2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第8炼 函数方程问题的分析含答案.doc
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1、2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第8炼 函数方程问题的分析含答案第8炼 函数方程问题的分析一、基础知识:1、函数方程:含有未知函数的等式叫做函数方程,例如:都可称为函数方程。在高中阶段,涉及到函数方程有以下几个类型:(1)表示函数的某种性质:例如体现是偶函数;体现是周期为1的周期函数(可详见“函数对称性与周期性”一节)(2)可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式:例如:,可用代替得,即 (3)函数方程也是关于变量的恒等式,所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值2、双变量函数方程的赋值方法:(1)对均赋特殊值,以得到某些点的函数值,其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用,比如,
2、在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域。(2)其中某一个变量不变,另一个赋特殊值,可得到单变量的恒等式,通常用于推断函数的性质3、常见函数所符合的函数方程:在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理,但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程(1): (2): (3) 当时,: 当时,:二、典型例题例1:已知函数对任意的均有,且当时,(1)求证:为奇函数(2)求证:为上的增函数(1)思路:要证明奇函数,则需要出现在同一等式中,所以考虑令,则有,再通过代入特殊值计算出即可解:(1)令,则 令,则解得为奇函数(2)思路:要证明单调递增,则需任取,且,去证明与的大小,结合等式,则需要让与分
3、居等号的两侧,才能进行作差。所以考虑,进而。只需判断的符号即可解:任取,且,令,代入方程可得: ,依题意可得:即为增函数小炼有话说:第(2)问将拆分为是本题证明的亮点,达到了让与分居等号的两侧的目的例2:已知定义在上的函数,对于任意实数都满足,且,当时,(1)求的值(2)求证:在上是增函数(3)求不等式:的解集解:(1)令,则有,解得或令可得: (2)思路:考虑证明单调递增,则需构造出,即可设且令,则有,从而,由和已知条件可得:所以需要证明,即,可考虑结合题目条件和,令,则有,从而单调性可证证明:,则令,代入函数方程有: ,下证由已知可得,时,所以只需证明时,令 ,即在上单调递增(3)思路:本
4、题并没有的解析式,所以考虑利用函数的单调性求解。由(1)(2)问可得,从而,再根据单调性即可得到关于的不等式,解出不等式即可解: ,且 由(2)可得单调递增解得例3:定义在的函数满足关系,当时,若,则的大小关系为( )A. B. C. D. 思路:由比较函数值大小联想到考虑函数的单调性,先化简,由可得:,令解得:,即,所给方程左边已经作差,所以考虑,则,因为,所以,从而,即,得到在单调递增,所以答案:D小炼有话说:本题在证明单调性时,因为考虑了中自变量的取值,所以只需考虑的单调性,缩小的范围使得判断的范围较容易。但也可将在中任取,但是在判断的范围会比较复杂,可利用不等式的等价变形来证:假设,因
5、为 且 由可得成立,从而例4:函数的定义域为,满足,在区间上单调递增,若满足,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 思路:从所求中发现互为相反数,所以联想到判定是否具有奇偶性。令,则有,需求出:令,则,再令,则,所以,为偶函数。所以,所解不等式为,因为为偶函数,且区间上单调递增,所以自变量距离轴越近,则函数值越小,所以,即,解得,因为,所以的范围为答案:D例5:设角的终边在第一象限,函数的定义域为,且,当时,有,则使等式成立的的集合为 思路:首先从所求出发,由确定代入的特殊值。令得:,则下一步需要确定的值,令,则有,所以,由角的终边在第一象限可得:,从而的集合为答案:例6:定义在上的
6、函数满足:对于任意的,有,且时,有,设的最大值和最小值分别为,则的值为( )A. B. C. D. 思路:由最值联想到函数的单调性,从而先考虑证明单调,令(其中),则可证明为增函数,从而,再利用函数方程求出的值即可解:,且,令代入函数方程可得:, 在单调递增 令,可得:答案:D例7:已知函数满足:,对任意实数都有,则( )A. B. C. D. 思路:由所求出发可考虑判断是否具备周期性,令,可得,即,所以,两式相加可得,则可判定的周期为6,由可得:,即,由可得,则,从而,所以,且答案:B例8:已知是定义在上的函数,且对任意的,都有,那么_思路:函数方程为“和积”的特点,抓住,可发现令,则,所以
7、可得:自变量间隔,,其函数值的和为0,所以将求和的式子两两一组,即:答案:例9:设函数的定义域为,且对,都有,则的解析式为_思路:观察到右边的结构并非的轮换对称式,考虑其中一个变量不变,另一个变量赋值为1,则时, ,时, ,则求是关键,结合,可令,则,代入到可得:,即,消去解得:答案::例10:已知函数是定义在上不恒为的函数,且对于任意的实数满足,考察下列结论: 为奇函数 数列为等差数列 数列为等比数列,其中正确的个数为( ) A B C D 思路:考虑按照选项对函数方程中的进行赋值。计算,令,可得;令,则,所以,正确 使等式中出现,令,则,需要计算出,结合方程可令,则有,即,所以,为奇函数,
8、正确 从等差数列定义出发,考虑递推公式,因为,所以可得:,从而判定为等差数列,正确若按照等比数列定义,考虑,则不易于进行化简。可由出发得到的表达式:,所以,即,所以,从而可判定是一个等比数列,正确答案:D第9炼 零点存在的判定与证明一、基础知识:1、函数的零点:一般的,对于函数,我们把方程的实数根叫作函数的零点。2、零点存在性定理:如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内必有零点,即,使得 注:零点存在性定理使用的前提是在区间连续,如果是分段的,那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响:如果一个连续函数是单调函数,那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点
