平稳时序模型ARMA.ppt
《平稳时序模型ARMA.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《平稳时序模型ARMA.ppt(40页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、,平稳时序模型ARMA,本章内容概要,基本概念,随机时间序列从随机概率论的角度出发,是由一系列随机变量(或随机函数)构成的用来描绘随机现象在接连不断地观测过程中的实现结果的集合弱平稳随机时间序列的期望、方差以及自协方差均不随时间变化而变化用数学语言来解释,即当 满足以下条件:对于所有时间t,有(i) 为不变的常数;(ii) 为不变的常数; (iii) 则称 为弱平稳随机变量,由这个随机变量构成的随机过程即为弱平稳过程,基本概念,白噪音白噪音过程是一种最为常用和独特的平稳过程。根据平稳过程的定义,白噪音过程中随机变量 的期望、方差、自相关系数均为常数,且此时期望值和自协方差均为0。所以白噪音过程
2、描述的是所有随机序列相互独立的随机过程。这一过程与普通的平稳过程最大的区别就在于,对于任何 ,均有自协方差 ,自相关函数 。对于白噪音过程,总有下面的等式成立:,一、自回归模型AR,AR模型即自回归模型,就是变量对变量自身的滞后期项进行回归的过程。自回归模型也可以称为自回归过程。一般地,自回归模型定义为:根据模型滞后期数(阶数)的不同,AR模型可以分为AR(1)过程、AR(2)过程,一直到AR(p)过程。AR模型符合弱平稳的定义,是平稳时间序列模型中最基础的一种。,一、自回归模型AR,AR(1)过程一阶自回归过程AR(1)是当期变量对自身的一期滞后项和一个随机扰动项进行线性回归的过程。通常可以
3、写成:其中,c是截距项或者称常数项; ; 是方差为 的白噪音过程如果 ,那么随机扰动因素 对 的影响会随着时间的推移而不断积累,这样就无法得到一个具有有限方差的平稳过程 。相反,如果 ,那么随机扰动项 对 的影响就会随着时间的推移而逐渐消失,这样就可以得到一个平稳的随机过程。 实际上是AR模型是平稳时间序列模型的关键条件,一、自回归模型AR,均值AR(1)模型所描述的过程不会随时间变化而改变,所以,在t-1期时,模型变成:代回到原模型中可以获得下式: 如果这个过程继续迭代下去,那么最终会得到等式:当 时,可以将上式写成对模型取期望,得:所以,对于平稳AR(1)过程,即有:,一、自回归模型AR,
4、利用模型期望,还可以得到AR(1)模型中的截距项: 从上式不难看到,序列 的均值 与AR(1)模型中的截距项c有一一对应的关系。并且对于任何自回归系数 ( ),当且仅当 时,均值 。这一结论对于任意p阶AR模型都成立。,一、自回归模型AR,方差根据方差的定义,对于平稳模型,有: 利用模型均值和白噪音的不变方差 ,就得到下面的结果:在AR(1)过程中 落在某一特定区间的概率在所有时刻点上都是恒定的,比如围绕均值上下两个标准差的范围(对应90的置信区间),即,平稳序列的观测值表现出一种向其均值水平恢复的特征,这种特征在金融时间序列分析中称“均值反转(mean-reverting)”。 利用计算机模
5、拟一个AR(1)过程,并生成两组不同规模的观察值,我们可通过对比来感受自回归模型的均值反转现象。 设定模型如下: 从理论上来说:,图3.4 AR(1)模拟生成的序列图与相关统计量,(a) 样本=30,图3.4 AR(1)模拟生成的序列图与相关统计量,(b) 样本=1000,随着样本的增大,样本均值和方差与理论上的真实值会越来越接近。通过比较图3.4中不同样本数据对应的样本均值和方差可以看出,只有30个观测值的序列均值和方差分别为1.302和0.2342=0.055,与真实值之间有明显的出入;而对于1000个观测值的序列,其均值和方差分别是3.262和0.972=0.947,与理论真实值已经非常
6、接近了。,一、自回归模型AR,自协方差和自相关函数根据自协方差的定义,AR(1)的自协方差为由此可以得到AR(1)过程的自相关函数(ACF):对于 ,其取值越靠近于1,则自相关函数 取值越大,暗示着 序列相邻观测值之间的相关性越强。反之亦然。,一、自回归模型AR,AR(2)过程二阶自回归模型即AR(2),通常表示为: 其中, 为白噪音过程。只要特征方程 所有的根均落在单位圆内,则AR(2)模型平稳。把AR(2)模型改写成下面的形式,即:,一、自回归模型AR,此时,如果令 那么模型就可以重新写成: 当AR(2)模型满足平稳性条件时,可以得到: 从而有: 由于c为常数项,因此 ,所以有: 因此与A
7、R(1)模型类似的,AR(2)模型可以最终记作:,一、自回归模型AR,均值对模型等式左右两边取期望,即可求出AR(2)过程的均值,即当然,也可以利用平稳过程的特性,即均值恒定,对模型两边直接取期望,得到从而也可以得到同样的结果:,一、自回归模型AR,方差和自协方差根据方差的定义,求AR(2)模型的方差,可得根据模型期望可以到将上式代入到AR(2)模型中,得到并进而整理得可以在上式两侧同时乘以( ),然后取期望,就得到以下关系式,一、自回归模型AR,AR(p)过程一般地,p阶AR模型记做AR(p),通常写作以下形式:同样地,这里 是方差为 的白噪音过程。利用,AR(p)模型还可以写作:其中: 。
8、 AR(p)模型所对应的特征根方程为:如果模型的所有根都落在单位圆内,则 AR(p)模型是平稳的,当然对应的 也是平稳的时间序列。,一、自回归模型AR,均值对模型求期望,得:从而,可以求解出AR(p)过程的均值模型:方差和自协方差将常数项 表示成均值 和自回归系数 的函数,然后将AR(p)模型写成以下形式在上式左右同时乘以 并取期望,得到,二、移动平均模型MA,移动平均过程也被称为滑动平均过程,是指将时间序列过程 写成一系列不相关的随机变量的线性组合。和AR过程一样,MA过程也分为MA(1),MA(2)和MA(p),其中最简单形式是一阶移动平均过程,即MA(1):其中,c表示常数项, 为系数,
9、 是方差为 的白噪音过程MA(1)过程的属性:MA(1)过程中不论系数 如何取值,其均值、方差和自协方差与时间都没有关系,也就是说,MA(1)过程始终为平稳过程,与参数 没有任何关系。MA(1)过程具有可逆性。即当 时, MA(1)过程可以“逆”过来写成 的形式。,三、自回归移动平均模型ARMA,ARMA(p,q)过程ARMA过程即自回归移动平均过程。事实上,ARMA过程是AR模型和MA模型的组合。通常,一般的ARMA(p,q)过程可以写成如下形式其中: 为方差为 的白噪音过程,c是常数项, 和 分别为自回归系数和移动平均系数。如果 ,那么ARMA过程就成为一个纯AR过程如果 ,那么ARMA过
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 平稳 时序 模型 ARMA
限制150内