对数函数及其性质-对数的公式互化-详尽的讲解.pdf
《对数函数及其性质-对数的公式互化-详尽的讲解.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《对数函数及其性质-对数的公式互化-详尽的讲解.pdf(28页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、 对数函数 2 对数与对数运算 1对数的概念 一般地,如果axN(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作xlogaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数 说明:(1)实质上,上述对数表达式,不过是指数函数yax的另一种表达形式,例如:3481 与 4log381 这两个式子表达是同一关系,因此,有关系式axNxlogaN,从而得对数恒等式:alogaNN.(2)“log”同“”“”“”等符号一样,表示一种运算,即已知一个数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面(3)根据对数的定义,对数 logaN(a0,且a1)具有下列性质:零和负数没有对数,即N0
2、;1 的对数为零,即 loga10;底的对数等于 1,即 logaa1.2对数的运算法则 利用对数的运算法则,可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算,反之亦然这种运算的互化可简化计算方法,加快计算速度(1)基本公式 loga(MN)logaMlogaN(a0,a1,M0,N0),即正数的积的对数,等于同一底数的各个因数的对数的和 logaMNlogaMlogaN(a0,a1,M0,N0),即两个正数的商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数 logaMnnlogaM(a0,a1,M0,nR),即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数(2)对数的运算性质注意点 必须注意
3、M0,N0,例如 loga(3)(4)是存在的,但是 loga(3)与 loga(4)均不存在,故不能写成 loga(3)(4)loga(3)loga(4)防止出现以下错误:loga(MN)logaMlogaN,loga(MN)logaMlogaN,logaMNlogaMlogaN,logaMn(logaM)n.3对数换底公式 在实际应用中,常碰到底数不为 10 的对数,如何求这类对数,我们有下面的对数换底公式:logbNlogcNlogcb(b0,且b1;c0,且c1;N0)$证明 设 logbNx,则bxN.两边取以c为底的对数,得xlogcblogcN.所以xlogcNlogcb,即 l
4、ogbNlogcNlogcb.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化,即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数,这是数学转化思想的具体应用 由换底公式可推出下面两个常用公式:(1)logbN1logNb或 logbNlogNb1(N0,且N1;b0,且b1);(2)logbnNmmnlogbN(N0;b0,且b1;n0,mR).题型一 正确理解对数运算性质 对于a0 且a1,下列说法中,正确的是()若MN,则 logaMlogaN;若 logaMlogaN,则MN;若 logaM2logaN2,则MN;若MN,则 logaM2logaN2.A与 B与 C D、解析 在中,当MN0 时,l
5、ogaM与 logaN均无意义,因此 logaMlogaN不成立 在中,当 logaMlogaN时,必有M0,N0,且MN,因此MN成立 在中,当 logaM2logaN2时,有M0,N0,且M2N2,即|M|N|,但未必有MN.例如,M2,N2 时,也有 logaM2logaN2,但MN.在中,若MN0,则 logaM2与 logaN2均无意义,因此 logaM2logaN2不成立 所以,只有成立 答案 C 点评 正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件,使用运算性质时,应牢记公式的形式及公式成立的条件 题型二 对数运算性质的应用 求下列各式的值:(1)2log32lo
6、g3329log385log53;(2)lg2523lg8lg5lg20(lg2)2;(3)log52log79log513log734.&分析 利用对数的性质求值,首先要明确解题目标是化异为同,先使各项底数相同,才能使用性质,再找真数间的联系,对于复杂的真数,可以先化简再计算 解(1)原式2log32(log332log39)3log323 2log325log3223log3231.(2)原式2lg52lg2lg102lg(210)(lg2)2 2lg(52)(1lg2)(lg21)(lg2)2 21(lg2)2(lg2)23.(3)log52log79log513log73412log5
7、22log73log5313log74 lg2lg5lg3lg7lg3lg513lg4lg732.点评 对数的求值方法一般有两种:一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值#题型三 对数换底公式的应用 计算:(log2125log425log85)(log52log254log1258)分析 由题目可获取以下主要信息:本题是一道对数化简求值题,在题目中各个对数的底数都各不相同 解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值 解 方法一 原
