2022年对数公式及对数函数的总结 .pdf
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1、对数运算和对数函数对数的定义若(0,1)xaN aa且,则x叫做以a为底N的对数, 记作logaxN,其中a叫做底数,N叫做真数负数和零没有对数。对数式与指数式的互化:log(0,1,0)xaxNaN aaN。常用对数与自然对数常用对数:lg N,即10logN;自然对数:ln N,即logeN(其中2.71828e) 对数函数及其性质函数名称对数函数定义函数log(0ayx a且1)a叫做对数函数图象1a01a定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0),即当1x时,0y奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的变化情况log0 (1)log0 (1)log0 (
2、01)aaaxxxxxxlog0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxa变化对图象的影响在第一象限内,a越大图象越靠低;在第四象限内,a越大图象越靠高。类型一、对数公式的应用xyO(1,0)1xlogayxxyO(1,0)1xlogayx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 1 计算下列对数3log6log2231l o g12log22222lg5lg61000lg64log128log22)24(log432
3、)2log2)(log3log3(log93843log23log224216log27log322log90log5log333cba842logloglog200199lg43lg32lg32log8log8log84225.0log10log25564log325log225)65536(log(log(loglog22222 解对数的值:18lg7lg37lg214lg0 1)21(2lg225lg-1 13341log 2 log 27+2(lg2lg5)8的值 0提示:对数公式的运算如果0,1,0,0aaMN,那么(1)加法:logloglog ()aaaMNMN(2)减法:log
4、loglogaaaMMNN(3)数乘:loglog()naanMMnR(4)logaNaN( 5)loglog(0,)bnaanMM bnRb(6)换底公式:loglog(0,1)logbabNNbba且(7)1loglogabba(8)abbalog1log类型二、求下列函数的定义域问题1 函数)13lg(13)(2xxxxf的定义域是)1 ,31(2 设xxxf22lg,则xfxf22的定义域为4, 11,43 函数234( )lg(1)xxf xx的定义域为( 1 ,0()0 ,1()提示: (1)分式函数,分母不为0,如0,1xxy。(2) 二次根式函数,被开方数大于等于0,0,xxy
5、。( 3)对数函数,真数大于0,0,logxxya。类型三、对数函数中的单调性问题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 1 函数2( )lg(43)f xxx的单调递增区间为() 1 ,()2 函数)152ln()(2xxxf的单调递增区间是),5(3 函数)23(log25 .0 xxy的递增区间是()1 ,()4 已知312log,981fxx x,则fx的最小值为( -2 )5 若函数22log ()yxaxa在区间(,13)上
6、是增函数,a的取值范围。22 3,26 不等式1)12(log3x的解集为2,21(7 设函数22log4log2fxxx ,且x满足241740 xx,求 fx 的最大值。 12. 提示: (1)在对数函数中xxfalog)(中,当1a,)(xf在其定义域上是增函数;当01a,)(xf在其定义域上是减函数。(2)在复合函数)(log)(xgxfa中,函数的单调性复合同增异减。类型四、对数函数中的大小比较1 已知log4log 4mn,比较m,n的大小。01mn2 已知4log,3log, 2log543cba,比较cba,的大小关系abc3 设323log,log3,log2abc,则cba
7、,的大小关系abc4 若0ba,10c,则 B (A)ccbaloglog(B)bbccloglog( C)ccba(D)bacc5 若1a,且yaxaayaxloglog,则x与y之间的大小关系是()0yx提示: 在byalog比较大小题型中,当1a,00101yxyx;当01a,00101yxyx。类型五、对数函数求值问题1 已知函数xxflg)(,若1)(abf,则)()(22bfaf 2 2 解方程08log9loglog)(log32222xx8x或41x3 已知1ba,若25loglogabba,abba,则a,b。2,4 ba4 已知函数2loglog)(32xbxaxf,若4)
