备战2024年高考数学一轮复习人教a选择性必修第二册第三章一元函数的导数及其应用第6节利用导数研究函数零点课时作业.docx
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1、第6节利用导数研究函数零点选题明细表 知识点、方法题号利用导数研究函数零点个数1,4根据零点求参数2,3函数零点的综合应用5,61.(2022广东汕头三模)已知函数f(x)=x-2sin x.(1)求f(x)在(0,)上的极值;(2)证明:函数g(x)=ln x-f(x)在(0,)上有且只有两个零点.(1)解:由f(x)=x-2sin x得f(x)=1-2cos x,x(0,).令f(x)=0,得x=3,当0x3时,f(x)0,此时函数f(x)单调递减,当3x0,此时函数f(x)单调递增,所以函数f(x)的极小值为f(3)=3-3,无极大值.(2)证明:g(x)=ln x-f(x)=ln x-
2、x+2sin x,x(0,),则g(x)=1x-1+2cos x,令(x)=1x+2cos x-1,则(x)=-1x2-2sin x.当x(0,)时,(x)=-1x2-2sin x0,(2)=2-10,g()=ln -ln e2-=2-g(3)0,又g(6)=ln6-6+1,令h(x)=ln x-x+1,其中0x0,所以函数h(x)在(0,1)上单调递增,则h(x)h(1)=0,所以h(6)=ln 6-6+10,由零点存在定理可知,函数g(x)在(0,)上有两个零点.2.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax+2x-5.(1)证明:f(x)x;(2)若函数f(x)的图象与g(x)的图象有两
3、个不同的公共点,求实数a的取值范围.(1)证明:要证f(x)x,即证当x(0,+)时,不等式ln x-x0恒成立.令F(x)=ln x-x,则F(x)=1x-12x=2-x2x,故当0x0,F(x)单调递增;当x4时,F(x)0,F(x)单调递减,则F(x)max=F(4)=ln 4-20,故f(x)0,则h(x)=1xx-(5+lnx)x2+4x3=4-4x-xlnxx3,当0x0,ln x0,此时函数h(x)单调递增,当x1时,4-4x0,则h(x)1时,(x)5x-20,当0x25时,(x)5x-20,故存在x0(25,1),使得(x0)=0,即h(x0)=0,作出函数h(x)与y=a的
4、图象如图所示,由图可知,当0a0,且a1,函数f(x)=xaax(x0).(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.解:(1)当a=2时,f(x)=x22x(x0),f(x)=x(2-xln2)2x(x0),令f(x)0,则0x2ln2,此时函数f(x)单调递增,令f(x)2ln2,此时函数f(x)单调递减.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2ln2),单调递减区间为(2ln2,+).(2)曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,可转化为方程xaax=1(x0)有两个不同的解,即方程lnxx=lnaa有两个不同的解.
5、设g(x)=lnxx(x0),则g(x)=1-lnxx2(x0),令g(x)=1-lnxx2=0,得x=e,当0x0,函数g(x)单调递增,当xe时,g(x)e时,g(x)(0,1e),又g(1)=0,所以0lnaa1且ae,即a的取值范围为(1,e)(e,+).4.设函数f(x)=ln x+mx,mR.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;(2)讨论函数g(x)=f(x)-x3零点的个数.解:(1)由题意知,当m=e时,f(x)=ln x+ex(x0),则f(x)=x-ex2,所以当x(0,e)时,f(x)0,f(x)单调递增,所以当x=e时,f(x)取得极小值f(e)
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