高考数学导数及其应用.doc
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1、【精品文档】如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流高考数学导数及其应用.精品文档.2010年高考数学试题分类解析【考点5】导数及其应用1、(18)(重庆理)(本小题满分13分,(I)小问5分,(II)小问8分)已知函数其中实数 ()若a=-2,求曲线在点处的切线方程; ()若在x=1处取得极值,试讨论的单调性。解:(I)当a=2时,因此曲线在点处的切线方程为,即 (II)因由(I)知又因处取得极值,所以即此时其定义域为,且由当时,时,由以上讨论知,在区间上是增函数,在区间(1,3)上是减函数2、(22)(浙江)(本题满分14分)已知a是给定的实常数,设函数是的一个极大值点. (I)求b的取值
2、范围; (II)设是的3个极值点,问是否存在实数b,可找到,使得的某种排列(其中)依次成等差数列?若存在,示所有的b及相应的若不存在,说明理由. ()解:令则于是可设是的两实根,且 (1)当时,则不是的极值点,此时不合题意 (2)当时,由于是的极大值点, 故即即所以所以的取值范围是(-,) ()解:由()可知,假设存了及满足题意,则 (1)当时,则于是即此时或 (2)当时,则若于是即于是此时若于是即于是此时综上所述,存在满足题意当当当3、(21)(天津)(本小题满分14分)已知函数 ()求函数的单调区间和极值; ()已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明当时, ()如果,且,证明 ()解
3、:f令f(x)=0,解得x=1当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表X()1()f(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数,在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= ()证明:由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x1时,2x-20,从而(x)0,从而函数F(x)在1,+)是增函数。又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x) ()证明:(1)若 (2)若根据(1)(2)得由()可知,,则=,所以,从而因为,所以,又由()可知函数f(x)在区间(-,1)内事增函数,所以,即24
4、、(22)(四川)(本小题满分14分)设(且),是的反函数 ()设关于的方程在区间上有实数解,求的取值范围; ()当(为自然对数的底数)时,证明:; ()当时,试比较与4的大小,并说明理由解:()由题意,得故由得列表如下:2(2,5)5(5,6)605极大值25所以所以t的取值范围为5,32(5分)综上,总有(14分)5、(陕西21)(本小题满分14分)已知函数f(x)=,g(x)=alnx,aR. (I)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程; (II)设函数h(x)=f(x) g(x),当h(x)存在最小值时,求其最小值(a)的解析式; (
5、III)对(2)中的(a),证明:当解:(I)由已知得 =alnx,=, 解得a=,x=e2,两条曲线交点的坐标为(e2,e) 切线的斜率为切线的方程为ye=(x e2). (II)由条件知(i)当a.0时,令h ( x)=0,解得x=,所以当0 x 时 h ( x)时,h ( x)0,h(x)在(0,)上递增。x是h(x)在(0, + )上的唯一极致点,且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点.最小值(a)=h()= 2a a ln=2 (ii)当a0时,递增,无最小值.故 h(x) 的最小值(a)的解析式为2a(1ln2a) (a0) (III)由(II)知(a)=2ln2a.对任意的故由
6、,得6、(7)(山东5分)由曲线围成的封闭图形面积为(A)(B)(C)(D)答案:7、(山东22)(本小题满分14分)已知函数. ()当时,讨论的单调性; ()设时,若对任意,存在,使,求实数的取值范围.解:()因为所以令(1)当所以,当,函数单调递减;当时,此时单调递 (2)当即,解得当时,恒成立,此时,函数在(0,+)上单调递减;当时,单调递减;时,单调递增;,此时,函数单调递减;当时,由于时,此时,函数单调递减;时,此时,函数单调递增。综上所述:当时,函数在(,)上单调递减;函数在(,)上单调递增;当时,函数在(0,+)上单调递减;当时,函数在(0,1)上单调递减;函数在上单调递增;函数
