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1、江苏省常州高级中学2024届高三第一学期期初检测数学试卷202309一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知复数满足(其中为虚数单位),则等于( )ABCD2已知全集,集合,则( )ABCD3在空间直角坐标系中,已知异面直线,的方向向量分别为,则,所成角的余弦值为( )ABCD4若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为( )ABCD5设,是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A若,则B若,则C若,则D若,则6设,已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大,且展开式中所有项的系数和为256,则中的系数为( )A
2、BCD7已知在直角三角形中,以斜边的中点为圆心,为直径,在点的另一侧作半圆弧,为半圆弧上的动点,则的取值范围为( )ABCD8将一个半径为的球削成一个体积最大的圆锥,则该圆锥的内切球的半径为( )ABCD二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分9已知一组样本数据,为不全相等的个正数,其中,若由生成一组新的数据,则这组新数据与原数据的( )可能相等A极差B平均数C中位数D标准差10若正实数,满足,则下列结论正确的有( )ABCD11已知函数,其中,则( )A不等式对恒成立B若关于的方程有且只有两个实根
3、,则的取值范围为C方程共有4个实根D若关于的不等式恰有1个正整数解,则的取值范围为12已知函数及其导函数的定义域均为,若函数,都为偶函数,令,则下列结论正确的有( )A的图象关于对称B的图象关于点对称CD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13已知函数则函数的所有零点构成的集合为_14某校在新学期开设了“遇见”,“数学与生活”,“微积分初步”,“无限的世界”和“数学阅读与写作”门数学类校本课程小明和小华两位同学商量每人选报门校本课程若两人所选的课程至多有一门相同,且小明一定选报“遇见”课程,则两位同学不同的选课方案有_种(用数字作答)15设随机变量,记,在研究的最大值时,某学习小组发
4、现并证明了如下正确结论:若为正整数,当时,此时这两项概率均为最大值;若不为正整数,则当且仅当取的整数部分时,取最大值某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数当投掷到第20次时,记录到此时点数1出现4次,若继续再进行80次投掷试验,则在这100次投掷试验中,点数1总共出现的次数为_的概率最大16在平面直角坐标系中,若过点且同时与曲线,曲线都相切的直线有两条,则点的坐标为_四、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本题满分10分)已知函数(且)(1)若函数为奇函数,求实数的值;(2)对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围18(本题满分12分)
5、已知在中,(1)求的取值范围;(2)若线段BE上一点D满足,求的最小值19(本题满分12分)四棱锥中,四边形为梯形,其中,平面平面(1)证明:;(2)若,且三棱锥的体积为,点满足,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值20(本题满分12分)已知函数,其中(1)讨论的单调性;(2)设,若不等式对恒成立,求的取值范围21(本题满分12分)某校为了增强学生的安全意识,组织学生参加安全知识答题竞赛,每位参赛学生可答题若干次,答题赋分方法如下:第一次答题,答对得2分,答错得1分;从第二次答题开始,答对则获得上一次答题得分的两倍,答错得1分学生甲参加这次答题竞赛,每次答对的概率为,且每次答题结果互不影响(1)
6、求学生甲前三次答题得分之和为4分的概率;(2)设学生甲第次答题所得分数的数学期望为()求,;()直接写出与满足的等量关系式(不必证明);()根据()的等量关系求表达式,并求满足的的最小值22(本题满分12分)已知函数,(1)当时,求的最大值;(2)当时,试证明存在零点(记为),存在极小值点(记为),并比较与的大小关系江苏省常州高级中学2024届高三第一学期期初检测数学试卷答案与评分标准2023.09一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1C2B3A4D5D6C7A8D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有
7、多项符合题目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分9BC10ABD11ACD12ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分131436151716四、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17解:(1)因为函数为奇函数,所以对定义域内每一个元素恒成立即,则,即又因为,所以,故(2)因为,所以由,得到,又,故只需要,即对任意恒成立因为,所以,故对任意的恒成立因为在为减函数,所以,故综上所述,18解:(1)在中,因为,所以当时,则取最小值3,当时,则取最大值12,则,因此的取值范围为;(2)因为且,所以又,所以因为,三点共线,所以,即因此,当
8、且仅当即时等号成立,故的最小值为19解:(1)由题设,为等边三角形,则,又四边形为梯形,则,在中,所以,即,则,所以,即,面面,面面,面,则面,又面,故(2)若为中点,则,面面,面面,面,则面,连接,则,且面,故,综上,两两垂直,以为原点,为,轴正方向的空间直角坐标系所以,由三棱锥的体积为,则,即,故则,则,所以,若是面的一个法向量,则,取,则,则若是面的一个法向量,则,取,则,则,所以,则锐二面角的余弦值为20解:(1)因为,所以当时,恒成立,则在上单调递减;当时,由,得,由,得,则在上单调递减,在上单调递增,综上,当时,的单调减区间为,无单调增区间;当时,的单调减区间为,单调增区间为(2)
9、当时,由(1)可知在上单调递减,在上单调递增,故的最小值为因为不等式对恒成立,所以设,则恒成立,故在上单调递增因为,所以即,故,即综上,的取值范围是21解:(1)学生甲前三次答题得分之和为4分的概率,即为学生甲前三次答题中仅只答对一次的概率,设“学生甲前三次答题得分之和为4分”为事件,所以(2)()学生甲第1次答题得2分、1分的概率分别为,所以甲第2次答题得4分、2分、1分的概率分别为,所以甲第3次答题得8分、4分、2分、1分的概率分别为,所以()由()知,当时,甲第次答题所得分数的期望为,则第次答对题所得分数,答错题所得分数为1,其概率分别为,于是甲第次答题所得分数的期望为,即,()由()知,由()知,因此,即数列以为首项,为公比的等比数列,则,即由,得,整理得,而,因此,所以的最小值是622解:(1)当时,的定义域为因此,令,解得,令,解得,所以在上单调递增,在上单调递减,故(2)因为,则,当时,则,故在上单调递增,又,且图象不间断,所以存在唯一的,使因为,则,令,则,所以在上单调递增,即在上单调递增又,且图象不间断,所以存在,使,则当时,;当时,所以在单调递减,在上单调递增,所以为的极小值点,故由可得,故,所以,又,所以,又因为,且在上单调递增,所以学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司
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