2022年最新中考数学版专题复习第十七讲三角形与全等三角形.pdf
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1、最新中考数学2013 版专题复习第十七讲三角形与全等三角形【基础知识回顾】三角形的概念:1、由直线上的三条线段组成的图形叫三角形2、三角形的基本元素:三角形有条边个顶点个内角二、三角形的分类:按边可分为三角形和三角形,按角可分为三角形三角形三角形【名师提醒:等边三角形属于特殊的三角形,锐角三角形和钝角三角形有事称为三角形】三、三角形的性质:1、 三角形的内角和是三角形的任意一个外角和它不 相得两个内角的和三角形的一个外角任意一个和它不相邻的内角2、三角形任意两边之和第三边,任意两边之差第三边3、三角形具有性【名师提醒: 1、三角形的外角是指三角形一边和另一边的组成的角,三角形有个外角,三角形的
2、外角和事,是其中各外角的和2、 三角形三边关系定理是确定三条线段否构成三角形和判断限度间不等关系的主要依据】四、三角形中的主要线段:1、角平分线: 三角形的三条角平分线都在三角形部 且交于一点, 这些是三角形的心 它到得距离相等2、中线:三角形的三条中线都在三角形部,且交于一点3、高线:不同三角形 的 三 条高线位置不同,锐角三角形三条高都连三角形直角三角形有一条高线在部,另两条河重合,钝角三角形有一条高线在三角形部,两条在三角形部4、中位线:连接三角形任意两边的线段叫做三角形的中位线。定理:三角形的中位线第三边且等于第三边的【名师提醒:三角形的平分线、 中线、高线、中位线都是且都有条】五、全
3、等三角形的概念和性质:1、的两个三角形叫做全等三角形2、性质:全等三角形的、分别相等,全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线)周长、面积分别对应【名师提醒:全等三角形的性质是证明线段、角等之间数 量关系的最主要依据】一、全等三角形的判定:1、一般三角形的全等判定方法:边角边,简记为角边角:简记为角角边:简记为边边边:简记为2、直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的所有方法以外,还可以用来判定精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页,共 31 页 - - - - - - - - -
4、 - 【名师提醒: 1、判定全等三角形的条件中,必须至少有一组对应相等,用 SAS 判定全等,切记角为两边的2、判定全等三角形的有关条件要特别注意对应两个字】【重点考点例析】考点一:三角形内角、外角的应用例 1 (2012?南通)如图,ABC 中,C=70,若沿图中虚线截去C, 则 1+2= ()A360 B250 C180 D140思路分析:先利用三角形内角与外角的关系,得出1+2=C+( C+ 3+4) ,再根据三角形内角和定理即可得出结果解: 1、 2 是CDE 的外角, 1=4+C,2=3+C,即 1+2=C+( C+3+4)=70+180=250故选 B点评:此题主要考查了三角形内角
5、和定理及外角的性质,三角形内角和是180;三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和对应训练1 ( 2012?泉州)如图,在ABC 中, A=60, B=40,点 D、E 分别在 BC、AC 的延长线上,则1= 180 分析:先根据三角形内角和定理求出ACB的度数,再根据对顶角相等求出1 的度数即可解: ABC 中, A=60 , B=40 , ACB=180 -A-B=180 -60-40=80, 1=ACB=80 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页,共 31 页 - - - -
6、- - - - - - 故答案为: 80点评:本题考查的是三角形的内角和定理,即三角形内角和是180考点二:三角形三边关系例 2 (2012?泸州)已知三角形两边的长分别是3 和 6,第三边的长是方程x2-6x+8=0 的根,则这个三角形的周长等于()A13 B11 C11 或 13 D12 或 15 2分析:首先从方程x2-6x+8=0 中,确定第三边的边长为2 或 4;其次考查2,3,6 或 4,3,6 能否构成三角形,从而求出三角形的周长解:由方程x2-6x+8=0 ,得:解得 x1=2 或 x2=4,当第三边是2 时, 2+36,不能构成三角形,应舍去;当第三边是4 时,三角形的周长为