7、上单调递减, ()因为,由()知,当,函数单调递减;当时,函数单调递增,所以在(0,2)上的最小值为由于“对任意,存在,使”等价于“在1,2上的最小值不大于在(0,2)上的最小值” (*)又,所以当时,因为,此时与(*)矛盾;当时,因为,同样与(*)矛盾;当时,因为解不等式,可得综上,的取值范围是8、(全国I,20)(本小题满分12分)已知函数 ()若,求的取值范围; ()证明:解:()题设等价于令当时,;当时,的最大值点,综上,的取值范围是 ()由()知,即当时,当时;所以9、(全国2,22)(本小题满分12分)设函数 ()证明:当时,; ()设当时,求a的取值范围解:(I)当时,当且仅当令
8、2分当,是增函数;当是减函数。于是在x=0处达到最小值,因而当时,所以当6分、 (II)由题设当不成立;当则当且令当8分 (i)当时,由(I)知是减函数,10分 (ii)当时,由(I)知当时,综上,a的取值范围是10、(全国新,21)(本小题满分12分)设函数f(x)=. ()若a=0,求f(x)的单调区间; ()若当x0时f(x)0,求a的取值范围.解:(I)a=0时,当当故单调减少,在单调增加. (II)由(I)知当且令当x=0时等号成立,故从而当于是当由可得从而当时,故当于是当综合得a的取值范围为11、(3)(全国新,5分)曲线在点处的切线方程为(A) (B) (C) (D)答案:A12
9、、(辽宁,21)(本小题满分12分)已知函数 (I)讨论函数的单调性; (II)设如果对任意,求的取值范围。解:() f(x)的定义域为(0,+),当a0时,0,故f(x)在(0,+)单调增加;当a1时,0, 故f(x)在(0,+)单调减少;当1a0时,令0,解得x=当x(0, )时, 0;x(,+)时,0, 故f(x)在(0, )单调增加,在(,+)单调减少 ()不妨假设x1x2由于a1,由()知在(0,+)单调减少,从而等价于令,则等价于在(0,+)单调减少,即从而故的取值范围为12分13、(10)(辽宁5分)已知点P在曲线y=上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是(A)(B)(
10、C)(D)答案:A14、(江西)19(本小题满分12分)设函数 (1)当时,求的单调区间; (2)若在上的最大值为,求的值解:函数的定义域为(0,2),(1)当时,所以的单调递增区间为,单调递减区间为; (2)当即在上单调递增,故在上的最大值为,因此15、(江西5分)5等比数列中,函数,则A B C D答案:16、(江苏)20(16分)设使定义在区间上的函数,其导函数为如果存在实数和函数,其中对任意的都有0,使得,则称函数具有性质 (1)设函数,其中为实数求证:函数具有性质求函数的单调区间 (2)已知函数具有性质,给定,且,若|0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1
11、,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=_答案:21 18、湖南5分)5等于A B C D答案:19、(湖北)21(本小题满分14分)已知函数的图象在点处的切线方程为 (I)用a表示出b,c; (II)若上恒成立,求a的取值范围; (III)证明:解:(I) (II)由(I)知,令则(i)当若是减函数,所以即上不恒成立.(ii)当若是增函数,所以即时,综上所述,所求a的取值范围为 (II)解法一:由(II)知:当令且当令即将上述n个不等式依次相加得整理得解法二:用数学归纳法证明. (1)当n=1时,左边=1,右边不等式成立. (2)假设n=k时,不等式成立,就是、那么由(II)知:当时,
12、有令令这就是说,当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知不等式对任何都成立.20、(福建)20(本小题满分14分) (1)已知函数f(x)=x3=x,其图像记为曲线C (i)求函数f(x)的单调区间; (ii)证明:若对于任意非零实数x1,曲线C与其在点P1(x1,f(x1)处的切线交于另一点P2(x2,f(x2)曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3 (x3,f(x3),线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则为定值: ()对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),请给出类似于()(ii)的正确命题,并予以证明。解法一: (
13、)(i)由得当时,;当时,因此,的单调递增区间为,单调递减区间为 (ii)曲线C在点P1处的切线方程为即由得即解得故进而有用代替,重复上述计算过程,可得又,所以 (II)记函数的图象为曲线C,类似于(I)(ii)的正确命题为:若对于任意不等于的实数曲线与其上点P1()处的切线交于另一点曲线与其在点P2处的切线交于另一点,线段P1P2、P2P3与曲线所围成封闭图形的面积分别记为为定值。证明如下:因为平移变换不改变面积的大小,故可将曲线的对称中心平移至坐标原点,因而不妨设故解法二: (I)同解法一。 (II)记函数的图象为曲线C,类似于(I)(ii)的正确命题为:若对于任意不等式的实数,曲线与其在
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