1基本概念及一次同余式说课讲解.docx
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1、1基本概念及一次同余式1基本概念及一次同余式定义设“X)=c/+%+ +g,其中心OMi(i=0,L川是整数,又设m0,则/(x)三 0(nKd4?)(1)叫做模机的同余式。若耳声O(modm),贝IJ 叫做同余式的次数。如果M满足 了(%)三B(modm),则X三七(mod叫做同余式(1)的解。不同余的解指 互不同 余的解。当机及都比较小时,可以用验算法求解同余式。如例1同余式A5+ 2a4+ x3+ 2x2-2jv+3= 0(mod7)仅有解 x=l,5,6(mod7).例2同余式A 勺三 0(modl6)有8个解A=l,3, 5,7,9,11,13,15 (mod 16)例3同余式Xo
2、+ 3 三 O(niod5)无解。定理一次同余式(2)av 三 O(InOd ?)M R O (mod/H)JHx= xQ +一(mod w?),左=01,d-1(4)d证易知同余式有解的充要条件是不定方程ax - tny + b(5)有解。而不定方程有解的充要条件为(。, 7)二(。一叫.当同余式有解时,若A。是满足的一个整数,则- in Aa xq + 一k切(mod 刈,攵=O,L ,d-L Nd)下证a +犯,攵=0,1,T对模,两两部同余。设axo + -k三xo + -k(modnj),0k d-l,kf d-l d dmi m i m/ tn A .i mff,则一A三一 A m
3、od f7 A =k (modcA = ha a la)再证满足的任意一个整数看都会与某一个X0 + 2M0&df Cl 对模,同余。由COCQ三 b(mod/X),aY三,(InOd?)得Cixi = cixQ (mod , :Xi 三二/ modg 为 三七沅a a a)d.故存在整数/使得X=由带余除法,存在整数/我使得i = dq + hO83(modl05).故同余式的解为X 三-3403 (mod 105)即x=62(modl05).习题1 .求下列同余式的解:(1) 256.r=179(mod337). ( ii) 1215 元三 560QnOd2755).(111) 1296X
4、 三 1125(mod935).解(i)因匕 56 33710O13、4 -251192561011T 104 -7981,-13、-25H81 14-11-3I;(10104 _*79故(256,337) = 1,于是该同余式有解,且对模337有唯一解。并且256x104 + 337x(-79) = 1, 256x(104x179) + 337x(-60)xl791= 179,256x(104x179)三 179(mod337),但是 104x179= 18616 三 81(mod337),故 256x81 三 179(337).于是该同余式的唯一解为X = 81( mod 337).(ii
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