[数学]高三数学一轮复习-第七章-第七节-立体几何中的向量方法课件-理-新人教A版.ppt
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1、第七节立体几何中的向量方法第七节立体几何中的向量方法1直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量:如果表示非零向量直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所的有向线段所在直线与直线在直线与直线l_或或_,则称此向量,则称此向量a为直线为直线l的的方向向量方向向量(2)平面的法向量:直线平面的法向量:直线l,取直线,取直线l的方向向量的方向向量a,则,则向量向量a叫做平面叫做平面的法向量的法向量平行平行重合重合2空间位置关系的向量表示空间位置关系的向量表示位置关系位置关系向量表示向量表示直线直线l1,l2的方向向量的方向向量分别为分别为n1,n2l1l2n1
2、n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线直线l的方向向量为的方向向量为n,平面平面的法向量为的法向量为mlnmnm0lnmnm平面平面,的法向量分的法向量分别为别为n,mnmnmnmnm03.利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角求两条异面直线所成的角设设a,b分别是两异面直线分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则的方向向量,则l1与与l2所成的角所成的角a与与b的夹角的夹角a,b范围范围_0a,b 关系关系cos |cosa,b|_(2)求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角设直线设直线l的方向向量为的方向向量为a,平面,平面的法向量为的法向量为n,直线,
3、直线l与平与平面面所成的角为所成的角为,则,则sin _(3)求二面角的大小求二面角的大小若若AB、CD分别是二面角分别是二面角l的两个面内与棱的两个面内与棱l垂垂直的异面直线,则二面角的大小就是直的异面直线,则二面角的大小就是_的的夹角夹角(如图如图771) |cosa,n|设设n1,n2分别是二面角分别是二面角l的两个面的两个面,的法向的法向量,则向量量,则向量n1与与n2的夹角的夹角(或其补角或其补角)的大小就是的大小就是_(如图如图771)二面角的平面角的大小二面角的平面角的大小1怎样求平面的法向量?怎样求平面的法向量?2如何确定一个二面角的两个半平面的法向量夹角与如何确定一个二面角的
4、两个半平面的法向量夹角与这个二面角的平面角的大小关系?这个二面角的平面角的大小关系?【提示提示】可从两个方面判断:一是观察图形,确定二可从两个方面判断:一是观察图形,确定二面角的平面角是锐角还是钝角;二是根据两个半平面的法向面角的平面角是锐角还是钝角;二是根据两个半平面的法向量的方向来确定量的方向来确定 1(人教人教A版教材习题改编版教材习题改编)设设u(2,2,t),v(6,4,4)分别是平面分别是平面,的法向量若的法向量若,则,则t()A3B4C5D6【解析解析】,则,则uv262(4)4t0,t5.【答案答案】C【答案答案】A3已知两平面的法向量分别为已知两平面的法向量分别为m(0,1,
5、0),n(0,1,1),则两平面所成的二面角为,则两平面所成的二面角为()A45 B135C45或或135 D90【答案答案】C【答案答案】A 如图如图774所示,在四棱锥所示,在四棱锥PABCD中,中,PC平面平面ABCD,PC2,在四边形,在四边形ABCD中,中,BC90,AB4,CD1,点,点M在在PB上,上,PB4PM,PB与平面与平面ABCD成成30的角的角(1)求证:求证:CM平面平面PAD;(2)求证:平面求证:平面PAB平面平面PAD.【尝试解答尝试解答】以以C为坐标原点,为坐标原点,CB所在直线为所在直线为x轴,轴,CD所在直线所在直线为为y轴,轴,CP所在直线为所在直线为z
6、轴建立如轴建立如图所示的空间直角坐标系图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面平面ABCD,1恰当建立坐标系,准确表示各点与相关向量的坐恰当建立坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运用向量法证明平行和垂直的关键标,是运用向量法证明平行和垂直的关键2证明直线与平面平行,只须证明直线的方向向量与证明直线与平面平行,只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,然后说明直线在平面外即可这的不共线的两个向量共面,然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算样就把几何的证明问题转
7、化为向量运算3证明直线与直线垂直,只需要证明两条直线的方向证明直线与直线垂直,只需要证明两条直线的方向向量垂直,而直线与平面垂直,平面与平面垂直可转化为直向量垂直,而直线与平面垂直,平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明线与直线垂直证明 如图如图775所示,已知直三棱柱所示,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,中,ABC为等腰直为等腰直角三角形,角三角形,BAC90,且,且ABAA1,D、E、F分别为分别为B1A、C1C、BC的中点求证:的中点求证:(1)DE平面平面ABC;(2)B1F平面平面AEF.【证明证明】如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系Axyz,令,令ABAA14,则则A
8、(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4) (2012湖南高考湖南高考)如图如图776所示,在四棱锥所示,在四棱锥PABCD中,中,PA平面平面ABCD,AB4,BC3,AD5,DABABC90,E是是CD的中点的中点(1)证明:证明:CD平面平面PAE;(2)若直线若直线PB与平面与平面PAE所成的角和所成的角和PB与平面与平面ABCD所所成的角相等,求四棱锥成的角相等,求四棱锥PABCD的体积的体积【思路点拨思路点拨】(1)以点以点A为坐标原点建系,用向量法证为坐标原点建系,用向量法证明明CDAE,CDAP.(2)先确定平面先确定平面PAE和平
9、面和平面ABCD的法向量,再根据直线的法向量,再根据直线PB的方向向量和两个平面的法向量的夹角余弦值的绝对值的方向向量和两个平面的法向量的夹角余弦值的绝对值相等求相等求AP.【尝试解答尝试解答】如图所示,以如图所示,以A为坐标原点,为坐标原点,AB,AD,AP所在所在直线分别为直线分别为x轴,轴,y轴,轴,z轴建立轴建立空间直角坐标系设空间直角坐标系设PAh,则相关各点的坐标为:则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(4,0,0), (2012山东高考山东高考)在如图在如图778所示的几何体中,所示的几何体中,四边形四边形ABCD是等腰梯形,是等腰梯形,ABCD,DAB60,FC平面平面AB
10、CD,AEBD,CBCDCF.(1)求证:求证:BD平面平面AED;(2)求二面角求二面角FBDC的余弦值的余弦值 【思路点拨思路点拨】(1)先证先证ADBD,再根据,再根据AEBD可证可证明结论成立明结论成立(2)根据根据ADBD知知ACBC,以点,以点C为坐标原点建立空为坐标原点建立空间直角坐标系,用向量法求解间直角坐标系,用向量法求解【尝试解答尝试解答】证明证明 (1)因为四边形因为四边形ABCD是等腰梯是等腰梯形,形,ABCD,DAB60,所以所以ADCBCD120.又又CBCD,所以,所以CDB30,因此因此ADB90,即,即ADBD.又又AEBD,且,且AEADA,AE,AD平面平
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- 数学 一轮 复习 第七 立体几何 中的 向量 方法 课件 新人
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