《广东省3月模拟考真题汇编:数列篇含答案.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《广东省3月模拟考真题汇编:数列篇含答案.pdf(12页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、1广东省3 3月模拟考真题汇编:数列篇一、单选题1(20242024 广东深圳广东深圳 一模一模)由0,2,4组成可重复数字的自然数,按从小到大的顺序排成的数列记为an,即a1=0,a2=2,a3=4,,若an=2024,则n=()A.34B.33C.32D.302(20242024 广东深圳广东深圳 一模一模)已知数列 an满足a1=a2=1,an+2=an+2,n=2k-1-an,n=2k(kN),若Sn为数列 an的前n项和,则S50=()A.624B.625C.626D.6503(20242024 广东汕头广东汕头 一模一模)在3与15之间插入3个数,使这5个数成等差数列,则插入的3个
2、数之和为()A.21B.24C.27D.304(20242024 广东广东 模拟预测模拟预测)已知等比数列 an的各项均为正数,若a4=2,a8=6,则a6=()A.4B.2 3C.3D.3 35(20242024 广东江门广东江门 一模一模)已知 an是等比数列,a3a5=8a4,且a2,a6是方程x2-34x+m=0两根,则m=()A.8B.-8C.64D.-646(20242024 广东佛山广东佛山 二模二模)设数列 an的前n项之积为Tn,满足an+2Tn=1(nN*),则a2024=()A.10111012B.10111013C.40474049D.404840497(2024202
3、4 广东广州广东广州 一模一模)记Sn为等比数列 an的前n项和,若a3a5=2a2a4,则S4S2=()A.5B.4C.3D.22二、填空题8(20242024 广东广州广东广州 一模一模)已知数列 an的前n项和Sn=n2+n,当Sn+9an取最小值时,n=.三、解答题9(20242024 广东深圳广东深圳 一模一模)设Sn为数列 an的前n项和,已知a2=4,S4=20,且Snn 为等差数列(1)求证:数列 an为等差数列;(2)若数列 bn满足b1=6,且bn+1bn=anan+2,设Tn为数列 bn的前n项和,集合M=TnTnN N*,求M(用列举法表示)10(20242024 广东
4、广州广东广州 二模二模)已知数列 an中,a1=1,a1+12a2+13a3+1nan=an+1-1 nN*.(1)求数列 an的通项公式;(2)令bn=2nan,记Tn为 bn的前n项和,证明:n3时,Tnn 2n+1-4.311(20242024 广东佛山广东佛山 模拟预测模拟预测)已知数列 an满足am+2n=an+2m m,nN N*,且a3=5(1)求数列 an的通项公式;(2)证明:a13+a232+an3n112(20222022 广东汕头广东汕头 一模一模)已知数列an和bn,其中bn=2an,nN*,数列an+bn的前n项和为Sn(1)若an=2n,求Sn;(2)若bn是各项
5、为正的等比数列,Sn=3n,求数列an和bn的通项公式13(20242024 广东百日冲刺广东百日冲刺 模拟预测模拟预测)已知数列 an的前n项和为Sn,且Sn=3n2+6n(1)求 an的通项公式;(2)设bn=9anan+1,求数列 bn的前n项和Tn414(20242024 广东广东 一模一模)已知数列 an的前n项和为Sn,n为正整数,且3 Sn-n=4 an-2(1)求证数列 an-1是等比数列,并求数列 an的通项公式;(2)若点P an-1,bn+23在函数y=log4x的图象上,且数列 cn满足cn=(-1)n+16n-1bnbn+1,求数列 cn的前n项和Tn15(20242
6、024 广东佛山广东佛山 二模二模)已知数列 an满足a1=1,an+1=an+1,n为奇数3an,n为偶数,且bn=a2n+1-a2n-1(1)证明 bn为等比数列,并求数列 bn的通项公式;(2)设cn=bn-5bn+1-5,且数列 cn的前n项和为Tn,证明:当n2时,1213n-1-33Tn-nln3n3n-1-11广东省3 3月模拟考真题汇编:数列篇一、单选题1(20242024 广东深圳广东深圳 一模一模)由0,2,4组成可重复数字的自然数,按从小到大的顺序排成的数列记为an,即a1=0,a2=2,a3=4,,若an=2024,则n=()A.34B.33C.32D.30【答案】B【
