2022年初中数学专题特训第十七讲:三角形与全等三角形.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 年中考数学专题复习第十七讲【基础学问回忆】三角形的概念:三角形与全等三角形1、由直线上的三条线段组成的图形叫三角形个内角2、三角形的基本元素:三角形有条边个顶点二、三角形的分类:三角形,按角可分为三角按边可分为三角形和形三角形三角形【赵老师提示:等边三角形属于特殊的 三角形有事称为 三角形】三、三角形的性质:三角形,锐角三角形和钝角1、三角形的内角和是 三角形的任意一个外角 和它不 相得两个内角的和三角形的一个外角 任意一个和它不相邻的内角2、三角形任意两边之和 第三边,任意两边之差 第三边3、三角形具有 性【赵老师提示:1、三角形的
2、外角是指三角形一边和另一边的 组成的角,三角形有 个外角,三角形的外角和事,是其中 各外角的和2、三角形三边关系定理是确定三条线 间不等关系的主要依据】四、三角形中的主要线段:段否 构成三角形和判定限度1、角平分线: 三角形的三条角平分线都在三角形 部 且交于一点, 这些是三角形的 心 它到 得距离相等2、中线:三角形的三条中线都在三角形 部,且交于一点3、高线:不同三角形 的 三 条高线位置不同,锐角三角形三条高都连三角形直角三角形有一条高线在部,另两条河部重合,钝角三角形有一条高线在三角形部,两条在三角形4、中位线:连接三角形任意两边 定理:三角形的中位线的线段叫做三角形的中位线;第三边且
3、等于第三边的【赵老师提示:三角形的平分线、中线、高线、中位线都是 且都有 条】五、全等三角形的概念和性质:1、的两个三角形叫做全等三角形 2、性质:全等三角形的、分别相等,全等三角形的对应线 段(角平分线、中线、高线)周长、面积分别对应【赵老师提示:全等三角形的性质是证明线段、角等之间数 量关系的最主要依 据】一、全等三角形的判定:名师归纳总结 1、一般三角形的全等判定方法:边角边,简记为角边角:简第 1 页,共 31 页记为角角边:简记为边边边:简记为2、直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的全部方法以外,仍可以用来判定【赵老师提示: 1、判定全等三角形的条件中,必需至少有一组对应-
4、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 相等,用 SAS 判定全等,切记角为两边的2、判定全等三角形的有关条件要特殊留意对应两个字】【重点考点例析】考点一:三角形内角、外角的应用例 1 (2022.南通)如图, ABC 中,C=70 ,如沿图中虚线截去C,就 1+2=()A360B 250C180D140思路分析:先利用三角形内角与外角的关系,得出三角形内角和定理即可得出结果解: 1、 2 是 CDE 的外角, 1=4+C, 2=3+C,1+2=C+( C+ 3+4),再依据即 1+2=C+( C+ 3+4)=70 +180 =250 应选 B点评:此题主要考
5、查了三角形内角和定理及外角的性质,三角形内角和是 180 ;三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和对应训练1( 2022.泉州)如图,在ABC 中, A=60 , B=40 ,点 D、E 分别在 BC、AC 的延长线上,就1= 180 分析:先依据三角形内角和定理求出ACB的度数,再依据对顶角相等求出1 的度数即可解:ABC 中, A=60 , B=40 , ACB=180 -A-B=180 -60 -40 =80 , 1=ACB=80 故答案为: 80名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点评:此题考查的是三角
6、形的内角和定理,即三角形内角和是 180 考点二:三角形三边关系3 和 6,第三边的长是方程x2-6x+8=0 的根,例 2 (2022.泸州)已知三角形两边的长分别是就这个三角形的周长等于()2 或 4;其次考查 2,3,6 或 4,A13 B 11 C11 或 13 D12 或 15 2分析:第一从方程x2-6x+8=0 中,确定第三边的边长为3,6 能否构成三角形,从而求出三角形的周长解:由方程x2-6x+8=0 ,得:解得 x1=2 或 x2=4,当第三边是 2 时, 2+36,不能构成三角形,应舍去;当第三边是 4 时,三角形的周长为 4+3+6=13 应选 A 点评: 考查了三角形
