2024版新教材高考数学一轮复习第2章函数的概念与性质第8节函数与方程学案含解析新人教B版202305182145.doc
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1、2024版新教材高考数学一轮复习第2章函数的概念与性质第8节函数与方程学案含解析新人教B版202305182145第8节函数与方程一、教材概念结论性质重现1函数的零点(1)函数零点的概念一般地,如果函数yf(x)在实数处的函数值等于零,即f()0,则称为函数yf(x)的零点(2)三者之间的关系函数f(x)有零点函数f(x)的图像与x轴有交点方程f(x)0有实数根2函数零点存在定理如果函数yf(x)在区间a,b上的图像是连续不断的,并且f(a)f(b)0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数yf(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即x0(a,b),f(x0)0.(1)若连续不断的函数f(
2、x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)0的实数解(2)由函数yf(x)(图像是连续不断的)在闭区间a,b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0,如图所示所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a,b上有零点的充分不必要条件3二分法条件(1)函数yf(x)在区间a,b上的图像连续不断;(2)所在区间端点的函数值满足f(a)f(b)0方法不断地把函数yf(x)的零点所在的区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值4有关函数零点的结论(1)图像连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(2)连续不断的函数图像
3、通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误,对的打“”,错的打“”(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点( )(2)二次函数yax2bxc(a0)在当b24ac0时没有零点( )(3)若函数yf(x)在区间(a,b)内有零点(函数图像连续不断),则f(a)f(b)0.( )(4)若f(x)在区间a,b上连续不断,且f(a)f(b)0,则f(x)在(a,b)内没有零点( )2下列函数图像与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是()A解析:根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点3函数f(x)ln x的零点所在的大致区间是()A(1
4、,2) B(2,3)C和(3,4) D(4,)B解析:因为f(2)ln 210,且函数f(x)的图像连续不断,f(x)为增函数,所以f(x)的零点在区间(2,3)内4函数f(x)ex3x的零点个数是()A0 B1 C2 D3B解析:由f(x)ex30,得f(x)在R上单调递增又f(1)30,因此函数f(x)有且只有一个零点5已知2是函数f(x)的一个零点,则f(f(4)的值是_3解析:由题意知log2(2m)0,所以m1,所以f(f(4)f(log23)2log233.6若二次函数f(x)x22xm在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是_(8,1解析:由题意知mx22x在(0,4)上
5、有解又x22x(x1)21,所以yx22x在(0,4)上的值域为(8,1,所以80,f(2)220,f(1)120,f(1)120,f(3)20.根据零点判定定理可得区间(3,2),上存在零点2设函数f(x)xln x,则函数yf(x)()A在区间,(1,e)内均有零点B在区间,(1,e)内均无零点C在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点D在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点D解析:当x时,函数图像连续不断,且f(x)0,f(1)0,f(e)e10,所以函数f(x)有唯一的零点在区间(1,e)内确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理:首先看函数yf(x)在区间
6、a,b上的图像是否连续,再看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数yf(x)在区间(a,b)内必有零点(2)数形结合法:通过画函数图像,观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断考点2确定函数零点的个数综合性(1)函数f(x)的零点个数为()A3 B2 C7 D0B解析:(方法一:直接法)由f(x)0得或解得x2或xe.因此函数f(x)共有2个零点(方法二:图像法)函数f(x)的图像如图所示由图像知函数f(x)共有2个零点(2)设m,nZ,已知函数f(x)log2(|x|8)的定义域是m,n,值域是0,3当m取最小值时,函数g(x)2|x1|m1的零点个数为()A0 B1 C2 D3C解析:因
7、为函数f(x)log2(|x|8)的值域是0,3,所以1|x|88,即7x7.因为函数f(x)log2(|x|8)的定义域是m,n,所以m的最小值为7,此时g(x)2|x1|6.令g(x)2|x1|60,解得x2log23或xlog23,即有两个零点函数零点个数的判断方法(1)直接求零点,令f(x)0,有几个解就有几个零点(2)函数零点存在定理,要求函数f(x)在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,再结合函数的图像与性质确定函数零点个数(3)利用图像交点个数,作出两个函数图像,观察其交点个数即得零点个数1(2020武邑中学调研)若函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n,n
8、1)(nN)内,则n_.2解析:因为f(x)在(0,)上单调递增,且f(2)1ln 20,所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故n2.2已知函数f(x)xcos x,则f(x)在0,2上的零点个数为_3解析:如图,作出g(x)x与h(x)cos x的图像,可知g(x)与h(x)的图像在0,2上的交点个数为3,所以函数f(x)在0,2上的零点个数为3.考点3函数零点的应用应用性考向1根据函数零点所在的区间求参数(1)已知一元二次方程x2ax10的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,则实数a的取值范围为_解析:设f(x)x2ax1,由题意知解得a1时,有交点,即函数g(x)f(x
9、)xm有零点利用函数零点个数求参数的方法由函数零点个数求参数问题,可采用数形结合法,先对解析式变形,变为关于两个初等函数的方程再在同一平面直角坐标系中,画出两个函数的图像,然后数形结合求解设函数f(x)(1)若a1,则f(x)的最小值为_;(2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是_(1)1(2)2,)解析:(1)若a1,则f(x)作出函数f(x)的图像如图所示,由图可得f(x)的最小值为1.(2)当a1时,要使f(x)恰有2个零点,需满足21a0,即a2;当a1时,要使f(x)恰有2个零点,需满足解得a0,b1);(6)对数函数模型:f(x)mlogaxn(m,n,a为常数,m0,a
10、0,a1);(7)幂函数模型:f(x)axnb(a,b,n为常数,a0,n1);(8)“对勾”函数模型:yx(a0)(1)“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;指数增长先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;对数增长先快后慢,其增长速度缓慢(2)充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图像和性质是解题的关键(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果的合理性(4)对于函数f(x)x(a0),当x0时,在x处取得最小值2;当x1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0,)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变
11、化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误,对的打“”,错的打“”(1)幂函数增长比直线增长更快( )(2)不存在x0,使ax0x1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a1)的增长速度( )(4)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0,b0,b1)增长速度越来越快的形象比喻( )2已知f(x)x2,g(x)2x,h(x)log2x,当x(4,)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是()Af(x)g(x)h(x) Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x) Df(x)h(x)g(x)B解
12、析:当x(4,)时,易知增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x)故选B.3在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表:x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x,y最适合的拟合函数是()Ay2x Byx21Cy2x2 Dylog2xD解析:根据x0.50,y0.99,代入计算,可以排除A;根据x2.01,y0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数ylog2x,可知满足题意故选D.4生产一定数量商品的全部费用称为生产成本某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元),一万件商品的售价是20万元为获取最大利润
13、,该企业一个月应生产该商品数量为()A36万件 B18万件C22万件 D9万件B解析:设利润为L(x),则L(x)20xC(x)(x18)2142.当x18时,L(x)有最大值5某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是()A减少7.84% B增加7.84%C减少9.5% D不增不减A解析:设该商品原来价格为a.依题意得,a(10.2)2(10.2)2a1.220.820.921 6a,所以(0.921 61)a0.078 4a,所以四年后的价格与原来价格比较,减少7.84%.考点1利用函数图像刻画实际问题基础性1有一个盛水的容器,由悬在它
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