7、4+3+6=13 故选 A点评: 考查了三角形三边关系,求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯,不符合题意的应弃之对应训练1 ( 2012?义乌市)如果三角形的两边长分别为3 和 5,第三边长是偶数,则第三边长可以是()A2 B3 C4 D8 思路分析:根据三角形三边关系,可令第三边为X,则 5-3 X 5+3,即 2 X 8,又因为第三边长为偶数,所以第三边长是4,6问题可求解:由题意,令第三边为X,则 5-3X5+3,即 2X8,第三边长为偶数,第三边长是4 或 6三角形的三边长可以为3、5、 4故选: C点评:此题主要考查了三角形三边关系,熟练
8、掌握三角形的三边关系是解决此类问题的关键考点三:三角形全等的判定例 3 (2012?乐山)如图,在ABC 中, C=90, AC=BC=4 ,D 是 AB 的中点,点E、F 分别在 AC 、 BC 边上运动(点 E 不与点 A、 C 重合) , 且保持 AE=CF ,连接 DE、DF、 EF在此运动变化的过程中,有下列结论: DFE 是等腰直角三角形;四边形 CEDF 不可能为正方形;四边形 CEDF 的面积随点E 位置的改变而发生变化;点 C 到线段 EF 的最大距离为2其中正确结论的个数是()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -
9、- - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页,共 31 页 - - - - - - - - - - 思路分析:作常规辅助线连接CD,由 SAS 定理可证 CDF 和 ADE 全等,从而可证EDF=90, DE=DF 所以 DFE 是等腰直角三角形;当 E 为 AC 中点, F 为 BC 中点时,四边形CEDF 为正方形;由割补法可知四边形CDFE 的面积保持不变; DEF 是等腰直角三角形DE= 2EF,当 DF 与 BC 垂直,即DF 最小时, FE 取最小值22,此时点 C 到线段 EF 的最大距离解:如图,连接CD; ABC 是等腰直角三角形, D
10、CB= A=45, CD=AD=DB ;AE=CF , ADE CDF;ED=DF , CDF=EDA ; ADE+ EDC=90, EDC+ CDF= EDF=90 , DFE 是等腰直角三角形故此选项正确;当 E、F 分别为 AC 、BC 中点时,四边形CDFE 是正方形,故此选项错误;如图 2 所示,分别过点D,作 DM AC,DN BC,于点 M, N,可以利用割补法可知四边形CDFE 的面积等于正方形CMDN 面积,故面积保持不变;故此选项错误; DEF 是等腰直角三角形DE=2EF,当 EFAB 时,即 EF 取最小值 22,此时点 C 到线段 EF 的最大距离为2故此选项正确;精
11、品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页,共 31 页 - - - - - - - - - - 故正确的有2 个,故选: B点评: 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、 直角三角形性质等知识,根据图形利用割补法可知四边形CDFE 的面积等于正方形CMDN 面积是解题关键例 4 (2012?珠海) 如图,把正方形ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转45得到正方形ABCD(此时,点B落在对角线AC 上,点 A落在 CD 的延长线上) ,A B交 AD于点 E,连接 AA 、
12、CE求证:(1)ADA CDE;(2)直线 CE 是线段 AA 的垂直平分线思路分析:(1)根据正方形的性质可得AD=CD , ADC=90 , EA D=45,则 ADE=90,再计算出AED=45,根据等角对等边可得AD=ED ,即可利用SAS 证明AA DCED ;(2)首先由 AC=A C,可得点C 在 AA 的垂直平分线上;再证明AEB AED,可得 AE=A E,进而得到点E 也在 AA 的垂直平分线上,再根据两点确定一条直线可得直线 CE 是线段 AA 的垂直平分线证明:(1)四边形ABCD 是正方形,AD=CD , ADC=90 , ADE=90,根据旋转的方法可得:EAD=4
