2022年对数函数及其性质,对数的公式互化,详尽的讲解 .pdf
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1、 2.2对数函数22.1对数与对数运算1对数的概念一般地, 如果 axN (a0,且 a1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作xlogaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数说明: (1)实质上,上述对数表达式,不过是指数函数yax的另一种表达形式,例如:3481 与 4log381 这两个式子表达是同一关系,因此,有关系式axN? x logaN,从而得对数恒等式:alogaNN. (2)“log”同“”“”“”等符号一样,表示一种运算,即已知一个数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面(3)根据对数的定义,对数logaN(a0,且 a1)
2、具有下列性质:零和负数没有对数,即N0;1 的对数为零,即loga10;底的对数等于1,即 logaa 1. 2对数的运算法则利用对数的运算法则,可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算,反之亦然这种运算的互化可简化计算方法,加快计算速度(1)基本公式loga(MN)logaMlogaN (a0,a1,M0,N0),即正数的积的对数,等于同一底数的各个因数的对数的和logaMNlogaMlogaN (a0,a1, M0,N0),即两个正数的商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数logaMnn logaM (a0,a1,M0,nR),即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂
3、指数(2)对数的运算性质注意点必须注意M0,N0,例如loga(3)( 4)是存在的,但是loga(3)与 loga(4)均不存在,故不能写成loga(3)(4)loga(3)loga(4)防止出现以下错误: loga(M N) logaM logaN, loga(M N)logaM logaN, logaMNlogaMlogaN,logaMn (logaM)n. 3对数换底公式在实际应用中,常碰到底数不为10 的对数,如何求这类对数,我们有下面的对数换底公式: logbNlogcNlogcb(b0,且 b1;c0,且 c1; N0)证明设 logbNx,则 bxN.两边取以 c 为底的对数,
4、得 xlogcblogcN.所以 xlogcNlogcb,即 logbNlogcNlogcb. 换底公式体现了对数运算中一种常用的转化,即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数,这是数学转化思想的具体应用由换底公式可推出下面两个常用公式:(1)logbN1logNb或 logbN logNb1 (N0,且 N1;b0,且 b1);(2)logbnNmmnlogbN(N0;b0,且 b1;n0,mR) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 26 页 - -
5、- - - - - - - .题型一正确理解对数运算性质对于 a0 且 a1,下列说法中,正确的是() 若 MN,则 logaM logaN;若 logaMlogaN,则 MN;若 logaM2 logaN2,则 MN;若 MN,则 logaM2logaN2. A与B与CD、解析在中,当 MN0 时, logaM 与 logaN 均无意义,因此logaMlogaN 不成立在中,当 logaM logaN 时,必有 M0,N0,且 MN,因此 MN 成立在中,当 logaM2logaN2时,有 M0,N0,且 M2N2,即 |M|N|,但未必有MN.例如, M2,N 2 时,也有 logaM2l
6、ogaN2,但 MN. 在中,若 MN 0,则 logaM2与 logaN2均无意义,因此logaM2logaN2不成立所以,只有 成立答案C 点评正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件,使用运算性质时,应牢记公式的形式及公式成立的条件题型二对数运算性质的应用求下列各式的值:(1)2log32log3329log385log53;(2)lg2523lg8lg5 lg20(lg2)2;(3)log52log79log513 log734. 分析利用对数的性质求值,首先要明确解题目标是化异为同,先使各项底数相同,才能使用性质,再找真数间的联系,对于复杂的真数,可以先化简再计
7、算解(1)原式 2log32(log332log39)3log323 2log325log3223log323 1. (2)原式 2lg5 2lg2lg102 lg(210)(lg2)22lg(52)(1 lg2) (lg2 1)(lg2)221(lg2)2(lg2)23. (3)log52log79log513 log73412log522log73 log5313log74lg2lg5lg3lg7lg3lg513lg4lg732. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第
8、2 页,共 26 页 - - - - - - - - - 点评对数的求值方法一般有两种:一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值; 另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值题型三对数换底公式的应用计算: (log2125log425log85)(log52log254log1258)分析由题目可获取以下主要信息:本题是一道对数化简求值题,在题目中各个对数的底数都各不相同解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值解方法一原式log253log225log24log25log2
