2024版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8节第3课时定点定值探索性问题学案含解析新人教B版202305182198.doc
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1、2024版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8节第3课时定点定值探索性问题学案含解析新人教B版202305182198第8章 平面解析几何第3课时定点、定值、探索性问题考点1定点问题综合性(2020全国卷)已知A,B分别为椭圆E:y21(a1)的左、右顶点,G为E的上顶点,8.P为直线x6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求椭圆E的方程;(2)证明:直线CD过定点(1)解:由题设得A(a,0),B(a,0),G(0,1)则(a,1),(a,1)由8得a218,即a3.所以椭圆E的方程为y21.(2)证明:设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t)若
2、t0,设直线CD的方程为xmyn,由题意可知3n0)的焦点,点M(x0,4)在抛物线上,且|MF|x0.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若A,B是抛物线C上的两个动点,且OAOB,O为坐标原点,求证:直线AB过定点(1)解:由题意得,|MF|x0x0,解得x02p.因为点M(x0,4)在抛物线C上,所以422px04p2,解得p24.又p0,所以p2,即拋物线C的标准方程为y24x.(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2)因为OAOB,所以0,即x1x2y1y20.因为点A,B在抛物线C上,所以y4x1,y4x2,代入得y1y20.因为y1y20,所以y1y216.设直线AB的方程为
3、xmyn,联立得y24my4n0,则y1y24n,所以n4,所以直线AB的方程为xmy4,过定点(4,0)考点2定值问题综合性(2020新高考全国卷)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,且过点A(2,1)(1)求椭圆C的方程;(2)点M,N在C上,且AMAN,ADMN,D为垂足证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值(1)解:由题意得1,e2,解得a26,b23.所以椭圆C的方程为1.(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2)若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为ykxm,代入1得(12k2)x24kmx2m260,于是x1x2,x1x2.由AMAN知0,故(x12)(x22)(y11)
4、(y21)0,可得(k21)x1x2(kmk2)(x1x2)(m1)240.将代入上式可得(k21)(kmk2)(m1)240.整理得(2k3m1)(2km1)0.因为A(2,1)不在直线MN上,所以2km10,故2k3m10,k1.于是MN的方程为yk(k1)所以直线MN过点P.若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,y1)由0得(x12)(x12)(y11)(y11)0.又1,可得3x8x140.解得x12(舍去)或x1.此时直线MN过点P.令Q为AP的中点,即Q.若D与P不重合,则由题设知AP是RtADP的斜边,故|DQ|AP|.若D与P重合,则|DQ|AP|.综上,存在点Q,使得|DQ|为
5、定值解答圆锥曲线定值问题的技法(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关(2)引进变量法:其解题流程为(2020太原五中高三月考)已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,焦距为2,点(2,1)在该椭圆上(1)求椭圆C的方程;(2)直线x2与椭圆交于P,Q两点,点P位于第一象限,A,B是椭圆上位于直线x2两侧的动点当点A,B运动时,满足APQBPQ,直线AB的斜率是否为定值,请说明理由解:(1)设椭圆方程为1(ab0)因为焦距为2,所以c,焦点F1(,0),F2(,0)又因为点(2,1)在该椭圆上,代入椭圆方程得1,即1,解得a28,所以b22,所以椭圆C的方程为1.(2)将x2代入
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