数值分析第一章学习小结外语学习法语学习_外语学习-法语学习.pdf
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1、数值分析 第1章 绪论 -学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习,让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课,与我之 前所学联系紧密,区别却也很大。在本章中,我学到的是对数据误差计算,对误 差的分析,以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。误差的计算方法很多,对于不同的数据需要使用不同的方法,或直接计算,或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法,其目的都是为了能够通过误差的计算,发现有效数字、计算方法等对误差的影响。而对误差的分析,则是通过对大量数据进行分析,从而选择出相对适合的算 法,尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法,不仅能够减少计算误差,同 时也可以减
2、少计算次数,提高计算效率。对于向量和矩阵的范数,我是第一次接触,而且其概念略微抽象。因此学起 来较为吃力,仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分内容的困惑 也相对较多。本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则,但对于很多未接触的问题,真正寻找一个好的算法还 是很困难。另一方面困惑来源于范数,不明白范数的意义和用途究竟算什么。希 望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。绪论 本章知识梳理 数值分析 的研究对象 误差知识 与算法知识 向量范数 与矩阵范数 2.1数值分析的研究对象 方法的构造 V-J 研究对象 _ J 求解过程的理论分析 数
3、值分析是计算数学的一个重要分支,研究各种数学问题的数值解法,包括 方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各 种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性,数值稳定性和误差估计等内 容。2.2误差知识与算法知识 H误差来源 吃如遴x相对瞇翊融殲字 3”误差估计的基本方法 4。算法及计算复杂性 2.2.1误差来源 误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种 其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差,而截断误差、舍入误差与 传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字 1.(1)绝对误差e指的是精确值与近似
4、值的差值。绝对误差:=前所学联系紧密区别却也很大在本章中我学到的是对数据误差计算对误差的分析以及关于向量和矩阵的范数的相关内容误差的计算方法很多对于不同的数据需要使用不同的方法或直接计算或用泰勒公式而对于二元函数的误差计算亦误差的分析则是通过对大量数据进行分析从而选择出相对适合的算法尽可能减少误差如果能够到一个好的算法不仅能够减少计算误差同时也可以减少计算次数提高计算效率对于向量和矩阵的范数我是第一次接触而且其概念略微抽象方面一方面是如何能够寻一个可靠而高效的算法虽然知道算法选择的原则但对于很多未接触的问题真正寻一个好的算法还是很困难另一方面困惑来源于范数不明白范数的意义和用途究竟算什么希望通
5、过以后的学习能够渐渐解开自己绝对误差限:1 -:(2)相对误差是指绝对误差在原数中所占的比例。相对误差:耳-=宁或亡“宁 相对误差限:-结论:凡是经过四舍五入而得到的近似值,其绝对误差不超过该近似值末位 的半个单位。(3)有效数字的定义 有效数字的第一种定义:设a是x的近似值,如果a的误差绝对值不超过x 的第k位小数的半个单位,即|x-a|10*则称近似值a准确到小数点后第 k位。从小数点后的第k位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都叫有效数 字。有效数字第二种定义:设数x的近似值亡眄心心x 其中m是整 数,心切九是0,1,2,9中的任意数,但勺式0,若k-f匕卜側(l1旷具有n位有效数字,
6、则其相对误差 若近似数L=0衍 的相对误差|即紂)|冬岛其10 n贝够 近似数至少具有n位有效数字。结论:有效数字位数越多,相对误差越小。(2)绝对误差与有效数字的关系:若a=a,ar-ak x IO111其中m是整数,爲(=1Z社)是0到9中的一个 数字,芒0.如果a作为数x的近似值,且 a具有n位有效数字,则|e(a)|x 10m_n 若d二士町七巧TkXlf 其中m是整数,叫Q=k)是o到9中的一个 数字,m 辽如果a作为数x的近似值,如果|e:r)=】;】:3玉 介)则a具 有n位有效数字。结论:有效数字位数越多,绝对误差越小。2.2.3误差估计的基本方法 1.(1)对于一元函数:35
7、 旳)t(/(a)我|f(a)|-t(a)(2)二元函数:(f(a,b)貝皿(b)(3)n元函数:巳 gb)(&h)Ox-e(a)+-e(b)前所学联系紧密区别却也很大在本章中我学到的是对数据误差计算对误差的分析以及关于向量和矩阵的范数的相关内容误差的计算方法很多对于不同的数据需要使用不同的方法或直接计算或用泰勒公式而对于二元函数的误差计算亦误差的分析则是通过对大量数据进行分析从而选择出相对适合的算法尽可能减少误差如果能够到一个好的算法不仅能够减少计算误差同时也可以减少计算次数提高计算效率对于向量和矩阵的范数我是第一次接触而且其概念略微抽象方面一方面是如何能够寻一个可靠而高效的算法虽然知道算法
8、选择的原则但对于很多未接触的问题真正寻一个好的算法还是很困难另一方面困惑来源于范数不明白范数的意义和用途究竟算什么希望通过以后的学习能够渐渐解开自己 b)n r(b)+r(a)f 布严务(b)+fr(a)224算法及计算复杂性 在数值计算中,要注意遵循一些原则,以保证数值稳定性。(1)能控制舍入误差的传播。(2)合理安排量级相差悬殊数间的运算次序,防止大数将小数吃掉 式代工忑庄八工/)=设 存在足够高阶的导数,a是自变量 的近似值,则u=/(a)是!-门上.;的近似值。如果f(d)=0严询 主0且比值 I严II 不是很大,则 f叫町 亡(/)“一(亡严 EC/(a)(O)“)2.算数运算误差:
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