八年级下勾股定理培优试题集锦(含解析)_中学教育-中考.pdf
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1、学习必备 欢迎下载 初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题 二填空题(共 5 小题)11 已知 Rt ABC中,C=90,a+b=14cm,c=10cm,则 Rt ABC的面积等于 12观察下列勾股数 第一组:3=2 1+1,4=2 1(1+1),5=2 1(1+1)+1 第二组:5=2 2+1,12=2 2(2+1),13=2 2(2+1)+1 第三组:7=2 3+1,24=2 3(3+1),25=2 3(3+1)+1 第四组:9=2 4+1,40=2 4(4+1),41=2 4(4+1)+1 观察以上各组勾股数组成特点,第 7 组勾股数是(只填数,不填等式)13观察下列一组数:列
2、举:3、4、5,猜想:32=4+5;列举:5、12、13,猜想:52=12+13;列举:7、24、25,猜想:72=24+25;列举:13、b、c,猜想:132=b+c;请你分析上述数据的规律,结合相关知识求得 b=,c=三解答题(共 27 小题)14 a,b,c 为三角形 ABC的三边,且满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判别这个三角形的形状 15如图:四边形 ABCD中,AB=CB=,CD=,DA=1,且 AB CB于 B 试求:(1)BAD的度数;(2)四边形 ABCD的面积 学习必备 欢迎下载 16 如图,小华准备在边长为 1 的正方形网格中,作一个三边长分别为
3、 4,5,的三角形,请你帮助小华作出来 17如图所示,在一次夏令营活动中,小明坐车从营地 A 点出发,沿北偏东 60方向走了 100 km 到达 B 点,然后再沿北偏西 30 方向走了 100km 到达目的地C 点,求出 A、C 两点之间的距离 18如图,在气象站台 A 的正西方向 320km 的 B 处有一台风中心,该台风中心以每小时 20km 的速度沿北偏东 60 的 BD 方向移动,在距离台风中心 200km 内的地方都要受到其影响(1)台风中心在移动过程中,与气象台 A 的最短距离是多少?(2)台风中心在移动过程中,气象台将受台风的影响,求台风影响气象台的时间会持续多长?察下列勾股数第
4、一组第二组第三组第四组观察以上各组勾股数组成特点第组勾股数是只填数不填等式观察下列一组数列举猜想列举猜想列举猜想列举猜想请你分析上述数据的规律结合相关知识求得三解答题共小题为三角形的三边且 为的正方形网格中作一个三边长分别为的三角形请你帮助小华作出来如图所示在一次夏令营活动中小明坐车从营地点出发沿北偏东方向走了到达点然后再沿北偏西方向走了到达目的地点求出两点之间的距离如图在气象站台的正西方 风中心在移动过程中与气象台的最短距离是多少台风中心在移动过程中气象台将受台风的影响求台风影响气象台的时间会持续多长学习必备欢迎下载如图已知中分别为边上的动点点从点开始沿方向运动且速度为每秒点从点开始方向学习
5、必备 欢迎下载 19如图,已知 ABC 中,B=90,AB=8cm,BC=6cm,P、Q 分别为 AB、BC边上的动点,点 P 从点 A 开始沿 A B 方向运动,且速度为每秒 1cm,点 Q 从点B 开始 BC 方向运动,且速度为每秒 2cm,它们同时出发;设出发的时间为 t秒(1)出发 2 秒后,求 PQ 的长;(2)从出发几秒钟后,PQB 能形成等腰三角形?(3)在运动过程中,直线 PQ 能否把原三角形周长分成相等的两部分?若能够,请求出运动时间;若不能够,请说明理由 20在 ABC 中,AB、BC、AC 三边的长分别为、,求这个三角形的面积 小华同学在解答这道题时,先画一个正方形网格(
6、每个小正方形的边长为 1),再在网格中画出格点 ABC(即 ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图 1 所示这样不需求 ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积这种方法叫做构图法(1)ABC的面积为:(2)若 DEF三边的长分别为、,请在图 2 的正方形网格中画出相应的 DEF,并利用构图法求出它的面积为(3)如图 3,ABC中,AG BC 于点 G,以 A 为直角顶点,分别以 AB、AC 为直角边,向 ABC外作等腰 Rt ABE和等腰 Rt ACF,过点 E、F作射线 GA 的垂线,垂足分别为 P、Q试探究 EP与 FQ之间的数量关系,并证明你的结论(4)如图 4,一个六边形的花坛被分
