数:除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数,即任意一个实数
4、a与x 轴上的点(a,0)对应,任意一个纯虚数万(。*0)与y 轴上除原点外的点(0,b)对应.(2)如果。=0,则|a +加|=|a|.这表明复数的模是实数的绝对值的推广.(3)当复数z =a +的虚部6 =0时,有z =W,也就是说,任一实数的共辄复数仍是它本身.经典精讲考 点:复数的概念与分类【例 1】已知复数z =(/-2(z-3)+(a-3)i,a e R a 取何值时,z 是虚数?纯虚数?z 的实部与虚部相等时,求 a的值.【解析】当a/3 时,z为虚数;当a =T 时,z为纯虚数;(2)由题意知:a2-2a-3=a-3,解得:a =0 或 a =3.尖子班学案1【拓1】已知 =x
5、 +y-l +(x 2-孙 一 2 y)i ,z2=2x-y-y-xy),其中 x,yeR,问当 x,y 取何值时,(l)z,z?是纯虚数;Z 1,z?是实数.【解析】Z 1 ,z?是纯虚数,所以首先满足x2+y-=l=。0 ,解”得m代入验证,知 Z 1,Z?的虚部都不为0,所以当X=g(2)2,z?是实数,则有-2),=。,解得y-x y =0 x =0 .八或y =01x=-32,y-37y =时,Z ,z?是纯虚数,x=1 ,y=-3所以,当x =0,y =0 或x=l,y =g时Z,z 2 是实数.【例2】如果实数x,y 满足(x+y)+顼=-l l +10 i ,求x,y的值.【解
6、析】由两个复数相等的定义知:x +y =-l l J x =-1 戈 x =-10孙=10 n y =-l 0-=-1考 点:复数的几何意义尖子班学案2【铺1 如 果 3 a5,复数z =(a 2 _ 8 a +15)+(a 2-5 a-14)i 在复平面上的对应点Z在第一 象限.(2)设 4=l +i,Z 2=-l +i,复数4和 Z 2 在复平面内对应点分别为A、B,O为原点,则 八4 0 3的 面 积 为.【解析】三V 3 a 5 ,二复数 z 的实部“2 8 a +l 5 0,虚部/一 5。一1 4 c 0 ,二z 表示的点在复平面的第三象限.2(2)1;在复平面内,由复数与点的对应关
7、系知NAO3=90。,SM O S=|XV2XV2=1 .例3 已知机e R,复数z=幽 二 2 +(/+-3)i,当机为何值时,z 对应的点位于复平面第二象限;z 对应的点在直线x+y+3=0 上.(2)设 z=+A i,a,b e R,满足下列条件的点Z 的集合是什么图形?0 a l,0 0,b0,a2+b2 l;回+网 1.设 z=4 l+(2,+l)i,m e R,若 z 对应的点在直线x 3y=0 上.求 团,三与目.【解析】(1)当z 对应的点位于复平面第二象限时,2),0则有,m-1 ,解得帆 3 或 1加 0当z 对应的点在直线x+y+3=0 上时,则有 2+2 +2/7?-3
8、)+3=0,即+=0,解得帆=0 或 加=-1石.m-1m-以(0,0),(1,0),(1,i),(0,i)为顶点的四边形的内部;单位圆在第四象限内的部分,不含边界以(1,0),(0,i),(-1,0),(0,-i)为顶点的四边形的内部,(3)由题意得:4m-l-3(2m+l)=0,即4-3-2 4=0,也就是(2-4)(2.+1)=0,解得帆=2.于是 z=15+5i,z=15-5i,|z|=/152+52=5710.1.2复数的运算Elm0 T|知识点睛1.复数的加法与减法加法:设 Z|=a+6i,z2=c+di,a,b,c,d eR,定义 4+z?=(a+c)+S +)i.复数的加法运算
9、满足交换律、结合律:即对任意复数 Z、z2 Z3,W Z|+Z2=z2+Z,(z,+z2)+z3=zt+(z2+z3).相反数:已知复数a+b i,存在惟一的复数-a-b i,使(a+6i)+(-a-历)=0,叫做a+b i的相 反 数.-a-b i=-(a+b i).在复平面内,互为相反数的两个复数关于原点对称.复数的减法法则:(a+6i)-(c+&)=(+bi)+(-c-d)=(a-c)+(b-d)i,复数加法的几何意义:复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.2.复数的乘法设 Z1=a+6i,z2=c+di,a、b、c、d w R,定义斗?=(ac-bd)+(ad+bc)i.复数
10、的乘法运算漓足交换律、结合律和乘法对加法的分配律,即对任意复数 Z、z2 z3,有 Z 1 ,Z 2 =Z 2 Z,(Zj-z2)-z3=zl-(z2-z3),z,(z2+z3)=z,-z2+z,-z3.一个复数与其共规及数的乘积等于这个复数(或其共枕复数)展的平方.复数的乘方也就是相同复数的乘积.实数范围内正整数指数幕的运算律在复数范围内仍然成立,即对复数 Z、Z 2 和自然数机、,有 z =z”+,(zmr=zffln,(z-W.在复数的乘方运算中,要记住以下结果:i1=i,i2=-l,i3 教师备案 记 y =-L2.r32包2-3-30与。相关的题目在春季讲义中会有3.复数的除法严+2
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- 文科 数学 寒假 讲义 复数 教师版
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