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1、热点0 4 导数及其应用【命题趋势】在目前高考全国卷的考点中,导数板块常常作为压轴题的形式出现,这块部分的试题难度呈现非减的态势,因此若想高考中数学拿高分的同学,都必须拿下导数这块的内容.函数单调性的讨论、零点问题和不等式恒成立的相关问题(包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围)是出题频率最高的.对于导数内容,其关键在于把握好导数,其关键在于把握好导数的几何意义即切线的斜率,这一基本概念和关系,在此基础上,引申出函数的单调性与导函数的关系,以及函数极值的概念求解和极值与最值的关系以及最值的求解.本专题选取了有代表性的选择,填空题与解答题,通过本专题的学习熟悉常规导数题目的思路解析与解题套
2、路,从而在以后的导数题目中能够快速得到导数问题的得分技巧.【满分技巧】对于导数的各类题型都是万变不离其宗,要掌握住导数的集中核心题型,即函数的极值问题,函数的单调性的判定.因为函数零点问题可转化为极值点问题,函数恒成立与存在性问题可以转化为函数的最值问题,函数不等式证明一般转化为函数单调性和最值求解,而函数的极值和最值是由函数的单调性来确定的.所以函数导数部分的重点核心就是函数的单调性.对于函数零点问题贴别是分段函数零点问题是常考题型,数形结合是最快捷的方法,在此方法中应学会用导数的大小去判断原函数的单调区间,进而去求出对应的极值点与最值.恒成立与存在性问题也是伴随着导数经典题型,对于选择题来
3、说,恒成立选择小题可以采用排除法与特殊值法相结合的验证方法能够比较快捷准确得到答案,对于填空以及大题则采用对函数进行求导,从而判定出函数的最值.函数的极值类问题是解答题中的一个重难点,对于非常规函数,超出一般解方程的范畴类题目则采用特殊值验证法,特殊值一般情况下是0,1等特殊数字进行验证求解.对于理科类导数类题目,对于比较复杂的导数题目.一般需要二次求导,但是要注意导数大小与原函数之间的关系,搞清楚导数与原函数的关系是解决此类题目的关键所在.含参不等式证明问题也是一种重难点题型,对于此类题型应采取的方法是:-双变量常见解题思路:1双变量化为单变量f寻找两变量的等量关系:2转化为构造新函数:二含
4、参不等式常见解题思路:1参数分离;2通过运算化简消参(化简或不等关系);3将参数看成未知数,通过它的单调关系来进行消参.那么两种结构的解题思路理顺了,那么我们来看这道题.这是含参的双变量问题,一般来说,含参双变量问题我们一般是不采用转化为构造新函数,我们最好就双变量化为单变量,这就是我们解这道题的一个非常重要的思路:寻找双变量之间的关系并确定范围,并且确定参数的取值范围;化简和尝试消参;双变量化为单变量.证明函数恒成立(求导、求极值)【考查题型】选择题,填空,解答题2 1题【限时检测】(建议用时:35分钟)1.(2 0 2 0全国高考真题(理)若直线/与曲线尸&和N+产5都相切,贝I 的方程为
5、()A.尸2 x+lB.y=2x+2C.尸2 x+lD.尸2工+2【答案】D设直线/在曲线y=炭上的切点为则招 /=_L k=_ L _函数歹=4的导数为 24,则直线/的斜率 2&y-H=i=(x-xo)设直线/的方程为 7%,即-2扃、+/=0 x2+/=-由于直线/与圆 5相切,则1两边平方并整理得5片一4X)T =,解得X0=1,/5 (舍),y=1 x H-1则直线/的方程为x-2 y+l =0,即 2 2故选:D.2.(2 0 2 0全国高考真题(理)函数/(x)=x4-2 x的图像在点0,/)处的切线方程为()A y=-2 x-1 B y=_ 2 x+lcy=2x-3 D y=2
6、x+l【答案】B【分析】./(X)=X4-2X3.-.f(x)=4 x3-6 x2.-./(1)=-1 r(l)=-2因此,所求切线的方程为7+1 =-26一1),即V =-2 x+l故选:B.3.(2 0 2 0河 北高三期中)定义在R上的函数/(X)的导函数为/(X),若/(x)/(x),52)=1 0 0 8,则不等式 e2y g 1)-1 0 0 8 0 的解集为()A(-1,4-0 0)B(2,+oo)C.(8 1)D.(L”)【答案】Dg(x)=华且令叫地。【分析】令 e ,则 e ,所以g(x)在R上单调递增.g 1 0 0 8因为所以不等式e 2/(x+l)T 0 0 8 e,
