第三单元 长方体和正方体的体积 2023-2024学年五年级数学下册重难点知识点(人教版)含答案.pdf
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1、人教版五年级数学下册同步重难点知识点 第三单元 长方体和正方体的体积 温馨提示:图片放大更清晰!温馨提示:图片放大更清晰!1.掌握长方体、正方体的特征,认识各个部分的名称。2.掌握长方体和正方体的表面积的计算方法。第三单元 长方体和正方体的体积 2023-2024学年五年级数学下册重难点知识点(人教版)3.理解体积的概念,掌握体积单位及体积单位之间的进率,能正确进行单位的换算。4.掌握长方体和正方体体积的计算方法。5.掌握容积的意义、容积单位间的进率及容积单位与体积单位的换算。6.会计算不规则物体的体积。1.长方体、正方体的特征。2.长方体、正方体表面积和体积的计算方法。用公式解决生活中的实际
2、问题。长方体是由六个长方形(特殊情况下有两个相对的面是正方形)围成的立体图形。一个长方体有 6 个面,相对的面完全相同;有 12 条棱,相对的棱长度相等;有 8 个顶点。正方体是(也叫立方体)是由六个完全相同的正方形围成的立体图形。一个正方体有 6 个面,每个面完全相同;有 12 条棱,每条棱长度相等;有 8 个顶点。长方体和正方体的展开图都有多种。利用长方体和正方体的展开图可以探究各个面之间的关系。长方体或正方体 6 个面的总面积,叫做它的表面积。长方体的表面积:(长宽+长高+宽高)2 正方体的表面积:棱长棱长6 物体所占空间的大小叫做物体的体积。重点:重点:难点:难点:知识点一:知识点一:
3、认识长方体认识长方体 知识点二:知识点二:认识正方体认识正方体 知识点三:知识点三:长方体、正方体的展开图长方体、正方体的展开图 知识点四:知识点四:长方体、正方体表面积的计算长方体、正方体表面积的计算 知识点五:知识点五:体积和体积单位体积和体积单位 计量体积要用体积单位,常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米,可以分别写成 cm、dm和 m。长方体的体积=长宽高 V=abh 正方体的体积=棱长棱长棱长 V=a3 长方体或正方体底面的面积叫底面积。长方体或正方体的体积=底面积高 V=Sh 1dm=1000cm 1m=1000dm 高级单位转换成为低级单位,用乘法进率,小数点向右移;低级单
4、位转化成高级单位,用除法进率,小数点向左移。在解决有关体积的实际问题时,要看清已知条件的单位是否统一,如果不统一,要先统一单位,再进行计算。计量容积,一般就用体积单位。计量液体的体积,如水、油等,常用容积单位升和毫升,也可以写成 L 和mL。1L=1000mL 1L=1dm 1mL=1cm 用排水法测量不规则物体的体积需要利用量筒或量杯记录下放入不规则物体前后水位的刻度,水面上升的部分水的体积就是不规则的物体的体积。我们在小学阶段学了很多数学知识,知识之间有着密切的联系。如图,在这种关系中,若 A 表示等腰三角形,则 B 可以表示等边三角形;若 A 表示长方体,则 B 可以表示();如果请你自
5、己来填,那么,知识点六:知识点六:长方体、正方体体积公式的推导长方体、正方体体积公式的推导 知识点七:知识点七:长方体、正方体体积公式的应用长方体、正方体体积公式的应用 知识点八:知识点八:体积单位间的进率体积单位间的进率 知识点九:知识点九:解决问题解决问题 知识点十:知识点十:容积和容积单位容积和容积单位 知识点十一:知识点十一:不规则物体体积的计算不规则物体体积的计算 例例 1 1:若 A 表示(),则 B 可以表示()。答案:正方体 长方形 正方形 分析:等边三角形是特殊的等腰三角形,正方形是特殊的长方形,正方体是特殊的长方体,含有未知数的等式就是方程,据此解答即可。详解:若 A 表示
6、长方体,则 B 可以表示正方体;若 A 表示长方形,则 B 可以表示正方形;或者若 A 表示等式,则 B 可以表示方程。(后两空答案不唯一)把一个棱长和是 32dm 的长方体包装盒,从最长的棱中间切开,正好得到两个无盖的正方体盒子。这个长方体包装盒的表面积是()。答案:40dm2/40 平方分米 分析:根据从最长的棱中间切开,正好得到两个无盖的正方体盒子,即长方体的四个长棱,八个短棱,一个长棱等于两个短棱,所以有 428 个短棱,设短棱长为 x,列式求出一个短棱的长度,再根据正方形的面积边长边长,把几个面相加即可解答。详解:解:设短棱长为 x,16x32 16x163216 x2 侧面积是:2
