高二数学-知识导学 定积分的概念与微积分基本定理.doc
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1、定积分的概念与微积分基本定理编稿:张林娟 审稿:孙永钊【学习目标】1. 知识与技能(1)了解定积分的实际背景,解微积分基本定理推导的基本思路.(2)借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念.(3)认识微积分基本定理积分与导数的关系,了解微积分基本定理的作用,能利用微积分基本定理求定积分.2. 过程与方法(1)通过洞察不同背景的问题中蕴含的相同的数学内涵的过程,领会如何先考虑得到近似解,然后在研究提高精确程度的定积分的解决问题的基本方法,提高从数学的角度分析和看待问题的能力.(2)通过分析路程与速度间的关系,即速度的积分等于路程的过程中,得到微积分基本定理,理解导数和积分计算的互逆
2、关系,认识和体会微积分基本定理的重要意义和作用.3.情感、态度与价值观(1)通过对不同背景下的问题用同一的数学解决方法的揭示,认识数学与实际生活的联系,以及数学的广泛应用.(2)微积分基本定理使得导数和积分得到统一,使得微积分作为一个整体成为研究物体运动变化规律的最有力的工具,使学生感悟数学在解决实际问题中的价值.【要点梳理】要点一:定积分的引入定积分的概念一般地,给定一个在区间上的函数,如图所示.将区间平分成份,分点为:则每个小区间长度为(),在每个小区间上任取一点,作和式:.如果无限接近于(亦即)时,上述和式无限趋近于常数,那么称该常数为函数在区间上的定积分.记为:,定积分的相关名称:叫做
3、积分号, 叫做被积函数, 叫做被积表达式,x叫做积分变量, a叫做积分下限, b叫做积分上限,a,b叫做积分区间.要点诠释:(1)定积分是一个常数,即无限趋近的常数(时),记为,而不是(2) 定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即(称为积分形式的不变性),另外定积分与积分区间a,b息息相关,不同的积分区间,定积分的积分上下限不同,所得的值也就不同,例如与的值就不同.用定义求定积分的一般方法:(1)分割:等分区间;(2)近似代替:取点;(3)求和:;(4)取极限:.要点二:定积分的几何意义定积分的几何意义:从几何上看,如果在区间上
4、函数连续且恒有,那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积,这就是定积分的几何意义.一般情况下,定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和,在轴上方的面积取正号,在轴下方的面积取负号.要点诠释: (1)当时,积分在几何上表示由、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积;特别地:当a=b时,有,如图(a).(2)当时,由、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,积分在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数.所以,即,如图(b). (3)当在区间a,b上有正有负时,积分在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和(x轴上方面积取正号,x轴下方面
5、积取负号).在如右图所示的图象中,定积分.要点三:微积分基本定理微积分基本定理:一般地,如果,且在a,b上可积,则.这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式.其中,叫做的一个原函数.为了方便,我们常把记作,即.要点诠释:(1)根据定积分定义求定积分,往往比较困难,而利用上述定理求定积分比较方便.(2)设是定义在区间I上的一个函数,如果存在函数,在区间I上的任何一点x处都有,那么叫做函数在区间I上的一个原函数.根据定义,求函数的原函数,就是要求一个函数,使它的导数等于.由于,所以也是的原函数,其中c为常数.(3)利用微积分基本定理求定积分的关键是找出使的函数.通常,我们可以运用基本初
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