备战2023年高考数学二轮专题复习专题五 概率与统计第2讲 概率、随机变量及其分布列.docx
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1、第2讲概率、随机变量及其分布列1.古典概型(2022新高考卷,T5)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(D)A.16B.13C.12D.23解析:从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有C72=21种不同的取法,若两数不互质,不同的取法有(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)共7种,故所求概率P=21-721=23.故选D.2.相互独立事件(2022全国乙卷,T10)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3p2p10.记该棋手连胜两盘
2、的概率为p,则(D)A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大解析:该棋手连胜两盘,则第二盘为必胜盘,记该棋手在第二盘与甲比赛,比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为12,记此时连胜两盘的概率为p甲,则p甲=12(1-p2)p1p3+p2p1(1-p3)+12(1-p3)p1p2+p3p1(1-p2)=p1(p2+p3)-2p1p2p3.记该棋手在第二盘与乙比赛,且连胜两盘的概率为p乙,同理得p乙=p2(p1+p3)-2p1p2p3.记该棋手在第二盘与丙比赛,且连胜两盘的概率为p丙,同理得p丙=p3
3、(p1+p2)-2p1p2p3.则p甲-p乙=p1(p2+p3)-2p1p2p3-p2(p1+p3)-2p1p2p3=(p1-p2)p30,p乙-p丙=p2(p1+p3)-2p1p2p3-p3(p1+p2)-2p1p2p3=(p2-p3)p10,即p甲p乙,p乙0,则条件概率P(B|A)=P(AB)P(A)=n(AB)n(A).2.全概率公式设A1,A2,An是一组两两互斥的事件,A1A2An=,且P(Ai)0,i=1,2,n,则对任意的事件B,有P(B)=i=1nP(Ai)P(B|Ai).典例2(1)(2021山东济南山师大附中高三模拟)某地需要从某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、
4、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生参加会议,则在有一名主任医师被选派的条件下,两名主任医师都被选派的概率为()A.38B.310C.311D.35(2)有三个箱子,编号分别为1,2,3.1号箱装有1个红球、4个白球,2号箱装有2个红球、3个白球,3号箱装有3个红球.某人从三个箱子中任取一箱,从中任意摸出一球,取得红球的概率为.解析:(1)设事件A表示“有一名主任医师被选派”,事件B表示“两名主任医师都被选派”,则“在有一名主任医师被选派的条件下,两名主任医师都被选派”的概率为P(B|A)=n(AB)n(A)=C42C31C53C42-C43C32=1848=38.故选
5、A.(2)记事件Ai为“球取自于i(i=1,2,3)号箱”,记事件B为“取得红球”,B总是伴随着A1,A2,A3之一同时发生,且A1B,A2B,A3B两两互斥,P(A1)=P(A2)=P(A3)=13,P(B|A1)=15,P(B|A2)=25,P(B|A3)=1,所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=1315+1325+131=815.答案:(1)A(2)815应用全概率公式求概率的步骤:(1)根据题意找出完备事件组,即满足全概率公式的的一个划分A1,A2,A3,An;(2)用Ai(i=1,2,3
6、,n)来表示待求的事件;(3)代入全概率公式求解.热点训练2 (1)(2022重庆沙坪坝区校级月考)某区有A,B两所学校,其中A校有男教师10人,女教师5人,B校有男教师3人,女教师6人.为了响应国家号召,实现教育资源的优化和均衡,决定从A校随机抽一名教师调到B校,然后在B校的10名教师中随机抽一名教师去培训学习.在从B校抽出来的参与培训学习的为男教师的条件下,从A校调到B校的教师为女教师的概率是()A.311B.13C.25D.12(2)(2021山东淄博实验中学高三模拟)托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式:P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)+P(B|A