8、20141(f,则)2014(f的值为 _0_提示: 在对数函数求值过程中,主要用到对数公式类型六、对数函数中的分段函数问题1 设函数12322log12xexfxxx,则2ff的值为( 2 )精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 2 已知21()0( )2log0 xxf xxx,则21(8)(log)4ff_7_. 3 已知函数( )f x满足:当4x,则( )f x1( )2x;当4x时( )f x(1)f x,则2(2log
9、3)f124提示: 分段函数中涉及到对数公式,需要注意函数的定义域问题类型七、对数函数中含参数问题1 若1112logaa,则a的取值范围是4+,2 若关于x的方程4)lg()lg(2axax的所有解都大于1,求a的取值范围。)1001,0(3 函数)00(log)(aaxxfa且, 当),2x时,1|)(|xf, 则a的取值范围是 (21121aa或)4 设1a,函数( )logaf xx在区间 ,2 aa上的最大值与最小值之差为12,则a 4 提示: 对数函数中有参数以及求参数的取值范围,需要考虑对数函数的单调性,综合性很强。类型八、对数函数中的图像问题1 当1a时,函数xxfalog)(
10、和xaxf)1 ()(的图象只可能是() 2 函数xxxxf2log)(的大致图象是 () 3 图 2-2-2 中的曲线是对数函数xyalog的图象, 已知a取101,53,34,3四个值。 则相应4321,cccc的a值依次为(53,101,3,34)提示: 函数的图像题型,先看奇偶性再看单调性,然后用特指排除。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 类型九、对数函数中的奇偶性问题1 若函数)2(log)(22axxxfa是奇函数,则
11、a22。2 若函数)ln()(2xaxxxf为偶函数,则a 1 3 若函数axexfx1ln3是偶函数,则a_32_. 4 若函数mxxfalog)(是偶函数,且在4 ,2上最大值为2,则ma的值 2 提示: 偶函数必有)()(xfxf,然后求参数。类型十、对数函数中的绝对值问题1 已知函数xxfln)(,若)()(bfaf,求ba的取值范围),2(2 已知函数) 1lg()(xxf,若ba且)()(bfaf,则ba的取值范围是0( ,)3 已知函数xxflg)(,若ba0, 且)()(bfaf, 则ba2的取值范围是(3,)提示: 已知对数函数xxfalog)(的图像,只需要把x轴下方的图像
12、翻到x轴上方。如果当)()(bfaf,且ba,必有1, 10ba,以及1ab。类型十一、对数函数中的综合问题1 若函数)1(log)(xaxfax在 1 ,0上的最大值和最小值之和为a,则 a 的值为 (2) 2 若42log (34 )logabab,则ab的最小值为(74 3)3 设点P在曲线xey21上,点Q在曲线)2ln(xy上,则PQ的最小值为(2 1ln 2)4 已知两个函数xxfalog)(,xaxg)(,(1) 若)()()(xgxfxh,在4, 1的最大值为18,求a值; (2)对任意的4, 1x时,)()(xgxf,求a的取值范围。【答案】(1)2a; (2)),2)1 ,
13、0(a。提示: 对数函数中可以和不等式,单调性,导数等进行综合,解答中需要多个知识点相结合多种考虑。习题类型一、关于对数公式的应用1 求下列各式中的x的值:(1)313x;(2)6414x;(3)92x;(4)1255x2; (5)171x2; (6))4(lg)100(log)9(log322 化简下列各式:(1)51lg5lg32lg4;(2)536lg27lg321240lg9lg211;(3)3lg70lg73lg;(4)120lg5lg2lg2(5)4log3log54)51()41(6)2log2log4log7101.0317103(7)6lg3log2log100492575(
14、8)31log27log12log2594532(9)2log2(log) 3log3(log9384;(10)6log18log2log)3log1(46626(11)3log9log28精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 3 设25abm,且112ab,则m104 计算31102log8)833()32()23(364log3的值 2.5 计算:310log 22310.027217lg4lg 34lg 6lg 0.023的值2
15、536 计算:220231lg 2lg5 lg 2020160.0273的值 1027 计算: 1)2(log)41)(log5lg2(lg14121 -1 8 计算:3log15log15log5log52333的值是 (0 ) 9 计算:2log3log3log2log)3log2(log3223223的值是 ( 2 ) 10 已知zyx,为正数,且1243yx,求使yx11的值。 1 11 已知lg a,lg b是方程22410 xx的两个根,则2(lg)ab的值是(2 )12 已知48a,296mn,且112bmn,则1.2a与0.8b的大小关系 _1.20.8ab_13 设方程021