7、M 0/(x+1),/(2)可变形得 er+l e:即g(x+D g(2),所以x+i 2,解得X 1.故选:D4.(2 0 2 0 汕头市澄海中学高三月考)已知函数/()是偶函数,当 时,/(x)=-x l n(-x)+l 则曲线N =/(x)在x=l 处的切线方程为()A.V =T B,丁 =-x+2 c,N =x D,N =x-2【答案】C【分析】因为x,M r l nM +l,/(T)=l,又由/(x)是偶函数,(1)=1J令-x 0时,/(x)=xl n x+l,所以,x 0时,/(x)=l n x+l,/(1)=1,利用直线的点斜式方程,曲线=/(、)在x=l 处的切线方程为V-l
8、 =x T,即=.故选Cf (x)=ax,、5.(20 20 大荔县大荔中学高三月考(理)已知函数 I n x 在(1,丑)上有极值,则实数”的取值范围为()A.If-0 4 J0 0;f 44 B.I 4)c.I 4 口.L 4)【答案】B“、l n x-1 ,、I n 无 一 1 1 1【分析】j(X)=-(-I-n-x-)-2-a,设爪g(x)=-(-I-n-x-)-2-=-I-n-x-(-I-n-x)2r,.函数/(X)在区间(1,K。)上有极值,(x)=g(x)-,(l,+8)上有变号零点,即g(x)=。在(1,田)匕有解,1-t令 I n x,由 x l 可得/x 0,即f 0,2
9、/葭2 1 1 ,1得到 2 4 4,解得:4故选:B.6.(20 20河南高三月考(理)已知函数/G)=G 一)4=(x)。,8 =*|(G)。贝U3=(的导函数为了(x),若)A 百+8)B(-8,-3)“1,+8)C (-0 0,-3)u 伊,+0 0)-0 0,一百”,p o o)【答案】D【分析】因为一3、,所以G?+2x-3 卜*令/6)=(厂-3,0,解得一0或x G,则/=百,令,G)=G+2 x-3 p 0,解得x-3或x l,贝 产 布7或xl ,A u B=o o,y/(1,+8)故选:D.7.(20 20内蒙古呼和浩特高三月考(理)设函数/(、)=+(1*+办 若/(x
10、)为奇函数,则曲线v=/G)在点(L/0)处的切线方程为()A y =4x-lBy=2x-4 c y 4 x-2 D y=2x-6【答案】C【分析】“X)定义域是火,:X)上奇函数,;./(-X)=-x3+(a-l)x2-ax=-f(x)=-x3-(n-l)x2-a x,即(a-l)x2=0 .1=0 a=,f(x)=x3+xt f(x)=3x2+i/=4 乂/=2.切线方程是卜_ 2=4*-1),即y =4x 2,故选:C.8.(20 20 陕西榆林十二中高三月考(理)/(X)是定义在(+)上的非负可导函数,且满 足 杯(x)+/(x)b,则 必 有()A af(b)bf(a)B hf(a)
11、af(b)C.af(a)b,所以 g(a)g。),即 4 (a)/(b).故选:c.3 5/(1 +2)-/(1)二9.(20 20 安徽六安一中高三月考(理)若/G)=l n x+/,则)A.1B.2C.4D.8【答案】DJ 2八 尸 r(D=i+3=4,【分析】由题意 x r四出-生等殁=2/,(3 8l im-7&1 0所以M M故选:D.1 0.(20 20云南昆明一中高三月考/(x)=l n(x+l)+C的定义域为幺,(理)记函数 二 g(x)=e-e函数八7a的取值范围为(-X+s in x+l,若不等式g(2x+a)+g(x?-1)2 对X G/恒成立,则 2,+8)B()D.(
12、-2,小)-2,+o o)L/)【答案】A【分析】由x+l 01 一xN 解得一l 0 显然恒成立,又所以加 毡增函数;由 g(2 x+Q)+g(x I)2 得心2,、f 2 _ n 0 w(2x+)-f t l(x 1),机(2x+a)+?(x 广U,即1即、由加(x)是R上的奇函数且为增的函数,所以机(2x+a)m(l-得:2 x +a _x2当X(T 时,一(x+1)+2 2 所以故选:A.1 1.(2 0 2 0黑龙江大庆铁人中学高三期中(理)已知函数/(“)是定义在及上的可导函数,对于任意的实数X,都 有/(X),当x 0时,若e/(2 a+l)2/(a+l),则实数的取值范围是()
