有理数单元复习与检测(共55页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上有理数单元复习与检测一、知识网络1、本章总体知识结构:二、目标认知学习目标:理解正负数的意义,掌握有理数的概念和分类。理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算。通过熟练运用法则进行计算的同时,能根据各种运算定律进行简便运算。通过本章的学习,还要学会借助数轴来理解绝对值,有理数比较大小等相关知识。重点:有理数的相关概念,如:绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等;有理数的运算难点:有理数运算法则尤其是加法法则的理解;有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运算。三、知识要点梳理知识点一 有理数的概念1.有理数:1)整数与分数统称有理数按定义
2、分类: 按符号分类: 注:(1)正数和零统称为非负数;(2)负数和零统称为非正数;(3)正整数和零统称为非负整数;(4)负整数和零统称为非正整数.2)认识正数与负数:(1)正数:像1,1.1,2008等大于0的数,叫做正数.(2)负数:像-1,-1.1,-,-2008等在正数前面加上“”(读作负)号的数, 叫负数.注意:正数都大于零,负数都小于零.“0”既不是正数,也不是负数.3)用正数、负数表示相反意义的量:如果用正数表示某种意义的量,那么负数表示其相反意义的量,如果负数表示某种意义的量,则正数表示其相反意义的量.如:若-5米表示向东走5米,则+3米表示向西走3米;若+6米表示上升6米,则-
3、2米表示下降2米;+表示零上,-则表示零下.4)有理数“0”的作用:作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示,没有苹果用0表示表示某种状态 表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负,是一个中性数2.数轴1)概念:规定了原点、正方向和单位长度的直线.2)注意:(1)原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素,三者缺一不可.(2)单位长度和长度单位是两个不同的概念,前者指所取度量单位的长度,后者指所取度量单位的名称,即单位长度是一条人为规定的代表“1的线段,这条线段可长可短,按实际情况来规定,同一数轴上的单位长度一旦确定,则不能再改变.(3)数轴的画法及常见错误分析 画一条水平
4、的直线; 在这条直线上适当位置取一实心点作为原点: 确定向右的方向为正方向,用箭头表示; 选取适当的长度作单位长度,用细短线 画出,并对应标注各数,同时要注意同一数轴的单位长度要一致.数轴画法的常见错误举例:错例原因无原点没有正方向单位长度不统一没有单位长度3) 有理数与数轴的关系一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.注意:数轴上的点不都是有理数,如.3.相反数1)相反数:只有符号不同的两个数互称为相反数特别地,0的相反数是0. 表示法:,则,反之亦然 .2)相反数的性质:(1)代数意义:只有符
5、号不同的两个数叫做互为相反数,特别地,O的相反数是0相反数必须成对出现,不能单独存在例如+5和5互为相反数,或者说+5是5的相反数,5是+5的相反数,而单独的一个数不能说是相反数另外,定义中的“只有”指除符号以外,两个数完全相同,注意应与“只要符号不同”区分开例如+3与3互为相反数,而+3与2虽然符号不同,但它们不是相反数(2)几何意义:一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧,并且到原点的距离相等这两点是关于原点对称的(3)求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“一”号即可一般地,数a的相反数是a;这里以a表示任意一个数,可以为正数、0、负数,也可以是任意一个代数式注意a不一定是负数注意:
6、 当aO时,a0(正数的相反数是负数); 当a=O时,a=O(0的相反数是0); 当a0时,aO (负数的相反数是正数)(4)互为相反数的两个数的和为零,即若a与b互为相反数,则a+b=0,反之,若a+b=O,则a与b互为相反数(5)多重符号的化简:一个正数前面不管有多少个“”号,都可以全部去掉;一个正数前面有偶数个“”号,也可以把“”号全部去掉;一个正数前面有奇数个“”号,则化简后只保留一个“”号,既“奇负偶正”(其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的奇偶数,“负正”是指化简的最后结果的符号).4.绝对值1) 绝对值的代数意义及几何意义(1)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个