16、02xx的两个根分别为,,求2224)(log的值2114 已知)2lg(2lglgyxyx,求yx2log的值。 4 15 实数)(,cbcba,且)1lg()1lg()1lg(2cab,15,2cbacab,求cba,的值。 1,5,9 16 已知nm,为正整数,0a且1a,且nmnmmmaaaaaloglog)111(log)11(loglog,求nm,的值。22.mn ,类型二、对数函数的应用1 函数) 1(log)(21xxf的定义域是 _2, 1(_ 2 函数xxf6log21)(的定义域为6,0( . 3 函数4)(log)(2xxf的定义域是 (),16) 4 函数lg 43x
17、fxx的定义域 _)4, 3()3,(_。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 5 若( )log ()f xx,则( )f x的定义域为((, ))6函 数) 34(l o g1)(5 . 0 xxf的 定 义 域 是 (1 ,43()7求 函 数)23(l o g1l o g)(33xxxf的 定 义域), 1()1 ,0(8 函数234)1lg()(xxxxf的定义域为 ( 1 , 1() 9 函 数xxxxf)2ln ()(2
18、的 定 义 域 是 ()2,0()0, 1() 10函 数)23(lo g25)(2xxxfa的 定 义 域 是(5, 1()1 ,32()11 函数)86(log)(2)12(xxxfx的定义域是 (),4()2, 1()1 ,21()12 函数4)(loglog)(5. 02xxf的定义域是()161,0()13 函数)(xf的定义域是2, 1,则函数)(log2xf的定义域是 _4 ,21_14 函数141log)(5. 0 xxxf的定义域是()21,41()41, 0()15 函数)416(log)()1(xxxf的定义域是()2,0()0 , 1() 16 函数112log)()1
19、3(xxxfx的定义域是(),32()32,21)17 函数2log5xyx的定义域是(2,33,5)18 已知函数xxf21log2)(的值域为1 , 1,则函数)(xf的定义域是 (2,22)19 函数)2(log25 . 0 xy的值域是( 1,()20 函数)5(2log5xxy的值域是 ( ),25 ) 21 函数xxf2log)(在2,41上的值域是 ( 1 ,2) 22 函数)1(3log2xxy的值域是(), 3)23 函数)43(log2xy的值域是 ( ),2( ).24 函数)64(log22xxy的值域是 ( ), 1 ).25 函数)64(log221xxy的值域是
20、( 1,( ).26 函数23log2yxx的单调减区间是(,0)27 若函数)1,0()(log)(3aaaxxxfa在区间)0 ,21(内单调递增,则a的取值范围是)1 ,4328 已知函数)22(log)(22xxxf,使)(xf是单调增函数的x值的区间是 ( ), 1 ) 29 如果函数xaxf)3()(与xxgalog)(的增减性相同,则a的取值范围是_)2, 1 (_精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 30 函数)124
21、(log231xxy的单调递减区间是_)2,2(_31 函数)32(log23xxy是单调增函数的区间是( ),3()32 函数1) 1(log)(xaxfa在定义域上 (A) A是增函数B是减函数C先增后减D先减后增33 已知10, 10ba,如果1)3(logxba,则x的取值范围是_)4, 3(_34 设偶函数|log)(bxxfa在),0(上单调递减,则)2(bf与)1(af的大小关系是(A )A. )1()2(afbfB. )1()2(afbfC. )1()2(afbfD. 不能确定35 函数|lgxy(B )A. 是偶函数,在区间)0,(上单调递增B. 是偶函数,在区间)0,(上单
22、调递减C. 是奇函数,在区间), 0(上单调递增D. 是奇函数,在区间), 0(上单调递减36 已知函数)1lg()(xxf, 若1)()21(0 xfxf,求x的取值范围;3132x37 设2( )lg()1f xax是奇函数,则使( )0f x的x的取值范围是(( 1,0))38 若02log2lognm,那么nm,满足的关系(10mn)39 三个数3log, 1log,33130的大小关系是(3l o g1l o g33130)40 如果02log2logba,那么下面不等关系式中正确的是( 1ba ) 41 设6log,21log,2log533cba,则cba,的大小关系 (bac)
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