7、44 84 32(dm2)底面积是:224(dm2)3244 364 40(dm2)这个长方体包装盒的表面积是 40dm2。例例 2 2:例例 3 3:用18个棱长1dm的小正方体拼成一个长方体,有()种拼法,拼成的长方体的体积是()dm3,拼成的长方体的表面积最大是()dm2。答案:4 18 74 分析:棱长 1dm 的小正方体,体积是 1111(dm3),则用 18 个棱长 1dm 的小正方体拼成的长方体,体积是 18dm3。长方体的体积长宽高,据此把 18 分解成三个自然数相乘的形式,即是长方形的长、宽、高。长方体的表面积(长宽长高宽高)2,据此分别代入数据求出各长方体的表面积,从中找出
8、最大的表面积即可。详解:1111(dm3)11818(dm3)181811921631332,每组的三个乘数即是长方形的长、宽、高。(18118111)2(18181)2 372 74(dm2)(929121)2(1892)2 292 58(dm2)(636131)2(1863)2 272 54(dm2)(333232)2(966)2 212 42(dm2)74585442 则用 18 个棱长 1dm 的小正方体拼成一个长方体,有 4 种拼法,拼成的长方体的体积是 18dm3,拼成的长方体的表面积最大是 74dm2。如图。(1)用彩带捆扎这样的一个礼盒,至少需要多长的彩带?(接头处 12 厘米
9、)(2)如果把两个这样的礼盒装在一起用彩纸包装,最少需要用多少包装纸?(3)把这样的礼盒放在一个大包装箱里,每行摆 4 盒,摆了 3 行,共 2 层,正好摆满,这个大包装箱的容积是多少立方米?答案:(1)122 厘米;(2)2000 平方厘米;(3)0.072 立方米 分析:(1)观察图片可知,彩带的长度包括长方体的两条长、两条宽、四条高和接头处的长度,据此解答。(2)礼盒的上、下面是 6 个面中面积最大的面,则把两个这样的礼盒上、下摞在一起最省包装纸。组成的长方体的长是 20 厘米,宽是 15 厘米,高是 10220(厘米),根据长方体的表面积(长宽长高宽高)2,代入数据计算即可求出最少需要
10、用多少包装纸。(3)每行摆 4 盒,摆了 3 行,共 2 层,则这个大包装箱的长、宽、高分别是 20480(厘米)、15345(厘米)、10220(厘米),根据长方体的容积长宽高,代入数据即可解答。最后化成以立方米为单位的数。详解:(1)20215210412 40304012 122(厘米)答:至少需要 122 厘米的彩带。(2)10220(厘米)(201515202020)2(300300400)2 10002 2000(平方厘米)例例 4 4:答:最少需要用 2000 平方厘米包装纸。(3)20480(厘米)15345(厘米)10220(厘米)80452072000(立方厘米)0.072
11、 立方米 答:这个大包装箱的容积是 0.072 立方米。李叔叔用纸板做一个无盖的长方体纸盒。已经做好了两个相邻的面(如下图所示)。如果照这个规格接着做,可以制作一些不同的无盖纸盒,在这些不同的无盖纸盒中,需要纸板面积最大的是多少平方分米?答案:224 平方分米 分析:李叔叔做了无盖的长方体纸盒,由图可得:纸盒的长、宽、高分别为 10 分米、4 分米、6 分米;由于是做无盖纸盒,则做成的纸盒只有 5 个面,要使所需纸板面积最大,则空出来的一面面积最小,即宽、高组成的面面积最小,根据无盖纸盒表面积=(长宽+长高)2+宽高,据此可得出答案。详解:需要纸板面积最大为:10 6 10 424 6+()6
12、040224=+()100 224=+20024=+224=(平方分米)答:需要纸板面积最大的是 224 平方分米。“冰立方”是长和宽均为 177 米,高为 31 米的长方体建筑。国家游泳中心从“水立方”到“冰立方”的自由转换高度切合了绿色共享的办奥理念,是世界上唯一水上项目和冰上项目均可运行的“双奥”场馆。小亮想利用一根长 56.6 厘米的铁丝搭建出一个长 6.5 厘米、宽 6.5 厘米的“冰立方”的模型,这个“冰立例例 5 5:例例 6 6:方”的高为多少厘米?答案:1.15 厘米 分析:“冰立方”是一个长方体,根据题意可知,小亮想利用一根长 56.6 厘米的铁丝做一个长方体,即长方体的棱
13、长和为 56.6 厘米,已知长方体的长 6.5 厘米、宽 6.5 厘米,根据长方体的棱长和(长宽高)4,所以长方体的高棱长和4长宽,由此可计算出这个“冰立方”模型的高。详解:56.646.56.5 14.156.56.5 7.656.5 1.15(厘米)答:这个“冰立方”模型的高为 1.15 厘米。一、选择题一、选择题 1有一根铁丝,恰好可以围成长 6 厘米、宽 3 厘米、高 3 厘米的长方体框架,这根铁丝恰好也可以围成一个正方体框架,则围成的正方体框架的棱长是()厘米。A1 B4 C8 D16 2正方体的棱长扩大到原来的 3 倍,它的棱长总和就扩大到原来的()倍。A3 B6 C9 D27 3