7、详解】由0,2,4组成可重复数字的自然数,按从小到大的顺序排成数列an,则一位自然数有3个,两位自然数有32-3=6个,三位自然数有33-9=18个,四位自然数有34-27=54个,又四位自然数为2000,2002,2004,2020,2022,2024,2024为四位自然数中的第6个,所以n=3+6+18+6=33.故选:B2(20242024 广东深圳广东深圳 一模一模)已知数列 an满足a1=a2=1,an+2=an+2,n=2k-1-an,n=2k(kN),若Sn为数列 an的前n项和,则S50=()A.624B.625C.626D.650【答案】C【详解】数列 an中,a1=a2=1
8、,an+2=an+2,n=2k-1-an,n=2k(kN),当n=2k-1,kN时,an+2-an=2,即数列 an的奇数项构成等差数列,其首项为1,公差为2,则a1+a3+a5+a49=251+252422=625,当n=2k,kN时,an+2an=-1,即数列 an的偶数项构成等比数列,其首项为1,公比为-1,则a2+a4+a6+a50=11-(-1)251-(-1)=1,所以S50=(a1+a3+a5+a49)+(a2+a4+a6+a50)=626.故选:C3(20242024 广东汕头广东汕头 一模一模)在3与15之间插入3个数,使这5个数成等差数列,则插入的3个数之和为()A.21B
9、.24C.27D.30【答案】C【详解】令插入的3个数依次为a1,a2,a3,即3,a1,a2,a3,15成等差数列,因此2a2=3+15,解得a2=9,2所以插入的3个数之和为a1+a2+a3=3a2=27.故选:C4(20242024 广东广东 模拟预测模拟预测)已知等比数列 an的各项均为正数,若a4=2,a8=6,则a6=()A.4B.2 3C.3D.3 3【答案】B【详解】因为等比数列 an的各项均为正数,所以a4a8=a26=12,所以a6=2 3.故选:B5(20242024 广东江门广东江门 一模一模)已知 an是等比数列,a3a5=8a4,且a2,a6是方程x2-34x+m=
10、0两根,则m=()A.8B.-8C.64D.-64【答案】C【详解】因为 an是等比数列,所以a3a5=a24,a2a6=a24,又a3a5=8a4,所以a4=8,又a2,a6是方程x2-34x+m=0两根,所以m=a2a6=a24=64.故选:C6(20242024 广东佛山广东佛山 二模二模)设数列 an的前n项之积为Tn,满足an+2Tn=1(nN*),则a2024=()A.10111012B.10111013C.40474049D.40484049【答案】C【详解】因为an+2Tn=1(nN*),所以a1+2T1=1,即a1+2a1=1,所以a1=13,所以TnTn-1+2Tn=1(n
11、2,nN*),所以1Tn-1Tn-1=2(n2,nN*),所以数列1Tn 是首项为1T1=1a1=3,公差为2的等差数列,所以1Tn=3+2(n-1)=2n+1,即Tn=12n+1,所以a2024=T2024T2023=122024+1122023+1=40474049故选:C37(20242024 广东广州广东广州 一模一模)记Sn为等比数列 an的前n项和,若a3a5=2a2a4,则S4S2=()A.5B.4C.3D.2【答案】C【详解】根据题意,设等比数列an的公比为q,若a3a5=2a2a4,即a3a5a2a4=q2=2,故S4S2=a1(1-q4)1-qa1(1-q2)1-q=1+q
12、2=3故选:C二、填空题8(20242024 广东广州广东广州 一模一模)已知数列 an的前n项和Sn=n2+n,当Sn+9an取最小值时,n=.【答案】3【详解】因为Sn=n2+n,则当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-n-12-n-1=2n,又当n=1时,a1=S1=2,满足an=2n,故an=2n;则Sn+9an=n2+n+92n=12n+9n+12,又y=x+9x,x1在 1,3单调递减,在 3,+单调递增;故当n=3时,n+9n取得最小值,也即n=3时,Sn+9an取得最小值.故答案为:3.三、解答题9(20242024 广东深圳广东深圳 一模一模)设Sn为数列 an的前n项和
13、,已知a2=4,S4=20,且Snn 为等差数列(1)求证:数列 an为等差数列;(2)若数列 bn满足b1=6,且bn+1bn=anan+2,设Tn为数列 bn的前n项和,集合M=TnTnN N*,求M(用列举法表示)【答案】(1)证明见解析(2)M=6,8,9,10,11【详解】(1)设等差数列Snn 的公差为d,则S44=S11+3d,即S1+3d=5,因为S2=a1+a2=S1+4,所以由S22=S11+d,得S1+2d=4由、解得S1=2,d=1,所以Snn=n+1,即Sn=n n+1,4当n2时,an=Sn-Sn-1=n n+1-n-1n=2n,当n=1时,a1=S1=2,上式也成