9、8log52log54log525log58log5125 3log252log252log22log253log22log522log522log553log523log55 3113log25(3log52) 13log25log22log2513. 方法二原式lg125lg2lg25lg4lg5lg8lg2lg5lg4lg25lg8lg1253lg5lg22lg52lg2lg53lg2lg2lg52lg22lg53lg23lg513lg53lg23lg2lg5 13. 点评方法一是先将括号内换底,然后再将底统一; 方法二是在解题方向还不清楚的情况下,一次性地统一为常用对数(当然也可以换成
10、其他非1 的正数为底 ),然后再化简上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法已知 log(x3)(x23x)1,求实数 x 的值错解由对数的性质可得x2 3xx3. 解得 x1 或 x 3. 错因分析对数的底数和真数必须大于0 且底数不等于1,这点在解题中忽略了正解由对数的性质知x23xx 3,x23x0,x30且x31.解得 x1,故实数 x 的值为 1. 对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一,主要性质有: loga10, logaa1, alogaNN (a0,且 a1,N0)1(上海高考 )方程 9x6 3x70 的解是 _解析9x6 3x70,即 32x6 3x70
11、(3x7)(3x 1)0 3x7 或 3x 1(舍去 ) xlog37. 答案log37 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 26 页 - - - - - - - - - 2(辽宁高考 )设 g(x)ex, x0,ln x,x0,则 gg12_. 解析g12ln120,a31,7a0,解得 3a7 且 a4. 2设 alog32,则 log382log36 用 a 表示的形式是() Aa2 B3a(1a)2C5a2 D a23a1 答案A 解析alog32,
12、log382log363log322(log321) 3a2(a1)a 2. 3log56 log67 log78log89 log910 的值为 () A1 Blg5 C.1lg5D1lg2 答案C 解析原式lg6lg5lg7lg6lg8lg7lg9lg8lg10lg9lg10lg51lg5. 4已知 loga(a21)loga2a0,则 a 的取值范围是 () A(0,1) B.0,12C.12,1D(1, ) 答案C 解析由题意,得0a1,a0,a1,loga(a21)loga2a,0a1.12a0,a1)在1,3上最大值与最小值之和为a2,则 a 的值为 () A4 B.14C3 D.
13、13答案D 6若方程 (lgx)2(lg7lg5)lg xlg7 lg50 的两根为 , ,则 等于 () Alg7 lg5 Blg35 C35 D.135名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 26 页 - - - - - - - - - 答案D 解析lg lg (lg7 lg5) lg35lg135 135. 7已知 f(log2x)x,则 f12 _. 答案2 解析令 log2x12,则 212x,f122122. 8log(21)(21) _. 答案1 解
14、析log21(2 1)log21(21)(21)21log(21)121 1. 9已知 lg2 0.301 0,lg30.477 1,lgx 20.778 1,则 x_. 答案0.06 解析lg20.301 0,lg30.477 1,而 0.301 0 0.477 10.778 1,lgx 2lg2lg3,即 lgx lg102lg6. lgxlg(6102),即 x61020.06. 10(1)已知 lgxlgy2lg(x2y),求 log2xy的值;(2)已知 log189a,18b5,试用 a,b 表示 log365. 解(1)lgxlgy2lg( x2y),xy(x2y)2,即 x25
15、xy4y20. 即(xy)(x4y)0,解得 xy 或 x4y,又x0,y0,x2y0,x2y0,xy,应舍去,取x4y. 则 log2xy log24yy log24lg4lg24. (2)18b5, log185 b, 又log189a,log365log185lg1836blog18(18 2)b1log182b1log18189b1(1 log189)b2 a. 11设 a,b,c 均为不等于1的正数,且axby cz,1x1y1z0,求 abc 的值解令 axbyczt (t0 且 t1),则有1x logta,1ylogtb,1zlogtc,又1x1y1z0,logtabc0,ab
16、c1. 12已知 a,b,c 是 ABC 的三边,且关于x 的方程x22xlg(c2b2)2lga10有等根,试判定ABC 的形状名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 26 页 - - - - - - - - - 解关于 x 的方程 x22xlg(c2b2)2lga10 有等根, 0,即 4 4lg(c2b2)2lga1 0. 即 lg(c2b2)2lga0,故 c2b2a2,a2b2c2, ABC 为直角三角形22.1对数与对数运算(一) 学习目标1理解对数的
17、概念,能进行指数式与对数式的互化2了解常用对数与自然对数的意义3理解对数恒等式并能用于有关对数的计算自学导引1如果 a(a0 且 a1)的 b 次幂等于 N,就是 abN,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 b logaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数2对数的性质有:(1)1 的对数为零;(2)底的对数为1;(3)零和负数没有对数3通常将以10 为底的对数叫做常用对数,以e为底的对数叫做自然对数,log10N 可简记为 lgN,logeN 简记为 lnN. 4若 a0,且 a1,则 abN 等价于 logaNb. 5对数恒等式:alogaN N(a0 且 a1) .一、对