7、割成 7 个部分,其中正方形 PRBA,RQDC,QPFE的面积分别为 13m2、25m2、36m2,则六边形花坛 ABCDEF 的面积是 m2 察下列勾股数第一组第二组第三组第四组观察以上各组勾股数组成特点第组勾股数是只填数不填等式观察下列一组数列举猜想列举猜想列举猜想列举猜想请你分析上述数据的规律结合相关知识求得三解答题共小题为三角形的三边且 为的正方形网格中作一个三边长分别为的三角形请你帮助小华作出来如图所示在一次夏令营活动中小明坐车从营地点出发沿北偏东方向走了到达点然后再沿北偏西方向走了到达目的地点求出两点之间的距离如图在气象站台的正西方 风中心在移动过程中与气象台的最短距离是多少台风
8、中心在移动过程中气象台将受台风的影响求台风影响气象台的时间会持续多长学习必备欢迎下载如图已知中分别为边上的动点点从点开始沿方向运动且速度为每秒点从点开始方向学习必备 欢迎下载 21(1)在 ABC 中,AB、BC、AC 三边的长分别为、,求这个三角形的面积 如图 1,某同学在解答这道题时,先建立一个每个小正方形的边长都是 1 的网格,再在网格中画出边长符合要求的格点三角形 ABC(即 ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),这样不需要求 ABC的高,而借用网格就能就算出它的面积 请你将 ABC的面积直接填写在横线上 思维拓展:(2)已知 ABC三边的长分别为 a(a 0),求这个三角形的面积 我
9、们把上述求 ABC面积的方法叫做构图法如图 2,网格中每个小正方形的边长都是 a,请在网格中画出相应的 ABC,并求出它的面积 类比创新:(3)若 ABC 三边的长分别为(m 0,n 0,且 m n),求出这个三角形的面积 如图 3,网格中每个小长方形长、宽都是 m,n,请在网格中画出相应的 ABC,用网格计算这个三角形的面积 察下列勾股数第一组第二组第三组第四组观察以上各组勾股数组成特点第组勾股数是只填数不填等式观察下列一组数列举猜想列举猜想列举猜想列举猜想请你分析上述数据的规律结合相关知识求得三解答题共小题为三角形的三边且 为的正方形网格中作一个三边长分别为的三角形请你帮助小华作出来如图所
10、示在一次夏令营活动中小明坐车从营地点出发沿北偏东方向走了到达点然后再沿北偏西方向走了到达目的地点求出两点之间的距离如图在气象站台的正西方 风中心在移动过程中与气象台的最短距离是多少台风中心在移动过程中气象台将受台风的影响求台风影响气象台的时间会持续多长学习必备欢迎下载如图已知中分别为边上的动点点从点开始沿方向运动且速度为每秒点从点开始方向学习必备 欢迎下载 22有一只喜鹊在一棵 3m 高的小树上觅食,它的巢筑在距离该树 24m 的一棵大树上,大树高 14m,且巢离树顶部 1m当它听到巢中幼鸟的叫声,立即赶过去,如果它飞行的速度为 5m/s,那它至少需要多少时间才能赶回巢中?23(拓展创新)在教
11、材中,我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系,利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性 问题 1:以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形,探究 S+S 与 S 的关系(如图 1)问题 2:以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形,探究 S+S 与 S的关系(如图 2)问题 3:以直角三角形的三边为直径向形外作半圆,探究 S+S 与 S 的关系(如图3)察下列勾股数第一组第二组第三组第四组观察以上各组勾股数组成特点第组勾股数是只填数不填等式观察下列一组数列举猜想列举猜想列举猜想列举猜想请你分析上述数据的规律结合相关知识求得三解答题共小题为三角形的三边且 为
12、的正方形网格中作一个三边长分别为的三角形请你帮助小华作出来如图所示在一次夏令营活动中小明坐车从营地点出发沿北偏东方向走了到达点然后再沿北偏西方向走了到达目的地点求出两点之间的距离如图在气象站台的正西方 风中心在移动过程中与气象台的最短距离是多少台风中心在移动过程中气象台将受台风的影响求台风影响气象台的时间会持续多长学习必备欢迎下载如图已知中分别为边上的动点点从点开始沿方向运动且速度为每秒点从点开始方向学习必备 欢迎下载 24 如图,在平面坐标系中,点 A、点 B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,且 OA=OB,另有两点 C(a,b)和 D(b,a)(a、b 均大于 0);(1)连接 OD、C