7、c)P(Ac),这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理),其中P(B|A)P(A)+P(B|Ac)P(Ac)称为B的全概率.这个定理在实际生活中有着重要的应用价值.假设某种疾病在所有人群中的感染率是0.1%,医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%,即已知患病的情况下,99%的可能性可以检查出阳性,正常人99%的可能性检查为正常.如果从人群中随机抽一个人去检测,经计算,检测结果为阳性的全概率为0.010 98,请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为()A.0.1%B.8%C.9%D.99%解析:(1)记“从A校调到B校的教师为女教师”为事件M,记“从B校抽出来
8、的参与培训学习的为男教师”为事件N,则P(MN)=13310=110,又“从B校抽出来的参与培训学习的为男教师”包含两种情况:从A校抽取到B校的教师为男教师,从A校抽取到B的教师为女教师,所以P(N)=23410+13310=1130,所以从B校抽出来的参与培训学习的为男教师的条件下,从A校调到B校的教师为女教师的概率是P(M|N)=P(MN)P(N)=311.故选A.(2)记“一个人患病”为事件A,“检测结果为阳性”为事件B,则P(A)=0.1%,P(B|A)=99%,P(B|A)P(A)+P(B|Ac)P(Ac)=0.010 98,所以P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)
9、+P(B|Ac)P(Ac)=99%0.1%0.010 989%,所以估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为9%.故选C.热点三随机变量的分布列、均值与方差1.二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,n.E(X)=np,D(X)=np(1-p).2.超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品,从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn,k=m,m+1
10、,m+2,r.其中n,N,MN*,MN,nN,m=max0,n-N+M,r=minn,M.E(X)=nMN.考向1二项分布典例3为了加强食品安全监管,某县市场监管局计划添购一批食品检测仪器,符合这次采购要求的检测仪器只有甲、乙两种型号,下表是该县市场监管局以往使用甲、乙两种型号检测仪器的使用年限及数量统计表.使用年限1年2年3年4年合计甲型号检测仪器数量/台287320乙型号检测仪器数量/台396220以频率估计概率.(1)分别从以往使用的甲、乙两种检测仪器中各随机抽取一台,求甲型号检测仪器的使用年限比乙型号检测仪器的使用年限恰好多1年的概率;(2)若该县市场监管局购买甲、乙两种型号检测仪器各
11、2台,记2年后仍可使用的检测仪器的台数为,求的分布列与均值.解:(1)记事件Ai为“从以往使用的甲型号检测仪器中随机抽取一台,使用年限为i年”,事件Bi为“从以往使用的乙型号检测仪器中随机抽取一台,使用年限为i年”,i=1,2,3,4,事件C为“从以往使用的甲、乙两种型号检测仪器中各随机抽取一台,甲型号检测仪器的使用年限比乙型号检测仪器的使用年限恰好多1年”,则P(C)=P(A2B1)+P(A3B2)+P(A4B3)=820320+720920+320620=2180.(2)由题意知甲型号检测仪器2年后仍可使用的概率为12,乙型号检测仪器2年后仍可使用的概率为25.设2年后仍可使用的甲型号检测
12、仪器有X台,乙型号检测仪器有Y台,易知XB(2,12),YB(2,25).由题意知的所有可能取值为0,1,2,3,4,且P(=0)=P(X=0,Y=0)=C20(12)0(12)2C20(25)0(35)2=9100,P(=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)=C21(12)1(12)1C20(25)0(35)2+C20(12)0(12)2C21(25)1(35)1=310,P(=3)=P(X=2,Y=1)+P(X=1,Y=2)=C22(12)2(12)0C21(25)1(35)1+C21(12)1(12)1C22(25)2(35)0=15,P(=4)=P(X=2,Y=2)=C22
13、(12)2(12)0C22(25)2(35)0=125,P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)-P(=4)=37100,所以的分布列为01234P91003103710015125所以E()=09100+1310+237100+315+4125=95.考向2超几何分布典例4在袋子中装有10个大小相同的小球,其中黑球有3个,白球有n(2n5,n3)个,其余的球为红球.(1)若n=5,从袋中任取1个球,记下颜色后放回,连续取三次,求三次取出的球中恰有2个红球的概率;(2)从袋里任意取出2个球,如果这两个球的颜色相同的概率是415,求红球的个数;(3)在(2)的条件下,从袋里任意取出2个
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