高中数学讲义——函数方程问题的分析.doc
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1、微专题08 函数方程问题的分析一、基础知识:1、函数方程:含有未知函数的等式叫做函数方程,例如:都可称为函数方程。在高中阶段,涉及到函数方程有以下几个类型:(1)表示函数的某种性质:例如体现是偶函数;体现是周期为1的周期函数(可详见“函数对称性与周期性”一节)(2)可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式:例如:,可用代替得,即 (3)函数方程也是关于变量的恒等式,所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值2、双变量函数方程的赋值方法:(1)对均赋特殊值,以得到某些点的函数值,其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用,比如,在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域。(2)其中某一个变量
2、不变,另一个赋特殊值,可得到单变量的恒等式,通常用于推断函数的性质3、常见函数所符合的函数方程:在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理,但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程(1): (2): (3) 当时,: 当时,:二、典型例题例1:已知函数对任意的均有,且当时,(1)求证:为奇函数(2)求证:为上的增函数(1)思路:要证明奇函数,则需要出现在同一等式中,所以考虑令,则有,再通过代入特殊值计算出即可解:(1)令,则 令,则解得为奇函数(2)思路:要证明单调递增,则需任取,且,去证明与的大小,结合等式,则需要让与分居等号的两侧,才能进行作差。所以考虑,进而。只需判断的符号即可解:任取
3、,且,令,代入方程可得: ,依题意可得:即为增函数小炼有话说:第(2)问将拆分为是本题证明的亮点,达到了让与分居等号的两侧的目的例2:已知定义在上的函数,对于任意实数都满足,且,当时,(1)求的值(2)求证:在上是增函数(3)求不等式:的解集解:(1)令,则有,解得或令可得: (2)思路:考虑证明单调递增,则需构造出,即可设且令,则有,从而,由和已知条件可得:所以需要证明,即,可考虑结合题目条件和,令,则有,从而单调性可证证明:,则令,代入函数方程有: ,下证由已知可得,时,所以只需证明时,令 ,即在上单调递增(3)思路:本题并没有的解析式,所以考虑利用函数的单调性求解。由(1)(2)问可得,
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