7、负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.(2)绝对值的几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作.注意:取绝对值也是一种运算,这个运算符号是“”,求一个数的绝对值,就是根据性质去掉绝对值符号.绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或0.任何一个有理数都是由两部分组成:符号和它的绝对值,如:5,符号是负号,绝对值是5.2) 字母a的绝对值的分类或 或 3)利用绝对值比较两个负有理数的大小规则:两个负数,绝对值大的反而小.步骤:计算两个负数的绝对值.比较这两个绝对值的大小.写出正确的判断结果.如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0.例如:若知识
8、点二 有理数运算1.有理数比较大小1)数轴上的数,右边的数总大于左边的数2)正数大于0,负数小于0,正数大于负数3)两个负数,绝对值大的反而小4)两数比较大小,可按符号情况分类:2、有理数的加减法1)有理数加法法则(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.(3)一个数同0相加,仍得这个数.2)有理数加法的运算步骤法则是运算的依据,根据有理数加法的运算法则,可以得到加法的运算步骤:(1)确定和的符号;(2)求和的绝对值,即确定是两个加数的绝对值的和或差.3)有理数加法的运算律(1)两个加数相加,
9、交换加数的位置,和不变. a+b=b+a(加法交换律)(2)三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变. (a+b)+c=a+(b+c)(加法结合律)4) 有理数加法的运算技巧(1)分数与小数均有时,应先化为统一形式.(2)带分数可分为整数与分数两部分参与运算.(3)多个加数相加时,若有互为相反数的两个数,可先结合相加得零.(4)若有可以凑整的数,即相加得整数时,可先结合相加.(5)若有同分母的分数或易通分的分数,应先结合在一起.(6)符号相同的数可以先结合在一起.5) 有理数减法法则减去一个数,等于加这个数的相反数.a-b=a+(-b)6) 有理数减法的运算步骤(1)把减号变
10、为加号(改变运算符号)(2)把减数变为它的相反数(改变性质符号)(3)把减法转化为加法,按照加法运算的步骤进行运算.7) 有理数加减混合运算的步骤(1)把算式中的减法转化为加法;(2)省略加号与括号;(3)利用运算律及技巧简便计算,求出结果.注意:根据有理数减法法则,减去一个数等于加上它的相反数,因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算,即为求几个正数,负数和0的和,这个和称为代数和.为了书写简便,可以把加号与每个加数外的括号均省略,写成省略加号和的形式,例如:(+3)+(-0.15)+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11,它的含义是正3,负0.15,负9,正
11、5,负11的和。3.有理数的乘除法1) 有理数乘法法则 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘. 任何数同0相乘,都得0.2) 有理数乘法的运算律(1)两个数相乘,交换因数的位置,积相等. ab=ba(乘法交换律)(2)三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等. abc=a(bc)(乘法结合律)(3)一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加. a(b+c)=ab+ac(乘法分配律)3)有理数乘法法则的推广(1)几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数是偶数时,积为正数;负因数的个数是奇数时,积为负数.(2)几个数相乘,如
12、果有一个因数为0,则积为0.在进行乘法运算时,若有带分数,应先化为假分数,便于约分;若有小数及分数,一般先将小数化为分数,或凑整计算;利用乘法分配律及其逆用,也可简化计算.4)有理数除法法则除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数,ab=a(b0)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何一个不等于0的数,都得0.5)倒数及有理数除法(1)乘积为1的两个数互为倒数。倒数是成对出现的,单独一个数不能称为倒数;互为倒数的两个数的乘积一定是正数;0没有倒数;求一个非零有理数的倒数,只要把它的分子和分母颠倒位置即可(正整数可以看作分母为1的分数)。注意:互为倒数,则;互为负倒数,则。反之