13、22 刊 B.r r J C.)D.S【答案】B/(=e2x【分析】./(”)=e/(x)=e-(x)令g(x)=e(x),则g(-x)=g(x),即 g(x)为偶函数,当 x。,.g (x)=e “x)+Z(x)0 即函数g(x)在(-8,0)上单调递增根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知g G)在8 +)上单调递减,.ea/(2 +l)/(a+l),2 fl+7(2 +l)efl+7(+0.g(2a+l)g(a +1)即|2a+1|+1|2 a 为()A.B.c【答案】A分 析/(x)=(Jco sx)sin x ,x e -,/.f (-x)=1-cos(-x)sin(-x)=-(l
14、-cosx)sin x=-f (x).cosx)sinx在卜肛句的图象大致k一,所以函数为奇函数,排除。;时,即L5 3 J,r(x),/(x)单调递增;当2万时,即-3 一,()单调递减;所以/(X)在x=Z/-=1-C 0 S-s i n-=l 0令 2 ,1 2/I,排除 B;Q /(x)=s i n xs i n x+(l-co s x)co s x=-2 co s2 x+co s x+11/Y令/、一 n co s x=VU-u,得co s x=l或 2 ,1,co s x e ,1当 L 2trC O S X -1,_ 2 _2万x 3处取得极大值,即靠近乃,排除C;故选:A.1
15、3.2 0河南高三月考(理)定义在7?上的函数N =/(x)满足“1 -x)=/(),(x-5)/(x)0(x*5),若/(-1)/(1)0.当x 5时,.函数=/()在(8 5)上单调递减:在6,+0 0)上单调递增.乂止且由对称性得,/(T)=/(),A/则/(9)/(1 1)0又函数/G)在区间(9 1 1)匕单调递增,函数/G)在区间(9/1)内有且仅有1个零点.故选:D.【点睛】结论点睛:函数对称性、单调性、零点个数判断.1,当/(2?_ x)=/(x)时有对称轴为X=M.2,当/()时函数在对应区间单调增,当/(幻 时函数在对应区间单调减.3、当在一个区间内两端点值符号不同且单调时
16、有且只有一个零点,若单调性不定必有零点但个数不定.1 4.(2 0 2 0河南高三月考(理)已知函数,(X)是定义域为R的偶函数,且当时,/()=则曲线V =/(x)在点(一1/(一1)处的切线方程为()A y=2ex-e B y=-2ex-e y=lex+e D y=-lex+e【答案】B【分析】法一:当x NO时,/)=(x+l)e;则 尸0)=2 e,l)=e,所以曲线丁=,(X)在点J )处的切线方程为丁 -e =2 e(x -1),即y =2 e x -e,根据对称性.可得曲线V =/(X)在点(T /(T)处的切线方程为y=-2 e x-e.法二:当X 0,所以/(T)=-x e、
17、,又/(X)是偶函数,/(x)=-x e-=-4 /(x)=V所以 e ,所以 er,所以,(T)=2 e,又/S)=e,所以曲线,=/&)在点(T /(一 1)处的切线方程为丁 一 e =-2 e (x +1),即 y=-2 e x -e15.(2 02 0万载县第二中学高三 月 考(理)已知函数/(x)=e 2+伍-2)e -X有两个零点,则实数。取值范围是()A.(01)B.()C.S)D.(-o o,-l)【答案】C分析令+(a-2)ex-x=0=a=-ex+xex+2即a=-e +xex+2有两个实数根,设g(x)=一,+xex+2,即g(x)=+x e-+2的图象与y=a有两个交点.g (x)=e +(l x)e-=匕:/则e,令(x)=l_x _e 2 单调递减又(0)=0.当xe(-8,0)时,3)0,则g (x)0,g(x)单调递增;当x e(,+8)时,久),则g (x),g(x)单调递减,g(X)m ax =g(0)=1又当 X T -8 时,g(X)f-00,当 X 7+00 时,g(X)-8:.a f故选:c.
限制150内