8、式 log253log225log24log25log28log52log54log525log58log5125 3log252log252log22log253log22log522log522log553log523log55 3113log25(3log52)13log25log22log2513.方法二 原式lg125lg2lg25lg4lg5lg8lg2lg5lg4lg25lg8lg125 3lg5lg22lg52lg2lg53lg2lg2lg52lg22lg53lg23lg5 13lg53lg23lg2lg513.点评 方法一是先将括号内换底,然后再将底统一;方法二是在解题方向还
9、不清楚的情况下,一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非 1 的正数为底),然后再化简上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法 已知 log(x3)(x23x)1,求实数x的值 错解 由对数的性质可得x23xx3.解得x1 或x3.错因分析 对数的底数和真数必须大于 0 且底数不等于 1,这点在解题中忽略了 正解 由对数的性质知 x23xx3,x23x0,x30且x31.解得x1,故实数x的值为 1.0,且a1,N0)1(上海高考)方程 9x63x70 的解是_ 解析 9x63x70,即 32x63x70(3x7)(3x1)0 3x7 或 3x1(舍去)xlog37.答案 l
10、og37 2(辽宁高考)设g(x)ex,x0,ln x,x0,则gg12_.解析 g12ln120,a31,7a0,解得 3a7 且a4.2设alog32,则 log382log36 用a表示的形式是()Aa2 B3a(1a)2)C5a2 Da23a1 答案 A 解析 alog32,log382log363log322(log321)3a2(a1)a2.3log56log67log78log89log910 的值为()A1 B5 C D1lg2 答案 C 解析 原式lg6lg5lg7lg6lg8lg7lg9lg8lg10lg9lg10lg51lg5.4已知 loga(a21)loga2a0,则
11、a的取值范围是()A(0,1)D(1,)!答案 C 解析 由题意,得 0a1,a0,a1,loga(a21)loga2a,0a1.12a0,a1)在1,3上最大值与最小值之和为a2,则a的值为()A4 C3 答案 D 6 若方程(lgx)2(lg7lg5)lgxlg7lg50 的两根为,则等于()Alg7lg5 Blg35 C35 答案 D 解析 lglg(lg7lg5)lg35lg135 135.7已知f(log2x)x,则f12_.答案 2 解析 令 log2x12,则 212x,f12212 2.8log(21)(21)_.答案 1 解析 log21(21)log21(21)(21)21
12、 log(21)1211.9已知 lg2 0,lg3 1,lgx2 1,则x_.答案 解析 lg2 0,lg3 1,而 0 1 1,lgx2lg2lg3,即 lgxlg102lg6.lgxlg(6102),即x6102.10(1)已知 lgxlgy2lg(x2y),求 log 2xy的值;(2)已知 log189a,18b5,试用a,b表示 log365.解(1)lgxlgy2lg(x2y),xy(x2y)2,即x25xy4y20.即(xy)(x4y)0,解得xy或x4y,又 x0,y0,x2y0,x2y0,xy,应舍去,取x4y.则 log 2xylog 24yylog 24lg4lg 24
13、.(2)18b5,log185b,又log189a,|log365log185lg1836blog18(182)b1log182b1log18189 b1(1log189)b2a.11设a,b,c均为不等于 1 的正数,且axbycz,1x1y1z0,求abc的值 解 令axbyczt(t0 且t1),则有1xlogta,1ylogtb,1zlogtc,又1x1y1z0,logtabc0,abc1.12已知a,b,c是ABC的三边,且关于x的方程x22xlg(c2b2)2lga10有等根,试判定ABC的形状 解 关于x的方程x22xlg(c2b2)2lga10 有等根,0,即 44lg(c2b
14、2)2lga10.即 lg(c2b2)2lga0,故c2b2a2,a2b2c2,ABC为直角三角形 2 对数与对数运算(一)学习目标 1理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化 2了解常用对数与自然对数的意义 3理解对数恒等式并能用于有关对数的计算 自学导引 1如果a(a0 且a1)的b次幂等于N,就是abN,那么数b叫做以a为底N的对数,记作blogaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数 2对数的性质有:(1)1 的对数为零;(2)底的对数为 1;(3)零和负数没有对数 3通常将以 10 为底的对数叫做常用对数,以 e 为底的对数叫做自然对数,log10N可简记为 lgN,logeN简记为
15、 lnN.4若a0,且a1,则abN等价于 logaNb.5对数恒等式:alogaNN(a0 且a1).一、对数式有意义的条件,例 1 求下列各式中x的取值范围:(1)log2(x10);(2)log(x1)(x2);(3)log(x1)(x1)2.分析 由真数大于零,底数大于零且不等于 1 可得到关于x的不等式(组),解之即可 解(1)由题意有x100,x10,即为所求(2)由题意有 x20,x10且x11,即 x2,x1且x2,x1 且x2.(3)由题意有(x1)20,x10且x11,解得x1 且x0,x1.点评 在解决与对数有关的问题时,一定要注意:对数真数大于零,对数的底数大于零且不等
16、于 1.变式迁移 1 在blog(a2)(5a)中,实数a的取值范围是()Aa5 或a2 B2a5 C2a3 或 3a5 D3a0a20a21,2a0);(2)412(log29log25)解(1)原式(alogab)logbclogcNblogbclogcN(blogbc)logcN clogcNN.(2)原式2(log29log25)2log292log2595.点评 对数恒等式alogaNN中要注意格式:(1)它们是同底的;(2)指数中含有对数形式;(3)其值为真数 变式迁移 3 计算:3log35(3)log315.解 原式 5312log315 5(3log315)12 5156 5
