高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程学案含解析.docx
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1、高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程学案含解析中学数学其次章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程学案含解析 本文关键词:方程,圆锥曲线,其次章,椭圆,中学数学中学数学其次章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程学案含解析 本文简介:21.1椭圆及其标准方程椭圆的定义提出问题取一条定长的细绳,把它的两端分别固定在图板的两点F1,F2处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖问题1:若绳长等于两点F1,F2的距离,画出的轨迹是什么曲线?提示:线段F1F2.问题2:若绳长大于两点F1,F2的距离,画出的轨迹还是线段吗?其图形又是什么?中学数学其次章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方
2、程学案含解析 本文内容:21.1椭圆及其标准方程椭圆的定义提出问题取一条定长的细绳,把它的两端分别固定在图板的两点F1,F2处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖问题1:若绳长等于两点F1,F2的距离,画出的轨迹是什么曲线?提示:线段F1F2.问题2:若绳长大于两点F1,F2的距离,画出的轨迹还是线段吗?其图形又是什么?提示:不是线段,椭圆导入新知椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距化解疑难定义中的条件2a|F1F2|0不能少,这是依据三角形中的两边之和大于第三边得出来的否则:(1)当2a|
3、F1F2|时,其轨迹为线段F1F2;(2)当2a|F1F2|时,其轨迹不存在.椭圆的标准方程提出问题在平面直角坐标系中,设A(4,0),B(4,0),C(0,4),D(0,4)问题1:若|PA|PB|10,则点P的轨迹方程是什么?提示:轨迹方程为1.问题2:若|PC|PD|10,则点P的轨迹方程是什么?提示:1.导入新知若|F1F2|2c,|MF1|MF2|2a(ac),则椭圆的标准方程、焦点坐标及a,b,c的关系见下表:焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)焦点坐标(c,0),(c,0)(0,c),(0,c)a,b,c的关系c2a2b2化解疑难1标准方程的几何特征:椭圆的中
4、心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上,对称轴是坐标轴2标准方程的代数特征:方程右边是1,左边是关于x,y的平方和,并且分母不相等3a,b,c三个量的关系:椭圆的标准方程中,a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半,可借助图形帮助记忆.椭圆标准方程的识别例1当3k9时,指出方程1表示的曲线解3k9,9k0,k30.(1)当9kk3,即3k6时,方程表示焦点在x轴上的椭圆;(2)当9kk3,即k6时,方程表示圆x2y23;(3)当9kk3,即6k9时,方程表示焦点在y轴上的椭圆类题通法依据椭圆标准方程的两种形式可知,焦点在哪一坐标轴上,哪一变量对应的分母大,即x2对应的分母大,焦点就在x轴上;y2对
5、应的分母大,焦点就在y轴上活学活用已知椭圆1的焦点在y轴上,若焦距为4,则m等于_解析:由题意得m210m0,解得6m10.又a2m2,b210m,则c2a2b22m124,解得m8.答案:8求椭圆的标准方程例2求满意下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0)解(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为1(ab0)将点(5,0)代入上式解得a5,又c4,所以b2a2c225169.故所求椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为1(ab0)因为椭圆
6、经过点(0,2)和(1,0),所以?故所求椭圆的标准方程为x21.类题通法确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在中心为原点的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以推断方程的形式;2)“定量”是指确定a2,b2的详细数值,常依据条件列方程求解活学活用求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过两点(2,),;(2)过点(,),且与椭圆1有相同的焦点解:(1)法一:若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得即a24,b28,则a2b2,与题设中
7、ab0冲突,舍去综上,所求椭圆的标准方程为1.法二:设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0,B0,AB)将两点(2,),代入,得解得所以所求椭圆的标准方程为1.(2)因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同,所以其焦点在y轴上,且c225916.设它的标准方程为1(ab0)因为c216,且c2a2b2,故a2b216.又点(,)在椭圆上,所以1,即1.由得b24,a220,所以所求椭圆的标准方程为1.椭圆的定义及其应用例3已知P为椭圆1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,F1PF260,求F1PF2的面积解在PF1F2中,|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60,即36|PF1|
8、2|PF2|2|PF1|PF2|.由椭圆的定义得|PF1|PF2|4,即48|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|.由得|PF1|PF2|4.S|PF1|PF2|sin60.类题通法(1)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上随意一点M到两焦点的距离之和必为2a.(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的PF1F2,称为焦点三角形解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理等学问求解活学活用已知椭圆1(ab0),F1,F2是它的焦点过F1的直线AB与椭圆交于A,B两点,求ABF2的周长
9、解:|AF1|AF2|2a,|BF1|BF2|2a,则ABF2的周长|AB|BF2|AF2|AF1|BF1|AF2|BF2|4a,ABF2的周长为4a.定义法是求轨迹方程的一种常用方法求解时,若能确定动点运动的轨迹满意某种已知曲线的定义,则可以利用这种已知曲线的定义干脆写出其方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法下面利用椭圆的定义求轨迹方程1求三角形顶点的轨迹方程例已知B,C是两个定点,|BC|8,且ABC的周长等于18,求这个三角形的顶点A的轨迹方程解以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy,如图所示由|BC|8,可知点B(4,0),C(4,0),c4.由|
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