13、D,求证:ODC=45;(2)连接 CO、CB、CA,若 CB=1,C0=2,CA=3,求 OCB的度数;(3)若 a=b,在线段 OA 上有一点 E,且 AE=3,CE=5,AC=7,求 OCA的面积 25 11 世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题“小溪边长着两棵棕榈树,恰好隔岸相望一棵树高是 30 肘尺(肘尺是古代的长度单位),另外一棵高 20 肘尺;两棵棕榈树的树干间的距离是 50 肘尺每棵树的树顶上都停着一只鸟忽然,两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼,它们立刻飞去抓鱼,并且同时到达目标 问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树根有多远?察下列勾股数第一组第二组第三
14、组第四组观察以上各组勾股数组成特点第组勾股数是只填数不填等式观察下列一组数列举猜想列举猜想列举猜想列举猜想请你分析上述数据的规律结合相关知识求得三解答题共小题为三角形的三边且 为的正方形网格中作一个三边长分别为的三角形请你帮助小华作出来如图所示在一次夏令营活动中小明坐车从营地点出发沿北偏东方向走了到达点然后再沿北偏西方向走了到达目的地点求出两点之间的距离如图在气象站台的正西方 风中心在移动过程中与气象台的最短距离是多少台风中心在移动过程中气象台将受台风的影响求台风影响气象台的时间会持续多长学习必备欢迎下载如图已知中分别为边上的动点点从点开始沿方向运动且速度为每秒点从点开始方向学习必备 欢迎下载
15、 26(1)先化简,再求值:x(x 2)(x+1)(x 1),其中 x=10(2)已知,求代数式(x+1)2 4(x+1)+4 的值(3)如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是 1,每个小格的顶点叫格点,请在给定的网格中按要求画图:从点 A 出发在图中画一条线段 AB,使得 AB=;画出一个以(1)中的 AB 为斜边的等腰直角三角形,使三角形的三个顶点都在格点上,并根据所画图形求出等腰直角三角形的腰长 察下列勾股数第一组第二组第三组第四组观察以上各组勾股数组成特点第组勾股数是只填数不填等式观察下列一组数列举猜想列举猜想列举猜想列举猜想请你分析上述数据的规律结合相关知识求得三解答题共小题为三角
16、形的三边且 为的正方形网格中作一个三边长分别为的三角形请你帮助小华作出来如图所示在一次夏令营活动中小明坐车从营地点出发沿北偏东方向走了到达点然后再沿北偏西方向走了到达目的地点求出两点之间的距离如图在气象站台的正西方 风中心在移动过程中与气象台的最短距离是多少台风中心在移动过程中气象台将受台风的影响求台风影响气象台的时间会持续多长学习必备欢迎下载如图已知中分别为边上的动点点从点开始沿方向运动且速度为每秒点从点开始方向学习必备 欢迎下载 27 问题情境 勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法 我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”(勾股定理)
17、带到其它星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言;定理表述 请你根据图 1 中的直角三角形叙述勾股定理;尝试证明 以图 1 中的直角三角形为基础,将两个直角边长为 a,b,斜边长为 c的三角形按如图所示的方式放置,连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点(如图 2),请你利用图 2,验证勾股定理;知识扩展 利用图 2 中的直角梯形,我们可以证明,其证明步骤如下:BC=a+b,AD=又在直角梯形 ABCD中,有 BCAD(填大小关系),即 察下列勾股数第一组第二组第三组第四组观察以上各组勾股数组成特点第组勾股数是只填数不填等式观察下列一组数列举猜想列举猜想列举猜想列举猜想请你分析上
18、述数据的规律结合相关知识求得三解答题共小题为三角形的三边且 为的正方形网格中作一个三边长分别为的三角形请你帮助小华作出来如图所示在一次夏令营活动中小明坐车从营地点出发沿北偏东方向走了到达点然后再沿北偏西方向走了到达目的地点求出两点之间的距离如图在气象站台的正西方 风中心在移动过程中与气象台的最短距离是多少台风中心在移动过程中气象台将受台风的影响求台风影响气象台的时间会持续多长学习必备欢迎下载如图已知中分别为边上的动点点从点开始沿方向运动且速度为每秒点从点开始方向学习必备 欢迎下载 28观察、思考与验证(1)如图 1 是一个重要公式的几何解释,请你写出这个公式;(2)如图 2 所示,B=D=90