7、三边关系,求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯,不符合题意的应弃之对应训练1( 2022.义乌市)假如三角形的两边长分别为 是()A2 B3 C4 D8 思路分析:依据三角形三边关系,可令第三边为3 和 5,第三边长是偶数,就第三边长可以X,就 5-3 X 5+3,即 2 X 8,又由于第三边长为偶数,所以第三边长是 4, 6问题可求解:由题意,令第三边为 X,就 5-3X 5+3,即 2X8,第三边长为偶数,第三边长是 4 或 6三角形的三边长可以为 3、5、 4应选: C点评:此题主要考查了三角形三边关系,考点三:三角形全等的判定娴熟把握三角形
8、的三边关系是解决此类问题的关键例 3 ( 2022.乐山)如图,在ABC 中, C=90 , AC=BC=4 ,D 是 AB 的中点,点E、F 分别在 AC 、BC 边上运动 (点 E 不与点 A、C 重合),且保持 AE=CF ,连接 DE、DF、EF在 此运动变化的过程中,有以下结论: DFE 是等腰直角三角形;四边形 CEDF 不行能为正方形;四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的转变而发生变化;点 C 到线段 EF 的最大距离为 2 其中正确结论的个数是()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 31 页精选学习资料 - - -
9、- - - - - - 思路分析:作常规帮助线连接CD,由 SAS 定理可证CDF 和 ADE 全等,从而可证EDF=90 , DE=DF 所以DFE 是等腰直角三角形;当 E 为 AC 中点, F 为 BC 中点时,四边形 CEDF 为正方形;由割补法可知四边形 CDFE 的面积保持不变; DEF 是等腰直角三角形 DE= 2 EF,当 DF 与 BC 垂直,即 DF 最小时, FE 取最小值2 2 ,此时点 C 到线段 EF 的最大距离解:如图,连接 CD; ABC 是等腰直角三角形, DCB= A=45 , CD=AD=DB ;AE=CF , ADE CDF;ED=DF , CDF= E
10、DA ; ADE+ EDC=90 , EDC+ CDF= EDF=90 , DFE 是等腰直角三角形故此选项正确;当 E、F 分别为 AC 、BC 中点时,四边形CDFE 是正方形,故此选项错误;如图 2 所示,分别过点 D,作 DM AC,DN BC,于点 M , N,可以利用割补法可知四边形 CDFE 的面积等于正方形 CMDN 面积,故面积保持不变;故此选项错误; DEF 是等腰直角三角形DE=2 EF,当 EF AB 时,即 EF 取最小值 22 ,此时点 C 到线段 EF 的最大距离为2 故此选项正确;名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 31 页精选学习资料 -
11、- - - - - - - - 故正确的有 2 个,应选: B点评: 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、 直角三角形性质等学问,依据图形利用割补法可知四边形 CDFE 的面积等于正方形 CMDN 面积是解题关键例 4 (2022.珠海) 如图, 把正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 45 得到正方形 A BCD (此时,点 B 落在对角线 AC 上,点 A 落在 CD 的延长线上) ,AB 交 AD于点 E,连接 AA 、 CE求证:(1) ADA CDE ;(2)直线 CE 是线段 AA 的垂直平分线思路分析:( 1)依据正方形的性质可得AD=CD , A
12、DC=90 , EAD=45 ,就 A DE=90 ,再运算出AED=45 ,依据等角对等边可得 AD=ED ,即可利用 SAS 证明AA D CED ;(2)第一由 AC=A C,可得点 C 在 AA 的垂直平分线上;再证明AEB AED,可得 AE=A E,进而得到点 E 也在 AA 的垂直平分线上,再依据两点确定一条直线可得直线 CE 是线段 AA 的垂直平分线证明:(1)四边形 ABCD 是正方形,AD=CD , ADC=90 , ADE=90 ,=EDC,AD=ED ,依据旋转的方法可得:EAD=45 , AED=45 ,A D=DE ,在 AA D 和 CED 中: AD=CD ,
13、 ADA AA D CED (SAS);(2) AC=A C,点 C 在 AA 的垂直平分线上,AC 是正方形 ABCD 的对角线, CAE=45 ,AC=A C,CD=CB ,=EAD, AEB =AED ,AB =AD,AB =A D,在 AEB 和 AED 中: EAB AEB AED,AE=A E,点 E 也在 AA 的垂直平分线上,直线 CE 是线段 AA 的垂直平分线名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点评: 此题主要考查了正方形的性质,以及旋转的性质,关键是娴熟把握正方形的性质:正方形的四条边都相等,四