17、5.1一般地,如果a(a0,a1)的b次幂等于N,就是abN,那么b叫做以a为底N的对数,记作 logaNb,其中a叫做对数的底数,N叫做真数 2利用abNblogaN(其中a0,a1,N0)可以进行指数与对数式的互化 3对数恒等式:alogaNN(a0 且a1)一、选择题 1下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A1001 与 lg10 B271313与 log271313 Clog3129 与 9123 Dlog551 与 515 答案 C 2指数式b6a(b0,b1)所对应的对数式是()Alog6aa Blog6ba Clogab6 Dlogba6 答案 D 3若 logx(52)1,
18、则x的值为()2 2|2 或 52 D2 5 答案 B 4如果f(10 x)x,则f(3)等于()Alog310 Blg3 C103 D310 答案 B 解析 方法一 令 10 xt,则xlgt,f(t)lgt,f(3)lg3.方法二 令 10 x3,则xlg3,f(3)lg3.52112log25 的值等于()A2 5 B2 5 C252 D152,答案 B 解析 2112log252212log2522log2512 25122 5.二、填空题 6若 5lgx25,则x的值为_ 答案 100 解析 5lgx52,lgx2,x102100.7设 loga2m,loga3n,则a2mn的值为_
19、 答案 12 解析 loga2m,loga3n,am2,an3,a2mna2man(am)2an22312.8已知 lg6 2,则 2_.答案 600 解析 210210lg6600.三、解答题 9求下列各式中x的值(1)若 log312x91,则求x值;(2)若 log2 003(x21)0,则求x值 解(1)log312x91,12x93 12x27,即x13(2)log2 003(x21)0 x211,即x22;x 2 10求x的值:(1)xlog224;(2)xlog93;(3)x71log75;(4)logx83;(5)log12x4.解(1)由已知得:22x4,212x22,x22
20、,x4.(2)由已知得:9x 3,即 32x312.2x12,x14.(3)x77log757575.(4)由已知得:x38,即1x323,1x2,x12.(5)由已知得:x124116.2.2.1 对数与对数运算(二)学习目标 1掌握对数的运算性质及其推导 2能运用对数运算性质进行化简、求值和证明 自学导引 1对数的运算性质:如果a0,a1,M0,N0,那么,(1)loga(MN)logaMlogaN;(2)logaMNlogaMlogaN;(3)logaMnnlogaM(nR)!2对数换底公式:logablogcblogca.一、正确理解对数运算性质 例 1 若a0,a1,x0,y0,xy
21、,下列式子中正确的个数有()logax logayloga(xy);logaxlogayloga(xy);logaxylogaxlogay;loga(xy)logaxlogay.A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 答案 A 解析 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算 在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算,如 logaxlogax,logax是不可分开的一个整体四个选项都把对数符号当作字母参与运算,因而都是错误的 点评 正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件 变式迁移 1 若a0 且a1,x0,nN*,则下列各式正确
22、的是()Alogaxloga1x B(logax)nnlogax C(logax)nlogaxn Dlogaxloga 1x 答案 A 二、对数运算性质的应用 例 2 计算:(1)log5352log573log57;(2)2(lg 2)2lg 2lg5(lg 2)2lg21;(3)错误!;(4)(lg5)2lg2lg50.分析 利用对数运算性质计算 解(1)原式log5(57)2(log57log53)log57log595 log55log572log572log53log572log53log55 2log552.(2)原式lg 2(2lg 2lg5)(lg 21)2 lg 2(lg2l
23、g5)1lg 2lg 21lg 21.(3)原式32lg33lg232lg32lg213lg36lg232(lg32lg21)32.(4)原式(lg5)2lg2(lg22lg5)(lg5)22lg5lg2(lg2)2(lg5lg2)21.点评 要灵活运用有关公式注意公式的正用、逆用及变形使用 变式迁移 2 求下列各式的值:(1)log5352log122log5150log514;(2)(1log63)2log62log618log64.解(1)原式 log5(57)2log2212log5(522)log5(27)1log5712log52log52log572.(2)原式log262log
24、62log6(36)log622 log62(log62log631)(2log62)1.三、换底公式的应用 例 3(1)设 3x4y36,求2x1y的值;(2)已知 log189a,18b5,求 log3645.解(1)由已知分别求出x和y.、3x36,4y36,xlog336,ylog436,由换底公式得:xlog3636log3631log363,ylog3636log3641log364,1xlog363,1ylog364,2x1y2log363log364 log36(324)log36361.(2)log189a,18b5,log185b.log3645log1845log1836
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 对数 函数 及其 性质 公式 详尽 讲解
限制150内