19、,且 B,C,D 在同一直线上 试说明:ACE=90;(3)伽菲尔德(1881 年任美国第 20 届总统)利用(1)中的公式和图 2 证明了勾股定理(发表在 1876 年 4 月 1 日的新英格兰教育日志上),请你写出验证过程 29超速行驶容易引发交通事故如图,某观测点设在到公路 l 的距离为 100 米的点 P 处,一辆汽车由西向东匀速驶来,测得此车从 A 处行驶到 B 处所用的时间为 3 秒,并测得 APO=60,BPO=45,是判断此车是否超过了每小时 80千米的限制速度?(参考数据:=1.41,=1.73)察下列勾股数第一组第二组第三组第四组观察以上各组勾股数组成特点第组勾股数是只填数
20、不填等式观察下列一组数列举猜想列举猜想列举猜想列举猜想请你分析上述数据的规律结合相关知识求得三解答题共小题为三角形的三边且 为的正方形网格中作一个三边长分别为的三角形请你帮助小华作出来如图所示在一次夏令营活动中小明坐车从营地点出发沿北偏东方向走了到达点然后再沿北偏西方向走了到达目的地点求出两点之间的距离如图在气象站台的正西方 风中心在移动过程中与气象台的最短距离是多少台风中心在移动过程中气象台将受台风的影响求台风影响气象台的时间会持续多长学习必备欢迎下载如图已知中分别为边上的动点点从点开始沿方向运动且速度为每秒点从点开始方向学习必备 欢迎下载 30中日钓鱼岛争端持续,我海监船加大钓鱼岛海域的巡
21、航维权力度如图,OA OB,OA=45 海里,OB=15 海里,钓鱼岛位于 O 点,我国海监船在点 B 处发现有一不明国籍的渔船,自 A 点出发沿着 AO 方向匀速驶向钓鱼岛所在地点 O,我国海监船立即从 B 处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船,结果在点 C处截住了渔船(1)请用直尺和圆规作出 C 处的位置;(2)求我国海监船行驶的航程 BC的长 31在一次“构造勾股数”的探究性学习中,老师给出了下表:m 2 3 3 4 n 1 1 2 3 a 22+12 32+12 32+22 42+32 b 4 6 12 24 c 22 12 32 12 32 22 42 32 其中 m、n 为正整
22、数,且 m n(1)观察表格,当 m=2,n=1 时,此时对应的 a、b、c 的值能否为直角三角形三边的长?说明你的理由(2)探究 a,b,c与 m、n之间的关系并用含 m、n 的代数式表示:a=,b=,c=(3)以 a,b,c 为边长的三角形是否一定为直角三角形?如果是,请说明理由;如果不是,请举出反例 察下列勾股数第一组第二组第三组第四组观察以上各组勾股数组成特点第组勾股数是只填数不填等式观察下列一组数列举猜想列举猜想列举猜想列举猜想请你分析上述数据的规律结合相关知识求得三解答题共小题为三角形的三边且 为的正方形网格中作一个三边长分别为的三角形请你帮助小华作出来如图所示在一次夏令营活动中小
23、明坐车从营地点出发沿北偏东方向走了到达点然后再沿北偏西方向走了到达目的地点求出两点之间的距离如图在气象站台的正西方 风中心在移动过程中与气象台的最短距离是多少台风中心在移动过程中气象台将受台风的影响求台风影响气象台的时间会持续多长学习必备欢迎下载如图已知中分别为边上的动点点从点开始沿方向运动且速度为每秒点从点开始方向学习必备 欢迎下载 32如图 1,在 4 8 的网格纸中,每个小正方形的边长都为 1,动点 P、Q 分别从点 D、A 同时出发向右移动,点 P 的运动速度为每秒 1 个单位,点 Q 的运动速度为每秒 0.5 个单位,当点 P 运动到点 C 时,两个点都停止运动,设运动时间为t(0
24、t 8)(1)请在 4 8 的网格纸图 2 中画出 t 为 6 秒时的线段 PQ并求其长度;(2)当 t 为多少时 PQB 是以 BP 为底的等腰三角形 33阅读下面的情景对话,然后解答问题:(1)理解:根据“奇异三角形”的定义,请你判断:“等边三角形一定是奇异三角形”吗?(填是或不是)若某三角形的三边长分别为 1、2,则该三角形(是或不是)奇异三角形(2)探究:若 Rt ABC是奇异三角形,且其两边长分别为 2、2,则第三边的长为,且这个直角三角形的三边之比为(从小到大排列,不得含有分母)(3)设问:请提出一个和奇异三角形有关的问题(不用解答)察下列勾股数第一组第二组第三组第四组观察以上各组
25、勾股数组成特点第组勾股数是只填数不填等式观察下列一组数列举猜想列举猜想列举猜想列举猜想请你分析上述数据的规律结合相关知识求得三解答题共小题为三角形的三边且 为的正方形网格中作一个三边长分别为的三角形请你帮助小华作出来如图所示在一次夏令营活动中小明坐车从营地点出发沿北偏东方向走了到达点然后再沿北偏西方向走了到达目的地点求出两点之间的距离如图在气象站台的正西方 风中心在移动过程中与气象台的最短距离是多少台风中心在移动过程中气象台将受台风的影响求台风影响气象台的时间会持续多长学习必备欢迎下载如图已知中分别为边上的动点点从点开始沿方向运动且速度为每秒点从点开始方向学习必备 欢迎下载 34观察下列各式,
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