微分算子法.doc
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1、【精品文档】如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流微分算子法.精品文档.高阶常微分方程的微分算子法ctf 撰写摘自大学数学解题法诠释.徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999 高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难,即使是对于线性微分方程。但是有一个例外:常系数线性微分方程。我们可以完整的求出它的通解来,所以常系数线性方程的求解,主要精力是集中在讨论对应的非齐次方程的特解。本节主要讨论微分算子法。 1.求方程的通解.解 记,将方程写成或我们熟知,其实首先要解特征方程得故知方程有三特解,由于此三特解为线性无关,故立得通解注:本题方程为齐次常系数三阶常微分方程,线性常微分方程的一般形状是
2、其中系数是某区间上的连续函数,上述方程又可写成可以把上面括号整体看作一种运算,常称为线性微分算子。本题中各均为实常数,今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。2.求解 解 写成 从特征方程解得 共三实根,故可立即写成特解3.求解 解 写成 或 特征方程 有根 ,故对应的特解是, 从而通解是4.求之通解.解 写成 或 特征根是,对应的特解应是,故写成通解5.求的通解解 本题为非齐次方程,先求出对应的齐次方程的通解,写成,可知特征根为,相应的通解为设原方程有特解形为其中为待定函数,常数变异告诉我们,应求解下面的方程组 或 (方程组右端为原方程非齐次项),解得 或 , 最后得通解为注
3、对常系数方程,在应用上,不常运用常数变异法,对于特殊非齐次项的常系数方程,下文将提供更简捷的办法。6.求解下列方程 (1)(2)解 (1)(2)7.求解下列cauchy问题 (1) (2)解 (1) (2) 8.求解非齐次方程解 本题不是常系数方程,为求通解需先知道齐次方程的两个线性无关的特解。现设用观察法得到两个特解令考虑方程组最后解得 故原方程的通解为注 我们说过,高阶方程中最重要、研究得最彻底的是线性方程,因此我们就从它开始。因为有了常数变易法,所以重点似乎应放在齐次方程的求解,但是,齐次常系数线性方程的求解来的太容易(只需要解代数方程),这就构成了这一单元的特点:我们着力于求解具有特殊
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