14、立,所以an=2n nN N*,所以数列 an是等差数列(2)由(1)可知bn+1bn=anan+2=2n2n+4=nn+2,当n2时,bn=bnbn-1bn-1bn-2b2b1b1=n-1n+1n-2n136=12n n+1,因为b1=6满足上式,所以bn=12n n+1=121n-1n+1nN N*Tn=121-12+12-13+1n-1n+1=12 1-1n+1=12-12n+1,因为当12n+1N N*时,n=1,2,3,5,11,所以M=6,8,9,10,1110(20242024 广东广州广东广州 二模二模)已知数列 an中,a1=1,a1+12a2+13a3+1nan=an+1-
15、1 nN*.(1)求数列 an的通项公式;(2)令bn=2nan,记Tn为 bn的前n项和,证明:n3时,Tnn 2n+1-4.【答案】(1)an=n(2)证明见解析【详解】(1)因为a1+12a2+13a3+1nan=an+1-1,所以a1+12a2+13a3+1nan+1n+1an+1=an+2-1,作差可得1n+1an+1=an+2-an+1,变形为an+1=n+1an+2-n+1an+1,即an+1an+2=n+1n+2,即a2a3a3a4an+1an+2=2334n+1n+2,化简为a2an+2=2n+2,因为a1=1,a1+12a2=a2-1a2=2,所以an+2=n+2,因为an
16、+1an+2=n+1n+2anan+2=nn+2an=n,所以数列 an的通项公式为an=n.(2)因为bn=2nan=n2n,公众号:慧博高中数学最新试题所以Tn=12+222+n2n,2Tn=122+223+n2n+1,作差可得-Tn=2+22+2n-n2n+1=2 1-2n1-2-n2n+1,所以Tn=n-12n+1+2,Tn-n 2n+1-4=n-12n+1+2-n 2n+1-4=-2n+1+4n+2,设 f x=-22x+4x+2,x3,则 fx=-22xln2+4在给定区间上递减,又 f3=-16ln2+405故 f x在 3,+是减函数,f xmax=f 3=-24+43+2=-
17、20,所以当n3时,Tnn 2n+1-4.11(20242024 广东佛山广东佛山 模拟预测模拟预测)已知数列 an满足am+2n=an+2m m,nN N*,且a3=5(1)求数列 an的通项公式;(2)证明:a13+a232+an3n1【答案】(1)an=2n-1(2)证明过程见解析【详解】(1)am-2m=an-2n,故 an-2n为常数列,其中a3=5,故a3-6=5-6=-1,故an-2n=-1,即an=2n-1;(2)bn=an3n=2n-13n,设 bn的前n项和为Tn,则Tn=13+332+2n-13n,13Tn=132+333+2n-13n+1,两式-得,23Tn=13+23
18、2+233+23n-2n-13n+1=13+232-23n+11-13-2n-13n+1=23-2+2n3n+1,故Tn=1-n+13n1.12(20222022 广东汕头广东汕头 一模一模)已知数列an和bn,其中bn=2an,nN*,数列an+bn的前n项和为Sn(1)若an=2n,求Sn;(2)若bn是各项为正的等比数列,Sn=3n,求数列an和bn的通项公式【答案】(1)Sn=n2+n+43(4n-1)(2)an=1,bn=2【详解】(1)解:当n2时,an-an-1=2n-2(n-1)=2,从而an是等差数列,an=2n,bnbn-1=2an2an-1=2an-an-1=4,所以bn
19、是等比数列,又b1=2a1=22=4,则bn=44n-1=4n,所以Sn=n(2+2n)2+4(1-4n)1-4=n2+n+43(4n-1)(2)解:bn是各项为正的等比数列,设其首项为b1,公比为q,由bn=2an,可得an=log2bn,则an+1-an=log2bn+1-log2bn=log2q,(定值)6则数列an为等差数列,设其首项为a1,公差为d,由数列an+bn的前n项和Sn=3n,可得方程组a1+b1=3a1+d+b1q=3a1+2d+b1q2=3a1+3d+b1q3=3,整理得d+b1q2-b1q=0d+b1q3-b1q2=0,解得:b1q(q-1)2=0,b10,q0,q=