13、5, , AED=45,AD=DE ,在 AA D 和 CED 中: AD=CD ,ADA =EDC,AD=ED , AA D CED (SAS) ;(2) AC=A C,点 C 在 AA 的垂直平分线上,AC 是正方形 ABCD 的对角线, CAE=45 ,AC=A C,CD=CB ,AB =A D,在 AEB 和 AED 中: EAB =EAD, AEB=AED ,AB =AD, AEB AED,AE=A E,点 E 也在 AA 的垂直平分线上,直线 CE 是线段 AA 的垂直平分线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -
14、- - - - - - -第 5 页,共 31 页 - - - - - - - - - - 点评: 此题主要考查了正方形的性质,以及旋转的性质,关键是熟练掌握正方形的性质:正方形的四条边都相等,四个角都是直角;正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角;找准旋转后相等的线段对应训练3 ( 2012?鸡西) RtABC 中,AB=AC ,点 D 为 BC 中点 MDN=90 , MDN 绕点 D旋转, DM 、DN 分别与边 AB、AC 交于 E、F两点下列结论:(BE+CF) = 22BC;SAEF14SABC ; S 四边形 AEDF=AD ?EF; ADEF; AD
15、与 EF 可能互相平分,其中正确结论的个数是()A1 个B2 个C3 个D4 个3 分析:先由 ASA 证明 AED CFD, 得出 AE=CF , 再由勾股定理即可得出BE+CF=AB= 22BC,从而判断;设 AB=AC=a ,AE=CF=x ,先由三角形的面积公式得出SAEF=-12(x-12a)2+18a2,14SABC=1412a2=18a2,再根据二次函数的性质即可判断;由勾股定理得到EF 的表达式,利用二次函数性质求得EF 最小值为22a,而 AD=22a,所以 EFAD ,从而错误;先得出 S四边形AEDF=SADC=12AD ,再由 EFAD 得到 AD ?EFAD2, AD
16、 ?EFS 四边形AEDF ,所以错误;如果四边形AEDF 为平行四边形,则AD 与 EF 互相平分,此时DFAB ,DE AC,又 D为 BC 中点,所以当E、F 分别为 AB 、AC 的中点时, AD 与 EF 互相平分,从而判断解: RtABC 中,AB=AC ,点 D 为 BC 中点, C=BAD=45 , AD=BD=CD , MDN=90 , ADE+ ADF= ADF+ CDF=90 , ADE= CDF在 AED 与 CFD 中,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页,共
17、31 页 - - - - - - - - - - EADCADCDADECDF, AED CFD (ASA ) ,AE=CF ,在 RtABD 中, BE+CF=BE+AE=AB=22222ADBDBDBC故正确;设 AB=AC=a ,AE=CF=x ,则 AF=a-x SAEF=12AE?AF=12x(a-x)=-12(x-12a)2+18a2,当 x=12a 时,SAEF有最大值18a2,又14SABC=1412a2=18a2,SAEF14SABC故正确;EF2=AE2+AF2=x2+(a-x)2=2(x-12a)2+1 2 a2,当 x=12a 时, EF2取得最小值12a2,EF22a
18、(等号当且仅当x=12a 时成立),而 AD=22a, EFAD 故错误;由的证明知AED CFD,S 四边形 AEDF=S AED+S ADF=S CFD+SADF=S ADC=1 2 AD2 ,EFAD , AD ?EFAD2 , AD ?EFS 四边形 AEDF 故错误;当 E、F分别为 AB 、AC 的中点时,四边形AEDF 为正方形,此时AD 与 EF 互相平分故正确综上所述,正确的有:,共3 个故选 C点评:本题主要考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理,图形的面积,函数的性质等知识,综合性较强,有一定难度4 ( 2012?肇庆)如图,已知AC BC,BD A
19、D ,AC 与 BD 交于 O, AC=BD 求证:(1)BC=AD ;(2) OAB 是等腰三角形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页,共 31 页 - - - - - - - - - - 4 分析: (1) 根据 AC BC, BD AD , 得出 ABC 与 BAD 是直角三角形, 再根据 AC=BD ,AB=BA ,得出 ABC BAD ,即可证出BC=AD ,(2)根据 ABC BAD ,得出 CAB= DBA ,从而证出OA=OB , OAB 是等腰三角形证明:(1) AC