13、亦然.(2)有理数除法的运算步骤: 首先确定商的符号,然后再求出商的绝对值.4.有理数的乘方1)概念:求个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂,在中,叫做底数,叫做指数.2)含义: 中,为底数,为指数,即表示的个数,表示有个连续相乘. 例如:表示33333,(-3)表示(-3)(-3)(-3)(-3)(-3),特别注意负数及分数的乘方,应把底数加上括号.(-2)表示7个-2相乘,而-2则表示7个2相乘积的相反数.当n为奇数时,(-a)=-a;而当n为偶数时,(-a)= .注意: 负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数,0的任何次幂都是0,任何不为0的数的0次幂都
14、是“1”.3)“奇负偶正”口诀的应用口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过,它具体的应用有如下几点:(1)多重负号的化简,这里奇偶指的是“”号的个数, 例如:(3)=3,+(3)=3.(2)有理数乘法,当多个非零因数相乘时,这里奇偶指的是负因数的个数,正负指结果中积的符号, 例如:(3)(2)(6)=36,而(3)(2)6=36.(3)有理数乘方,这里奇偶指的是指数,当底数为负数时,指数为奇数,则幂为负;指数为偶数,则幂为正,例如:(3)=9,(3)=27.4)有理数混合运算的运算顺序(1)先乘方,再乘除,最后加减;(2)同级运算,从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括
15、号、大括号依次进行.加减法为一级运算,乘除法为二级运算,乘方及开方(以后学)称为三级运算.同级运算,按从左到右的顺序进行;不同级运算,应先算三级运算,然后二级,最后一级;如果有括号,先算括号里的,有多重括号时,应先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的. 以上运算顺序可以简记为:“从左到右,从高(级)到低(级),从小(括号)到大(括号)”.5.近似数、有效数字和科学记数法科学记数法:把一个大于10的数表示成的形式(其中,是整数),此种记法叫做科学记数法.例如:=就是科学记数法表示数的形式.=也是.有效数字:从一个数的左边第一个非0数字起,到末位数字止,所有数字都是这个数的有效数字.如:
16、0.00027有两个有效数字:2,7 ;1.2027有5个有效数字:1,2,0,2,7.注意:万=,亿=10四、规律方法指导(一)正确理解正数和负数的意义比 0大的数叫做正数;在正数前面加上“”号的数叫做负数;0既不是正数,也不是负数.正数和负数通常表示具有相反意义的量,若正数表示某种意义的量,则负数就表示其相反意义的量,反之亦然 .(二)理解数集的概念把一些数放在一起,就组成一个数的集合,简称数集.所有的有理数组成的数集叫做有理数集,类似地,所有整数组成的数集叫做整数集,所有正数组成的数集叫做正数集,所有负数组成的数集叫做负数集,等等 . (三)掌握多重符号的化简规律括号前是“”号时,去掉括
17、号和“”号后,括号内的数不变,括号前是“”号时,去掉括号和“”号后,括号内的数就变成它的相反数 . 在一个数的前面添加一个“”号,仍然与原数相同;在一个数的前面添加一个“”号,就成为原数的相反数 。(这个内容我们将在第二章学习)(四)会比较两个负有理数的大小两个负有理数的大小比较与其它有理数一样,可以利用数轴来进行比较,右边的数总比左边的数大 . 两个负有理数的大小比较,还可以利用绝对值来进行,绝对值大的反而小 . (五)掌握有关绝对值的计算及化简正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数; 0的绝对值是0.(六)掌握有理数的运算法则有理数的混合运算,一定要按顺序进行:先乘方,再乘除,最后
18、加减,如果有括号,先算小括号,再算中括号,最后算大括号.有理数检测(A卷) 一、填空题 (152=30)1、如果收入1000元记作+1000元,那么600元表示 。2、3的相反数是 ,倒数是 ,绝对值是 。3、比3大的负整数是 ,比3小的非负整数是 。4、在数轴上,与原点距离为5个单位的点有 个,它们是 。 5、比较大小:4.8 3.8 ; -18_ (-2)3。、a+3+b2,则a+b。、 ,() ,() 。、太阳直径为千米,用科学记数法表示为 。二、选择题 (83=24) 1、数轴上在原点以及原点右侧的点所表示的数是 ( )A、正数 B、负数 C、非负数 D、非正数 2、绝对值大于2且小于
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