20、1且d=0,由a1+2a1=3,可得a1=1,则b1=2,则数列an的通项公式为an=1;数列bn的通项公式为bn=2【点睛】本题考查数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式求出数列的通项公式,是难题公众号:慧博高中数学最新试题13(20242024 广东百日冲刺广东百日冲刺 模拟预测模拟预测)已知数列 an的前n项和为Sn,且Sn=3n2+6n(1)求 an的通项公式;(2)设bn=9anan+1,求数列 bn的前n项和Tn【答案】(1)an=6n+3,nN*(2)Tn=n3 2n+3,nN*【详解】(1)由题意a1=S1=9,当n2,nN*时,an=Sn-Sn-1
21、=3n2+6n-3 n-12-6 n-1=6n+3,且a1=6+3=9满足上式,所以an=6n+3,nN*.(2)由题意bn=9anan+1=96n+36n+9=12n+12n+3=1212n+1-12n+3,所以Tn=1213-15+15-17+12n+1-12n+3=1213-12n+3=n3 2n+3.14(20242024 广东广东 一模一模)已知数列 an的前n项和为Sn,n为正整数,且3 Sn-n=4 an-2(1)求证数列 an-1是等比数列,并求数列 an的通项公式;(2)若点P an-1,bn+23在函数y=log4x的图象上,且数列 cn满足cn=(-1)n+16n-1bn
22、bn+1,求数列 cn的前n项和Tn【答案】(1)证明见解析,an=4n+1(2)Tn=3n3n+1,n为偶数3n+23n+1,n为奇数【详解】(1)当n=1时,3(a1-1)=4(a1-2),解得a1=5,当n2时,由3 Sn-n=4 an-2可得3 Sn-1-n+1=4 an-1-2,7两式相减可得,an=4an-1-3,即an-1=4 an-1-1,所以数列 an-1是以5-1=4为首项,4为公比的等比数列,所以an-1=44n-1=4n,即an=4n+1.(2)点P an-1,bn+23在函数y=log4x的图象上,所以bn+23=log4an-1=log44n=n,即bn=3n-2,
23、所以cn=(-1)n+16n-1bnbn+1=(-1)n+16n-13n-2(3n+1)=(-1)n+113n-2+13n+1,当n=2k,kN时,Tn=c1+c2+cn=1+14-14+17+-13n-2+13n+1=1-13n+1=3n3n+1,当n=2k-1,kN时,Tn=c1+c2+cn-1+cn=3n-33n-2+cn=3n-33n-2+13n-2+13n+1=1+13n+1=3n+23n+1综上,Tn=3n3n+1,n为偶数3n+23n+1,n为奇数 15(20242024 广东佛山广东佛山 二模二模)已知数列 an满足a1=1,an+1=an+1,n为奇数3an,n为偶数,且bn
24、=a2n+1-a2n-1(1)证明 bn为等比数列,并求数列 bn的通项公式;(2)设cn=bn-5bn+1-5,且数列 cn的前n项和为Tn,证明:当n2时,1213n-1-33Tn-nan,所以a2n+1-a2n-10,因为bn+1bn=a2n+3-a2n+1a2n+1-a2n-1=3a2n+2-3a2na2n+1-a2n-1=3 a2n+1+1-3 a2n-1+1a2n+1-a2n-1=3 a2n+1-a2n-1a2n+1-a2n-1=3所以 bn是等比数列,首项b1=5,公比q=3,所以bn=53n-1(2)由(1)可得cn=bn-5bn+1-5=53n-1-553n-5=3n-1-1
25、3n-1,先证明左边:即证明1213n-1-33n-1-13n=13-13n,所以Tn13-131+13-132+13-13n=n3-131-13n1-13=n3-121-13n,所以3Tn-n1213n-1-3,再证明右边:3Tn-nln3n3n-1-1,因为cn=3n-1-13n-1=133n-33n-1=131-23n-1131-23n=13-23n+1,所以Tn13-232+13-233+13-23n+1=n3-2321-13n1-13=n3-13+13n+1,即3Tn-n13n-1,下面证明13n-1ln3n3n-1-1,即证13nln3n3n-1,即证13n0,所以函数 f t=lnt+1-t在t23,1上单调递增,则 f t f 1=0,即1-t-lnt,t23,1,所以13n-ln 1-13n,所以3Tn-n13n-1ln3n3n-1-1综上,1213n-1-33Tn-nln3n3n-1-1【点睛】方法点睛:数列不等式的证明方法主要有:(1)作差比较法:不等式两边作差与0比较大小.(2)放缩比较法:对表达式适当放缩,证出不等式.
限制150内