2024版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第2节两直线的位置关系距离公式.docx
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1、第二节两直线的位置关系、距离公式考试要求:1能根据两条直线的方程判定这两条直线平行或垂直(逻辑推理)2掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离(数学运算)一、教材概念结论性质重现1两条直线的位置关系(1)利用斜率关系判断对于不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2.l1l2k1k2l1l2k1k21特别地,当两直线的斜率都不存在时,l1l2;当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,l1l2.(2)利用方程判断l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20(A2,B2,C2均不为0),l1l2A1A2B1B2C1C2l1l2A1A2B1B20l1与l
2、2重合A1A2B1B2C1C2特别地,若A2,B2,C2中存在为0的情况,则利用斜率关系判断(3)两直线相交交点直线l1:A1xB1yC10和l2:A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解一一对应相交方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解;平行方程组无解;重合方程组有无数个解(1)与直线AxByC0(A2B20)垂直的直线可设为BxAym0.(2)与直线AxByC0(A2B20)平行的直线可设为AxByn0.2三种距离(1)P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离|P1P2|x2x12+y2y12(2)点P0(x0,y0)到直线
3、l:AxByC0的距离dAx0+By0+CA2+B2(3)两条平行直线AxByC10与AxByC20(其中A2B20,C1C2)间的距离dC1C2A2+B2应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意:(1)将方程化为最简的一般形式(2)利用两平行线之间的距离公式时,应使两直线方程中x,y的系数分别对应相等二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误,对的画“”,错的画“”(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于1.()(3)点P(x0,y0)到直线ykxb的距离为kx0+b1+k2.()(4)两平行直
4、线2xy10,4x2y10间的距离为0.()2已知过点A(2,m)和B(m,4)的直线与直线2xy10平行,则实数m的值为()A0B8C2D10B解析:由题意知4mm22,解得m8.故选B3如果平面直角坐标系内的两点A(a1,a1),B(a,a)关于直线l对称,那么直线l的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10A解析:因为直线AB的斜率为a+1aa1a1,所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为yxb,由题意知直线l过线段AB的中点2a12,2a+12,所以2a+122a12b,解得b1,所以直线l的方程为yx1,即xy10.故选A4若三条直线y2x,xy3,mx2y50相交于同
5、一点,则m的值为95已知两条直线l1:4x2y30,l2:2xy10,则l1与l2之间的距离为_52解析:两条直线l1:4x2y30,l2:2xy10,即两条直线l1:4x2y30,l2:4x2y20,它们之间的距离d3242+2252.考点1两直线平行与垂直判定及应用基础性1“m1”是“直线l1:mxy10和直线l2:xmy60平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A解析:直线l1:mxy10和直线l2:xmy60平行m21m1,“m1”是“m1”的充分不必要条件故选A2若直线2x(2a5)y20与直线bx2y10互相垂直,则a2b2的最小值为()A3B
6、3 C5D5C解析:因为直线2x(2a5)y20与直线bx2y10互相垂直,所以2b2(2a5)0,化简得b52a,所以a2b2a2(52a)25a220a255a2255,当且仅当a2时取“”,所以a2b2的最小值为5.3已知直线l1:mxy10,l2:(2m3)xmy10,mR,若l1l2,则m_0或2解析:若l1l2,则m(2m3)m0,解得m0或m2,即l1l2m0或m2.1当方程的系数含有字母时,应考虑斜率不存在的特殊情况,否则容易漏解2利用平行、垂直等条件求出参数值后,应将求出的参数值回代,验证是否符合题意如当两直线平行时,利用斜率相等求出的参数值可能会使两直线重合,应该代入验证是
7、否舍去其中一个值考点2两直线的交点、距离问题综合性(1)已知直线3x2y30与直线6xmy70互相平行,则它们之间的距离是()A4B132C21313D71326B解析:由直线3x2y30与直线6xmy70互相平行,得m4,所以直线分别为3x2y30与3x2y720.它们之间的距离是72+332+22132.故选B(2)直线2x3yk0和直线xky120的交点在x轴上,则k的值为()A24B24 C6D6A解析:直线2x3yk0和直线xky120的交点在x轴上,可设交点坐标为(a,0),则2ak=0,a+12=0,即a=12,k=24.故选A本例1(1)中,条件“直线3x2y30与直线6xmy
8、70互相平行”改为“直线3x2y30与直线6xmy70互相垂直”,求两直线的交点坐标解:因为两直线垂直,则182m0,则m9.由3x+2y3=0,6x9y+7=0,解得x=13,y=1.所以交点坐标为13,1.1求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程2利用距离公式应注意(1)点P(x0,y0)到直线xa的距离d|x0a|,到直线yb的距离d|y0b|.(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数分别化为相等1若点P在直线3xy50上,且P到直线xy10的距离为2,则点P的坐标为()A(1,2) B(2,1
9、)C(1,2)或(2,1) D(2,1)或(1,2)C解析:设P(x,53x),则dx5+3x112+122,化简得|4x6|2,即4x62,即x1或x2,故点P的坐标为(1,2)或(2,1)故选C2已知直线l过直线l1:x2y30与直线l2:2x3y80的交点Q,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为()A0B1 C2D3C解析:由x2y+3=0,2x+3y8=0,得x=1,y=2,即直线l过点Q(1,2)因为|PQ|102+24252,所以满足条件的直线l有2条故选C考点3对称问题应用性考向1点关于点对称过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2xy80和l2:x3y1
10、00截得的线段被点P平分,则直线l的方程为_x4y40解析:设l1与l的交点为A(a,82a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上,把点B的坐标代入l2的方程得a3(2a6)100,解得a4,即点A(4,0)在直线l上,所以由两点式得直线l的方程为x4y40.中心对称问题的解法(1)若点P(x,y)关于Q(a,b)的对称点为P(x,y),则x=2ax,y=2by.(2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决考向2点关于直线的对称点已知直线l:2x3y10,点A(1,2),则点A关于直线l的对称点A的坐标为_3313,413解析:设A(x,y),由已知得y+2
11、x+123=1, 2x123y22+1=0,解得x=3313,y=413. 故A3313,413.轴对称问题的解法(1)若点P(a,b)关于直线AxByC0(B0)的对称点为P(m,n),则有nbmaAB=1, Aa+m2+Bb+n2+C=0.(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决考向3直线关于直线的对称已知直线l:xy10,l1:2xy20.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是()Ax2y10Bx2y10Cxy10Dx2y10B解析:由xy1=0,2xy2=0,得交点(1,0),取l1上的点(0,2),其关于直线l的对称点为(1,1),故直线l2的方程为y010
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