14、我们可以借助图形来表达数学知识之间的关系。下面选项中,这些知识间的关系表达错误的是()。A B C D 4一根 2 米长的长方体木料,把它锯成 3 段,表面积增加了 24 平方分米,这根长方体木料的横截面积是()。A4 平方分米 B6 平方分米 C8 平方分米 D12 平方分米 5用一根铁丝围成长 8 厘米,宽 6 厘米,高 4 厘米的长方体框架,如果用同样长的铁丝围成一个正方体框架,这个正方体的表面积是()。A192 平方厘米 B216 平方厘米 C72 厘米 D216 厘米 6一个长方体的长、宽、高分别是 a 厘米、b 厘米和 h 厘米,如果长方体的长和高不变,宽增加 3 厘米,长方体的体
15、积增加()立方厘米。A3ah B3abh Cabh D3b 7 将长 5 分米、宽 3 分米、高 6 分米的一块长方体木料锯成最大的正方体,这个正方体的体积是()立方分米。A27 B90 C125 D216 二、填空题二、填空题 8 某工程队计划挖一个长为 5 米,宽为 3 米、深为 2.5 米的长方形蓄水池,这个蓄水池的占地面积是()平方米。9如图,这个长方体纸盒长、宽、高的和是()厘米,棱长之和是()厘米。它的()面和()面是完全相同的正方形,面积都是()平方厘米。10一个长 20cm、宽 6cm、高 18cm 的长方体木盒,需要用彩纸包装,至少需要()cm2的彩纸(重叠部分忽略不计)。1
16、1已知一个长方体的底面周长是 15cm,高是 6cm,那么这个长方体的棱长总和是()cm,若给这个长方体的四周(不含上下两面)涂上颜色,则涂色面积是()cm2。12如图,小明把送给妈妈的生日礼物放在一个长 5dm、宽 4dm、高 3dm 的长方体盒子里,包装这个盒子至少需要()dm2的包装纸;如果在它的外面打上“十字形”的彩带,那么至少需要()dm 长的彩带(接头处长 2.5dm)。130.06 立方分米()立方厘米 345 毫升()升 2.05 立方米()立方分米 80 立方厘米()毫升 14一个长方体玻璃容器,从里面量长、宽均为 20 厘米,向容器中倒入 6 升水,再把一个苹果放入水中,当
17、苹果完全淹没在水中时,量得容器内的水深是 17 厘米。这个苹果的体积是()立方厘米。15 一个正方体的快递包装盒,给它的每条棱上都贴上胶带,共用去 84 厘米的胶带,那么表面积是()平方厘米,体积是()立方厘米。三、判断题三、判断题 16在探索长方体体积计算公式的时候用到了类推的思想方法。()17一个铁桶可装水 25 升,这个铁桶的体积一定是 25 立方分米。()18将两个完全一样的小正方体拼成一个,那么原来每个小正方体的表面积是拼成的长方体表面积的35。()19把 3 个棱长为 1 厘米的正方体拼成 1 个长方体,表面积减少了 3 平方厘米。()20从某一角度看一个长方体,可以看到四个面。(
18、)21正方体 6 个面都是正方形,长方体 6 个面都是长方形。()四、计算题四、计算题 22求下列图形的表面积和棱长和。23计算下面图形的体积。五、解答题五、解答题 24 一个表面积是 96 平方厘米的正方体,把它截成 5 个完全相同的长方体后,表面积增加了多少平方厘米?25 2008 年北京奥运会国家游泳中心是一个半透明的“方盒子”(如下图)。底面是边长为 177 米的正方形,高为 30 米,被称为“水立方”。“水立方”的表面积有多少平方米?26把一根长 5 米的长方体木料沿着横截面截成 3 段,表面积增加了 24 平方分米,原来这根木料的体积是多少立方米?27南京奥体中心的体育场里部分场馆
19、翻修,铺设了 20 块长 30 米、宽 3.5 米、厚 0.3 分米的木质地板,所铺地板的体积一共是多少立方米?28如图,一个正方体玻璃容器(无盖)的棱长是 2 分米。向容器中倒入 5 升水,再把一个土豆没入水中。这时量得容器内水深 14 厘米。土豆的体积是多少?(玻璃的厚度忽略不计)29为激发大家拼接、创作兴趣,培养小学生构建思维的能力,人民小学举办了第一届学生手工艺作品比赛。子玉准备了 A、B 两种尺寸的废弃硬纸板各若干张,请你帮子玉从中选出 5 张同尺寸的硬纸板制作成一 个收集废品的收纳箱。(不能裁剪)(1)请计算做成的收纳箱需要多少平方分米的硬纸板。(2)请计算做成的收纳箱的容积是多少
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