高三数学第二轮专题讲座复习数学归纳法的解题应用.doc
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1、综合复习材料高中资料高三数学第二轮专题讲座复习:数学归纳法的解题应用高考要求 数学归纳法是高考考查的重点内容之一 类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想,抽象与概括,从特殊到一般是应用的一种主要思想方法 重难点归纳 (1)数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题,若1P(n0)成立(奠基)2假设P(k)成立(kn0),可以推出P(k+1)成立(归纳),则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立 (2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明 恒等式,不等式,数的整除性,几何中计算问题,数列的通项与和等 典型题例示范讲解 例1试证明 不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列,
2、当n1,nN*且a、b、c互不相等时,均有 an+cn2bn 命题意图 本题主要考查数学归纳法证明不等式 知识依托 等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤 错解分析 应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立,不应只证明一种情况 技巧与方法 本题中使用到结论 (akck)(ac)0恒成立(a、b、c为正数),从而ak+1+ck+1akc+cka 证明 (1)设a、b、c为等比数列,a=,c=bq(q0且q1)an+cn=+bnqn=bn(+qn)2bn(2)设a、b、c为等差数列,则2b=a+c猜想()n(n2且nN*)下面用数学归纳法证明 当n=2时,由2(a2+c2)(a
3、+c)2,设n=k时成立,即则当n=k+1时, (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)(ak+1+ck+1+akc+cka)=(ak+ck)(a+c)()k()=()k+1也就是说,等式对n=k+1也成立 由知,an+cn2bn对一切自然数n均成立 例2在数列an中,a1=1,当n2时,an,Sn,Sn成等比数列 (1)求a2,a3,a4,并推出an的表达式;(2)用数学归纳法证明所得的结论;(3)求数列an所有项的和 错解分析 (2)中,Sk=应舍去,这一点往往容易被忽视 技巧与方法 求通项可证明是以为首项,为公差的等差数列,进而求得通项公式 解 an,Sn,Sn成等比数列,Sn2=an
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