近世代数课件从“群”谈起.pptx
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1、近世代数课件从“群”谈起群的定义与性质群的基本运算群的同态与同构群的子群与商群群的表示与分类目录01群的定义与性质定义一个群是一个非空集合G,它有一个二元运算(通常表示为“”或“”)满足结合律,并且G中有一个元素e称为单位元,对于G中的每个元素a,存在一个元素a(-1)使得aa(-1)=a(-1)a=e。例子整数集合在加法下是一个群,实数集合在乘法下是一个群。群的定义性质封闭性,即对于任意的a,b G,有ab G;结合律,即对于任意的a,b,c G,有(ab)c=a(bc);单位元存在,即存在一个元素e G使得对于所有的a G,有ae=ea=a;逆元存在,即对于所有的a G,存在一个元素a(-
2、1)G使得aa(-1)=e。例子整数集合在加法下是一个群,满足封闭性、结合律、单位元存在和逆元存在。群的性质在数学中,群的概念被广泛应用,例如在几何学中,通过定义一个变换群可以对几何图形进行变换;在代数学中,通过定义一个代数群可以对代数式进行变换;在物理学中,通过定义一个物理群可以对物理现象进行描述。应用在几何学中,可以通过定义一个旋转变换群对平面图形进行旋转;在代数学中,可以通过定义一个多项式变换群对多项式进行变换;在物理学中,可以通过定义一个洛伦兹变换群对相对论中的物理现象进行描述。例子群在数学中的应用02群的基本运算在群中,元素的加法运算是一种二元运算,满足封闭性、结合律和单位元存在性。
3、定义群中任意两个元素的加法结果仍属于群。封闭性群中任意三个元素的加法满足结合律,即(a+b)+c=a+(b+c)。结合律群中存在一个元素e,使得对于任意元素a,都有e+a=a+e=a。单位元存在性群的加法运算在群中,元素的乘法运算是一种二元运算,满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。定义对于任意元素a,群中存在一个元素b,使得ab=ba=e,其中e为单位元。逆元存在性群中任意两个元素的乘法结果仍属于群。封闭性群中任意三个元素的乘法满足结合律,即(ab)c=a(bc)。结合律群中存在一个元素e,使得对于任意元素a,都有ea=ae=a。单位元存在性0201030405群的乘法运算群的逆元与
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