20、BC,BDAD , ABC 与 BAD 是直角三角形,在 ABC 和 BAD 中, AC=BD , AB=BA , ACB= ADB , ABC BAD ,BC=AD ,(2) ABC BAD , CAB= DBA ,OA=OB , OAB 是等腰三角形点评: 本题考查了全等三角形的判定及性质;用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等,全等三角形的判定是重点,本题是道基础题,是对全等三角形的判定的训练考点四:全等三角形开放性问题例 5 (2012?义乌市)如图,在ABC 中,点 D 是 BC 的中点,作射线AD ,在线段AD及其延长线上分别取点E、F,连接CE、BF添加一个条件
21、,使得BDF CDE,并加以证明你添加的条件是 (不添加辅助线) 思路分析: 由已知可证 ECD FBD ,又EDC FDB ,因为三角形全等条件中必须是三个元素,并且一定有一组对应边相等故添加的条件是:DE=DF (或 CEBF 或 ECD=DBF 或DEC= DFB 等) ;解: (1)添加的条件是:DE=DF (或 CEBF 或 ECD=DBF 或 DEC= DFB 等) (2)证明:在 BDF 和 CDE 中精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页,共 31 页 - - - - -
22、- - - - - BDCDEDCFDBDEDF, BDF CDE点评: 三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等, 先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件对应训练5 ( 2012?衡阳)如图, AF=DC ,BCEF,请只补充一个条件,使得ABC DEF,并说明理由5分析:首先由AF=DC 可得 AC=DF ,再由 BCEF 根据两直线平行,内错角相等可得EFD=BCA ,再加上条件EF=BC 即可利用 SAS 证明 ABC DEF解:补充条件:EF=BC ,可使得 ABC DEF理由如下:A
23、F=DC ,AF+FC=DC+FC ,即: AC=DF ,BCEF, EFD=BCA ,在 EFD 和 BCA 中, EF=BC EFD= BCA EF=BC , EFDBCA (SAS) 点评:此题主要考查了全等三角形的判定,关键是熟练掌握判定定理:SSS、SAS、ASA 、AAS ,HL【聚焦山东中考】1. (2012?烟台)一副三角板叠在一起如图放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边 AB上, BC与 DE交于点 M 如果 ADF=100 ,那么 BMD 为度精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -
24、 - - - -第 9 页,共 31 页 - - - - - - - - - - 1.85 分析:先根据 ADF=100 求出 MDB 的度数, 再根据三角形内角和定理得出BMD 的度数即可解答:解:ADF=100 , EDF=30 , MDB=180 - ADF-EDF=180 -100-30 =50, BMD=180 - B-MDB=180 -45 -50 =85故答案为: 85点评:本题考查的是三角形内角和定理,即三角形内角和是1802( 2012?聊城)将一副三角板按如图所示摆放,图中的度数是()A75 B90 C105 D1202分析: 先根据直角三角形的性质得出BAE及 E的度数,
25、 再由三角形内角和定理及对顶角的性质即可得出结论解答:解:图中是一副直角三角板, BAE=45 , E=30, AFE=180 - BAE-E=105, =105故选 C点评:本题考查的是三角形内角和定理,即三角形内角和是1803 ( 2012?德州)不一定在三角形内部的线段是()A三角形的角平分线B三角形的中线C三角形的高D三角形的中位线3分析:根据三角形的高、中线、角平分线的性质解答解答:解:因为在三角形中,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页,共 31 页 - - - - - -
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