14、个角都是直角;正方形的两条对角线相等,相互垂直平分,并且每条对角线平分一组对角;找准旋转后相等的线段对应训练3( 2022.鸡西) Rt ABC 中, AB=AC ,点 D 为 BC 中点 MDN=90 , MDN 绕点 D旋转, DM 、DN 分别与边 AB 、AC 交于 E、 F 两点以下结论:(BE+CF) = 2BC;2S AEF1 S ABC ; S 四边形 AEDF=AD .EF; ADEF; AD 与 EF 可能相互平4分,其中正确结论的个数是()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3分析:先由 ASA 证明 AED CFD,得出 AE=CF ,再由勾股定理即可得出 BE+CF
15、=AB= 2 2BC,从而判定;a)2+1 8a 2,2a,设 AB=AC=a ,AE=CF=x ,先由三角形的面积公式得出 S AEF =-121 SABC=11 a 2=1 a 2,再依据二次函数的性质即可判定;4 4 2 8(x-1 2由勾股定理得到EF 的表达式,利用二次函数性质求得EF 最小值为2a,而 AD=22所以 EFAD ,从而错误;先得出 S四边形 AEDF =S ADC =1 2AD ,再由 EF AD 得到 AD .EFAD2, AD .EFS 四边形AEDF ,所以错误;假如四边形 AEDF 为平行四边形,就 AD 与 EF 相互平分,此时 DF AB ,DE AC,
16、又 D为 BC 中点,所以当 E、 F 分别为 AB 、AC 的中点时, AD 与 EF 相互平分,从而判定解: Rt ABC 中, AB=AC ,点 D 为 BC 中点, C=BAD=45 , AD=BD=CD , MDN=90 , ADE+ ADF= ADF+ CDF=90 , ADE= CDF在 AED 与 CFD 中,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - EAD CADCDCDF,ADE AED CFD (ASA ),AE=CF ,在 Rt ABD 中, BE+CF=BE+AE=AB=AD2BD22BD2BC
17、2故正确;设 AB=AC=a ,AE=CF=x ,就 AF=a-x S AEF=1 2AE .AF=1 2x(a-x)=-1 2(x-1 2a)2+1 8a 2,当 x=1 2a 时, SAEF有最大值 1 8a 2,又1 SABC =114 4 2S AEF1 S ABC4a 2=18a 2,故正确;EF2=AE2+AF2=x2+(a-x)2=2(x-1 2a)2+1 2 a2,当 x=1 2a 时, EF2 取得最小值1 2a 2,EF2a(等号当且仅当x=1 2a 时成立),2而 AD=2a, EF AD 2故错误;由的证明知AED CFD,S 四边形 AEDF=S AED+S ADF=
18、S CFD+S ADF=S ADC=1 2 AD2 ,EFAD , AD .EFAD2 , AD .EFS 四边形 AEDF 故错误;当 E、 F 分别为 AB 、AC 的中点时,四边形AEDF 为正方形,此时AD 与 EF 相互平分故正确综上所述,正确的有:,共 3 个应选 C点评:此题主要考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,勾股定 理,图形的面积,函数的性质等学问,综合性较强,有肯定难度4( 2022.肇庆)如图,已知 求证:(1)BC=AD ;AC BC,BD AD ,AC 与 BD 交于 O, AC=BD (2) OAB 是等腰三角形名师归纳总结 - - - - - -
19、 -第 7 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4分析:(1)依据 AC BC,BD AD ,得出 ABC 与 BAD 是直角三角形, 再依据 AC=BD ,AB=BA ,得出ABC BAD ,即可证出 BC=AD ,(2)依据ABC BAD ,得出 CAB= DBA ,从而证出 OA=OB , OAB 是等腰三角形证明:(1) AC BC, BDAD , ABC 与 BAD 是直角三角形,在 ABC 和 BAD 中, AC=BD , AB=BA , ACB= ADB , ABC BAD ,BC=AD ,(2) ABC BAD , CAB= DBA ,OA=OB
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- 2022 年初 数学 专题 第十七 三角形 全等
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