18、数式有意义的条件例 1求下列各式中x 的取值范围:(1)log2(x10); (2)log(x1)(x2);(3)log(x1)(x1)2. 分析由真数大于零,底数大于零且不等于1 可得到关于x 的不等式 (组),解之即可解(1)由题意有 x100,x10,即为所求(2)由题意有x20,x10且 x11,即x2,x1且x2,x1 且 x 2. (3)由题意有(x1)20,x10且x11,解得 x1 且 x0,x1. 点评在解决与对数有关的问题时,一定要注意: 对数真数大于零,对数的底数大于零且不等于 1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
19、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 26 页 - - - - - - - - - 变式迁移 1在 blog(a2)(5a)中,实数 a 的取值范围是 () Aa5 或 a2B2a5 C2a3 或 3a5 D3a0a20a21,2a0);(2)412(log29log25)解(1)原式 (alogab)logbc logcNblogbc logcN(blogbc)logcNclogcNN. (2)原式 2(log29log25)2log292log2595. 点评对数恒等式alogaN N 中要注意格式:(1)它们是同底的;(2)指数中含有对数形式
20、; (3)其值为真数变式迁移 3计算: 3log35 (3)log315. 解原式5312log3155(3log315)125156 55. 1一般地,如果a(a0,a1)的 b 次幂等于N,就是 abN,那么 b 叫做以 a 为底 N的对数,记作logaNb,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数2利用 abN? b logaN (其中 a0,a1,N0)可以进行指数与对数式的互化3对数恒等式:alogaN N(a0 且 a1)一、选择题1下列指数式与对数式互化不正确的一组是() A1001 与 lg10 B271313与 log271313Clog3129 与 9123 Dlog551
21、与 51 5 答案C 2指数式 b6a (b0,b1)所对应的对数式是() Alog6aaBlog6baClogab6 Dlogba6 答案D 3若 logx(52) 1,则 x 的值为 () A.52 B.5 2 C.52 或52 D25 答案B 4如果 f(10 x)x,则 f(3)等于 () Alog310 Blg3 C103D310答案B 解析方法一令 10 xt,则 xlgt,f(t)lgt, f(3)lg3. 方法二令 10 x3,则 xlg3,f(3) lg3. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师
22、精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 26 页 - - - - - - - - - 52112 log25 的值等于 () A25 B2 5 C252D152答案B 解析2112log252212log252 2log251225122 5. 二、填空题6若 5lgx25,则 x 的值为 _答案100 解析5lgx52,lgx2, x102100. 7设 loga2m,loga3n,则 a2mn的值为 _答案12 解析loga2m,loga3n,am2,an3,a2mna2m an(am)2 an22312. 8已知 lg6 0.778 2,则 102.778 2_. 答案60
23、0 解析102.778 210210lg6 600. 三、解答题9求下列各式中x 的值(1)若 log312x91,则求 x 值;(2)若 log2 003(x21)0,则求 x 值解(1)log312x91,12x93 12x27,即 x 13 (2)log2 003(x21)0 x21 1,即 x22 x 2 10求 x 的值: (1)x log224;(2)xlog93;(3)x 71log75;(4)logx8 3;(5)log12x4. 解(1)由已知得:22x4,212x22,x22,x 4. (2)由已知得: 9x3,即 32x312. 2x12,x14. (3)x 7 7log
24、757 575. (4)由已知得: x38,即1x323,1x2,x12. (5) 由已知得:x124116.2.2.1 对数与对数运算( 二)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 26 页 - - - - - - - - - 学习目标1掌握对数的运算性质及其推导2能运用对数运算性质进行化简、求值和证明自学导引1对数的运算性质:如果a0,a1,M0,N0,那么,(1)loga(MN)logaMlogaN;(2)logaMNlogaMlogaN;(3)logaMn
25、nlogaM(nR)2对数换底公式:logablogcblogca. 一、正确理解对数运算性质例 1若 a0,a1, x0,y0,xy,下列式子中正确的个数有() logax logayloga (xy);logaxlogayloga(xy);logaxylogax logay;loga(xy) logax logay. A0 个B1 个C2 个D3 个答案A 解析对数的运算实质是把积、商、 幂的对数运算分别转化为对数的加、减、 乘的运算在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算,如 logaxloga x,logax 是不可分开的一个整体四个选项都把对数符号当作字母参与运算,因而
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