9、的个数前,可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”(假设在区间连续)(1)若,则“一定”存在零点,但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图像,如果单调,则“一定”只有一个零点(2)若,则“不一定”存在零点,也“不一定”没有零点。如果单调,那么“一定”没有零点(3)如果在区间中存在零点,则的符号是“不确定”的,受函数性质与图像影响。如果单调,则一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号:是一个在单增连续函数,是的零点,且,则时,;时,6、判断函数单调性的方法:(1)可直接判断的几个结论: 若为增(减)函数,则也为增(减)函数 若为增函数,则为减函数;同样,若为减函数,则为增函数
10、若为增函数,且,则为增函数(2)复合函数单调性:判断的单调性可分别判断与的单调性(注意要利用的范围求出的范围),若,均为增函数或均为减函数,则单调递增;若,一增一减,则单调递减(此规律可简记为“同增异减”)(3)利用导数进行判断求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤:(1)将所证等式中的所有项移至等号一侧,以便于构造函数(2)判断是否要对表达式进行合理变形,然后将表达式设为函数 (3)分析函数的性质,并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间(4)利用零点存在性定理证明零点存在例1:函数的零点所在的一个区间是( )A. B. C. D. 思路:函数为增函数,所以只需代入每个选项区间
11、的端点,判断函数值是否异号即可解: , ,使得 答案:C例2:函数的零点所在的大致区间是( )A. B. C. D. 思路:先能判断出为增函数,然后利用零点存在性判定定理,只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。时,从而,所以,使得 答案:A小炼有话说:(1)本题在处理时,是利用对数的性质得到其的一个趋势,从而确定符号。那么处理零点问题遇到无法计算的点时也要善于估计函数值的取向。(2)本题在估计出时,后,也可举一个具体的函数值为负数的例子来说明,比如。正是在已分析清楚函数趋势的前提下,才能保证快速找到合适的例子。例3:(2010,浙江)已知是函数的一个零点,若,则( )A. B. C. D.
12、思路:条件给出了的零点,且可以分析出在为连续的增函数,所以结合函数性质可得 答案:B例4:已知函数,当时,函数的零点,则_思路:由的范围和解析式可判断出为增函数,所以是唯一的零点。考虑,所以,从而 答案: 例5:定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”,若的“新驻点”分别为,则( )A. B. C. D. 思路:可先求出,由“新驻点”的定义可得对应方程为:,从而构造函数,再利用零点存在性定理判断的范围即可解:所以分别为方程的根,即为函数:的零点 在单调减,在单调增,而,时,而 答案:C例6:若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过, 则可以是( )A B C D思路:可判断出单增且连续,所以至多一个
13、零点,但的零点无法直接求出,而各选项的零点便于求解,所以考虑先解出各选项的零点,再判断的零点所在区间即可解:设各选项的零点分别为,则有 对于,可得: ,所以C选项符合条件答案:C例7:设函数,若实数分别是的零点,则( )A. B. C. D. 思路:可先根据零点存在定理判断出的取值范围:,从而;,从而 ,所以有,考虑,且发现为增函数。进而,即 答案:A例8:已知定义在上的函数,求证:存在唯一的零点,且零点属于 思路:本题要证两个要素:一个是存在零点,一个是零点唯一。证明零点存在可用零点存在性定理,而要说明唯一,则需要函数的单调性解: 在单调递增 ,使得 因为单调,所以若,且 则由单调性的性质:
14、与题设矛盾所以的零点唯一 小炼有话说:如果函数在单调递增,则在中,即函数值与自变量一一对应。在解答题中常用这个结论证明零点的唯一性例9:(2011年,天津)已知,函数(的图像连续不断)(1)求的单调区间(2)当时,证明:存在,使得 解:(1) 令 解得: 在单调递减,在单调递增(2)思路:由(1)可得在单调递减,在单调递增,从而从图像上看必然会在存在使得,但由于是证明题,解题过程要有理有据。所以可以考虑将所证等式变为,构造函数,从而只需利用零点存在性定理证明有零点即可。解:设 由(1)可得:当时,在单调递减,在单调递增 ,因为 根据零点存在性定理可得:,使得 即存在,使得小炼有话说:(1)在证
15、明存在某个点的函数值与常数相等时,往往可以将常数挪至函数的一侧并构造函数,从而将问题转化成为证明函数存在零点的问题。(2)本题在寻找小于零的点时,先观察表达式的特点:,意味着只要取得足够大,早晚比要大的多,所以只需要取较大的自变量便可以找到的点。选择也可,选择等等也可以。例10:已知函数,其中常数,若有两个零点,求证: 思路:若要证零点位于某个区间,则考虑利用零点存在性定理,即证且,即只需判断的符号,可先由存在两个零点判断出的取值范围为 ,从而,只需将视为关于的函数,再利用函数性质证明均大于零即可。解:令 设,可得为增函数且 时, 时,在单调递减,在单调递增所以在, 有两个零点 在单调递增 在
16、单调递增 而 ,使得即 另一方面: 而 ,使得即综上所述:第10炼 函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析:1、零点的定义:一般地,对于函数,我们把方程的实数根称为函数的零点2、函数零点存在性定理:设函数在闭区间上连续,且,那么在开区间内至少有函数的一个零点,即至少有一点,使得。(1)在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提(2)零点存在性定理中的几个“不一定”(假设连续) 若,则的零点不一定只有一个,可以有多个 若,那么在不一定有零点 若在有零点,则不一定必须异号3、若在上是单调函数且连续,则在的零点唯一4、函数的零点,方程的根,两图像交点之间的联系 设函数为,则的零点即为满足方程的根,若
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